H ' II II

(en dehors du peu-

tagone)

!'• II I'"'. II a U' ", U b'"'

Je me suis d'abord attaché

aux 55

pre-

miers grands cercles que j^ai mentionnés

{primilifs, octaédriques et dodécaédriques rhomboidaux). Les intersections de ces 55 cercles m'ont déjà donné h peu près tous les angles fournis par ^'observation , du moins pour les angles supérieurs à 20 ou 30 degrés, les seuls que robservalion puisse faire

confiatlre d'une manière vfaiment concluante, en raison de ce que les petits angles sont plus sujets à être modifiés par le déplacement transversal des grands cercles de comparaison.

Ce n’est pas que j’aie trouvé par le calcul les valeurs précises des angles observés; mais J’ai trouvé des angles qui, dans le tableau dressé par ordre de grandeur, venaient se placer è peu près ou même exactement devant les groupes d’angles fournis par l’observation do manière à ce que ceux-ci pussent^'en’ôtre considérés Comme des valeurs approximatives un peu altérées par les imperféctfons inhérentes aux observations géologiques. J’ai trouvé aussi des angles théo^ riques très peu différents les uns des autres, et formant des groupes qui se placent généralement devant mes principaux groupes d’angles observés, affectant ainsi non seulement dans leurs valeurs, mais aussi dans leurs allures , une ressemblance vraiment remarquable avec les angles fournis par l’observation. ^

La colonne des valeurs des angles essentiels du réseau pentagonal présente plusieurs lacunes ou éclaircies assez considérables. Aucune valeur d’angle ne tombe dans l’i n tervalle de plus de V compris entre 82® 14' 19’\52

et 90", ni dans rinlcrvalle de plus de 6" compris entre 2o° 14’ 3i",20 et 31" 43' 2'', 92, et il n’en tombe qu’une seule dans les 6" compris entre GO" et G6° 8' 22'', 81. Or, dans la colonne formée par les valeurs des 210 angles déduits de robservaiion , rangés par ordre de grandeur, on voit aussi ces valeurs se presser en moins grand nombre dans ces mêmes intervalles , et y présenter des lacunes et des éclaircies considérables. Elles n’y manquent pourtant pas complètement et elles y forment même quelques groupes assez compactes qui indi* quent la nécessité de recourir, comme on le verra plus loin , à des cercles auxiliaires pour représenter tous les angles donnés par l’observation. Mais l’œil reconnaît à lui seul dans ces intervalles des parties de la colonne sensiblement- appauvries. D’autres lacunes moins étendues de la colonne des angles essentiels du réseau pentagonal présentent aussi une certaine correspondance avec celles qui existent dans la colonne des angles déduits de l’observation.

Accompagnées de circonstances de ce genre, les rencontres numériques que j’ai déjà signalées prennent nécessairement une plus grande importance. La précision singulière dont les tableaux de la page 87G

et de la planche IV offrent des eiemples est peut-être en partie accidentelle; mais il suffisait pour me paraître digne d'attention qu'elles ne sortissent pas des limites de la précision moyenne qu'on peut attribuer aux angles .déduits de l'observation et qu'èlles fussent assez nombreuses pour ne pouvoir (tre attribuées totalement aux simples effets

du hasard. .

AussitAt que leur répétition est devenue^ assez ^fréquente pour me paraître l'effet évident d'une cause spéciale elles m'ont, paru signaler un certain degré . d'a/^nttd entre le réseau formé sur la surface du. globe par les grands cercles de comparaison des différents systèmes de montagnes et le réseau pentagonal. Or cette affinHé ne pouvait consister que dans Videntité duprincipe de symétrie déjà indiqué par le phénomène de, la récurrence des directions et du principe de^ symétrie du réseau pentagonal.

En effet, il n'existe pas à côté du résèau^^ pentagonal un second réseau complètement., symétrique qui, satisfaisant aux mêmes con- . venances générales, puisse se confondre approximativement avec lui par les valeurs de, ses angles essentiels et donner, lieu à des rencontrés équfvalentes. Le réseau quadri^l^ latéral i considéré au degré de développe-.

hient où floui? ^considérons le réseau pentagonal, c’est-à-dire réduit à ses 13 cercles àssentiels, donne seuleïnent 6 valeurs d’angles difîéreiiles. Ces 6 valeurs sont comprises parmi les 33 valeurs des angles essentiels du réseau pentagonal et sont marquées par des astérisques dans lè tableau ci-dessus. Cômmé les autres, elles Se rapprochent des valeurs des angles déduits de l’observation, mais à cause de leur petit nombre elles se rapprochent d'une partie setdement de ces angles et, considérées toutes seules, elles laissent sans représentants le plus grand nombre d’entre eui. Il n’y a donc, sous ce point de vue, aucune parité entre le réseau quadrilatéral et le réseau pentagonal. Le premier se trouve mis complètement hors de cause par les rapprochements incompa-' rablcment plus nombreux auxquels le second donne naissance.

Ce fait provient en principe de ce que le nombre des cercles essentiels , de ceux dont la position n’a rien d’arbitraire, est beaucoup plus petit dans le réseau quadrilatéral que dans le réseau pentagonal, étant de 13 seulement dans le premier et de 61 dans le second. Il tient, par conséqn||pt, à ce que le réseau quadrilatéral est à plus grandes manies que te réseau pentagonal et divise la

sphère en un moins grand nombre de parlies égales, c'est-à-dire à l'iine des princicipales circonstances qui m'ont porté, comme je l’ai dit p. 893, à m'occuper du réseaupen-> tagonal et à celles que j'ai signalées p. 902 comme donnant à ce réseau des avantages particuliers, et il me parait acquérir par cela même un nouveau degré d'importance,

La préférence si évidemment acquise au réseau pentagonal et la probabilité très grande à nies yeux, depuis longtemps, qu'il devait exister dans les dispositions des grands cercles de comparaison des diiïérents sys** lèmes de montagnes, un principe de symétrie qui ne pouvait plus être que celui du résçau pentagonal^ devait naturellement me porter à en étudier successivement l'application dans tous ses détails.

Parmi les angles que le calcul m'avait donnés, il en est un certain nombre qui ne correspondent pas aux angles observés, et qui tombent quelquefois au milieu des inter-" valles blancs laissés par ces derniers. Cès angles théoriques, qui ne répondent pas à des groupes d'angles déduits de l'observation, ne sont pas toujours privés parla de tout rapport avec ces derniers, car ils tombent fréquemment au milieu des lacunes que présente le tableau, c'est-à-dire au rni-

lieu des espaces dans lesquels" les angles déduits de robservatiof] semblent éviter de re placer, et cela seul constitue une relation entre les uns et les autres.

Quoique ces angles ne soient pas, h beotfcoup près, les plus nombreux, ils auraient pu , m'embarrasser si je iravais pas remarqué que beaucoup d'angles existants dans le réseau théorique devaient nécessairement me manquer par les motifs que voici.

D'abord, en supposant que le réseau théorique existât d'une manière complète, il faudrait, pour observer tous les angles qu'il comporte, embrasser la totalité de l'un des 120 triangles rectangles scalènes, dans les- ^ quels la sphère est divisée par les 15 cercles

primitifs du réseau. Or rien ne prouve que la partie de l'Europe qui m'a fourni des observations embrasse en totalité un quel* conque de ces triangles. Elle s'étend peutêtre sur plusieurs d'entre eux; mais il se pQut fort bien qu'elle n'embrâsse dans aucun de ces' triangles la partie qui avoisine par exemple Tanglé droite ,

De plus, rien ne prouve qu'on ait constaté par l'observation tous les systèmes statigraphiques qui existent dans l'Europe occîden* ^ taie et méridionale, et je regarde comme

fort probable qu'en France même on en dé*

couvrira de nouveaux qui donneront dé nou* vàux angles.

D'ailleurs, il n'est pas démontré que la nature ait réalisé tous les cercles d'une même catégorie, de sorte qu'une partie des angles calculés peut être condamnée, par la force même des choses, à n'exister que théorique*ment.

Enûn^ et ceci est peut-être le point le plus essentiel, chacun des ridements de l'écorce terrestre parait s'étre opéré suivant une demi-circonférence de grand cercle seulement, et non suivant une circonférence entière : de là il résulte que, s'il ne s'était opéré qu'un seul ridement, suivant chacun des grands cercles théoriquement possibles, chacun de ces grands cercles ne serait jalonné par les aspérités de la surface du globe que dans la moitié de sa circonférence, et disparaîtrait dans l'autre moitié comme par une sorte d'hémihêdrio. D’après cela, chaque région de la ^surface du globe pourrait ne présenter à l'observateur que la moitié des systèmes de montagnes que la formule géométrique y indique ; de là aussi la disparition d’une partie des angles calculés d’après celle formule. On pourrait même concevoir que les lois mécaniques qui ont présidé à la formation des rides dé l’écorce terrestre s’op-

posassent à reiis^nce ftimuUanée de cer- . taiDS systèmes dans une même région » d^oii il résulterait que certains angles calculés géométriquement , mais désavoués par la mécanique, ne pourraient être observés nulle part.

.On voit, d'après cela, qu'il n’y aurait à ' se préoccuper de l'absence de représentants observés pour certains angles calculés, qu'autant que cette absence deviendrait le cas général ; mais comme il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi, il y a bien plutôt lieu de s'attacher aux ressemblances remarquables qui se manifestent entre une grande partie des angles calculés et les angles observés.

On concevra facilement, d'après ce qui précède, qu'après avoir calculé tous les angles formés par les 55 premiers cercles dont j’ai parlé, j'aie pu croire un moment que ma besogne touchait à sa fin, et que je n'avais plus qu'à reconnaître parmi ces 55 cercles les représentants théoriques de chacun des systèmes de montagnes européens.

J'ai cherché à opérer ce rapprochement, ét j'ai réellement réussi à représenter, avec une assez grande précision, l'ajustage de quelques ups de ces cercles; mais je n'ai pu

les représenter tous même en faisant la plus large part possible aui erreurs admissibles de Tobservation.

L'introduction .des dodécaédriques régu- ' tiers, qui porte à 61 le nombre des grands cercles principaux d\i réseau pentagonal, ne levant pas la difûculté, j'ai été forcé de reconnaître que mon réseau , réduit à ces cercles principaux, était insuffisant, et qu'il fallait y ajouter des cercles auxiliaires.

C'était admettre simplement qu'il n'est pas plus possible à la géologie de représenter tous les systèmes de montagnes avec les cercles principaux seulement du réseau pentagonal, qu'il ne l'est à la cristallographie de représenter toutes les facettes du système cristallin régulier avec les seules faces du cube, de l'octaèdre et du dodécaèdre rhomboïdal. Pour représenter tous les Systèmes de montagnes, il faut rendre le réseau pentagonal aussi flexible que la cristallographie a su le devenir, au moyen de ses décroissements variés, sans se départir en rien de la rigueur de ses principes. Les cercles auxiliaires d\x réseau pentagonal représenteront . les décroissernents dont la base difl'ère de l'unité.

Les cercles auxiliaires devaient être choisis parmi ceux qui , sans être complètement

déterminés, comme les cercles principaux, par les conditions qui les rattachent au ré-* seau, y sont liés par une seule condition qui laisse une seconde condition à établir ad libitum pour fixer complètement leur position.

Ces cercles, ainsi que nous l’avons déjà vu précédemment, sont en nombre infini.

Ils peuvent être divisés en catégories d’après la nature de la première condition qui leur est imposée.

Reprenant ici la marche que j’ai déjà suivie plus haut , je commencerai par les grands cercles auxiliaires qui se rattachent aux 5 systèmes tri-rectangulaires que ren- .ferme le réseau pentagonal y et je passerai ensuite à ceux qui se rattachent à l’ensemble du réseau.

Chaque système tri-rcclangulaire avec les dodécaédriques rhombcUdaux qui s’y rapportent, forme un réseau quadrilatéral , et divise la surface de la sphère en 48 triangles rectangles scalcnes égaux en surface, et symétriques deux à deux, tels que ceux qui sont représentés par les triangles H T'T, HT"r" de la projection pl. V.

Le solide élémentaire le plus général du système cristallin régulier se compose de 48 faces, dont chacune est comprise dans

l'espace angulaire qui correspond h rùri des48 triangles rectangles scalènes du reseaü quadrilatéral. Pour constituer ce solide élémentaire, on peut concevoir un plan placé d’une manière quelconque dans l’espace angulaire qui correspond à l’un des 48 triangles rectangles scalènes et 47 autres plans placés d’une manière eiactement semblables dans le champ agulaire de chacun des 47 autres triangles. Si l’on concevait 3 ou un plus grand nombre de plans pla-^ cés d’une manière exactement, semblable dans chacun dés 48 champs angulaires, on aurait d’un solide complexe résultant de la réunion 'de plusieurs' solidea élémentaires, mais jouissant de la symétrie du ^yslèrné cristallin régulier.

Nous pouvons nous en tenir au solide élémentaire' de 48^ faces. Il représentera un cristal . possible, si le plan qui forme l’une quelconque de ses faces coupe les trois axes du système à des distances du centre qui soient entre elles comme trois nombres entiers quelconques. Cette condition établit une relation entre toutes les faces possibles du système cristallin régulier et le système tri-rectangulaire. On pourrait la regarder comme suffisante pour introduire tous les plans qui y satisfont dans le

réseau pentagonal complet tel que nous l’a* Yons défini plus haut; mais il est certain qu'elle ne suffit pas pour les faire entrer dans le réseau pentagonal restreint ^ composé de tous les cercles que nous pouvons employer comme auxiliaires. En effel, deux plans qui coupent les trois axes à des distances proportionnelles à des nombres en* tiers, peuvent, suivant le choix de ces nombres, former entre eux un angle quelconque, et aussi petit qu'on voudra. Les plans qui satisfont à cette. condition sont échelonnés dans l'espace, à des distances angulaires infiniment petites, et un réseau qui les contiendrait tous présenterait une infinité d'angles qui se suivraient consécutivement à des distances infiniment petites, comme les points d'une ligne ponctuée microscopique, au lieu de former des groupes distincts comme les angles que l'observation nous a fournis. Les conditions que les plans doi« vent remplir, pour nous fournir des cercles auxiliaires, doivent, d'une part, les lier plus intimement au système, et de l'autre être^ plus largement discontinues.

Nous devons les chercher non dans les conditions tirées du quinconce moléculaire, qui rendent un plan possible cristallographiquement et qui n'ont aucun rapport direct avec

notre objet, mais dans les conditions générales de symétrie qui forment la base de la Doinenclalure cristallographique.

Abstraction faite de la condition moléculaire exprimée par les rapports en nombres entiers que je viens de rappeler et d’écarter, on peut prendre arbitrairement la première face du solide élémentaire de 48 faces, et par conséquent ne lui imposer aucune rela^ lion de position, avec le réseau quadrilatéral ; mais une relation de ce genre exis^ tera aussitôt que la première face sera choisie de façon qu’elle ait avec les faces . placées de la même manière, dans les compartiments contigus du réseau, une relation plus intime que cette simple similitude de position, telle, par exemple, que de se trouver dans le prolongement de l’une d’elles, de telle sorte que les deux ne forment qu’un seul et même plan, ou de constituer avec trois d’entre elles un pointement assujetti à une certaine condition.

Si deux des faces du solide élémentaire se confondent en un même plan et se réduisent à une seule face occupant deux compartiments, il en sera de même à cause de la symétrie de toutes les autres faces prises deux à deux, de sorte que le nombre des faces se réduira de 48 à 24. De plus, ces faces seront perpendiculaires è Tun des

plans, par rapport auxquels les 48 triangles du rdseau quadrilatéral sont symétriques deux à deux, c’est-à-dire à l’un des 3 plans rectangulaires parallèles aux faces du cube, ou à l’un des 6 plans parallèles aux faces du dodécaèdre rhomboïdal.

Dans le premier cas, huit des 24 faces sont perpendiculaires à chacun des plans diamétraux du cube, et parallèles à 4 de ses arêtes. Elles forment un hexaléif^aèdre ou ^ ce qui revient au même, deux dodécaèdres pen-tagouauæ.

Dans le second cas, quatre des 24 faces sont perpendiculaires à chacun des 6 plans parallèles aux faces du dodécaèdre rhomboïdal (plans diagonaux du cube) et parai-, lèles à deux des arêtes de l’octaèdre, et elles forment, suivant leur inclinaison, un trapézoèdre ou un solide formé simplement de pyramides triangulaires appuyées sur les faces de l’octaèdre.

Les 48 faces, sans se réduire dans leur nombre, peuvent aussi satisfaire à de certaines conditions qui les rattachent intimement à la symétrie quadrilatérale, telles, par exemple, que de former quatre à quatre des pointements appuyés sur les arêtes du dodécaèdre rhomboïdal.

Je m’en tiens, provisoirement au moins, à ces trois conditions qui expriment évidem-

ment les relations les plus symétriques que des plans puissent avoir avec le réseau quadrilatéral.

Les plans menés par le centre du cube ou de la sphère , parallèlement aux faces des hexatétraèdres, passent par les intersections des 3 plans rectangulaires du réseau quadrilatéral, Transportés dans le réseau penta^ gonal^ et construits sur notre projection pl. V, ils passent par les points H que j’ai désignés par cette lettre comme étant les points de croisement par l’un desquels passent nécessairement, mais dans des directions quelconques, les cercles auxiliaires que je nomme hexalélraédriques ou dodé^ caédriques pentagonaux^

Les plans menés par le centre de la sphère, parallèlement aux faces des trapézoèdres ou, des solides^à faces triangulaires qui en continuent la série, passent par les diagonales des angles droits des systèmes tri-rectangu- ‘ laires. Transportés dans le réseau .penia^ gonal y et construits sur notre projection pl. V, ils passent par les points T, que j’ai désignés par cette lettre comme étant les points de croisement par l’un desquels passent nécessairement, mais dans une direction quelconque , les cercles que je ïiommQ irapézoédriques, ,

Ënfin lé$ plans menés par le centre de ta sphèl'é, parallèlement aux faces des pyraf mides qui s'appuient sur les arêtes du dodécaèdre rhombotdal^ passent paf les diagonales du cube. Tiransportés dans le réseau péntaffônâtf et construits sur notre projection pK V, les cercles qui les représentent passent par les points I , eitrémités des dta* gonales des systèmes tfi-rectangulaires? La cristatlograptate nè me fournit pas de nom spécial pour les désigner ; jè les appetlérai dtaffonàuaf, en raison de ce que leurs plans passent, comme je viens de le dire, par les diagonales des cubes, et de ce quMs traversent eui<^mëmcs diègonatement les pentagones des sommets, desquels ifs diVergetit.

Maintenant je passe aux cercles auxiliaires qu^oti peut emprunter directement à la symétrie pentagonale , et je suis la même marche que pour les emprunts que je viens de faire à la symétrie quadrilatérale.

Les faces de rbetatëtraèdre peuvent être considérées comme engendrées par celles du dodécaèdre fhombotdal qu’on aurait fait osciller autour des arêtes du cube sur lesquelles elles s’appuient, et qui en forment lés peiiles diagonales. ^ ^

Les* faces du trapéxoèdré peuvent être considérées comme engendrées de même par

celles du dodécaèdre rhoinboidal qu*ûu 44^ rail fait osciller autour dos arêtes de Tqç^ taèdre qui en forment les grandes <^iaga» nales.

Enfin les faces des diverses pyramides appuyées sur les arêtes du dodécaèdre rhom^ boïdal peuvent encore être considérées comme engendrées par les faces de cesolidq qu’on aurait fait osciller autour de ses pro-» près arêtes.

La charpente rectiligne du réseau penla^ gunal présente un solide terminé par 30 lo* sauges qui, comme je l’ai déjà remarqué, 4 ses faces tangentes, dans le sens crislâllo» graphique du mot, aus arêtes du dodécaèdre régulier et de ricosaèdrc, et qui joue, par rapport à ces deux solides réguliers, un rôle analogue à celui que joue le dodécaèdre rhomboïdal par rapport au cube et à Tocv lüèdre.

Si je fais osciller les plans des losangea qui forment les faces de ce solide autour de leurs petites diagonales qui ^ont parallèles aux arêtes du dodécaèdre régulier; puis au*r tour de leurs grandes diagonales qui sont parallèles aux arêtes de ricusaèdre régulier^ et enfin, autour de leurs propres côtés, j’aqrai fait dériver du dodécaèdre et de TicQ** saèdre réguliers des plans exaclemeni cor-

respondants à ceux quej'ai émpruntést diaprés les lois ordinaires dé la cristallographiei au cube et à l’octaèdre.

On peut même faire sur l’origine de ces plans des remarques tout à fait analogues à celles que j’ai faites précédemment rela* tivement à l’origine des faces* de l’hexatétracdre> du trapézoèdre, etc. Le réseau pentagonal divise la surface de la sphère en 120 triangles rectangles scalènes, égaux en surface et symétriques deux à deux, nombre qui, par parenthèse, est égal à la moitié de 5.48 240, qü! est le nombre des triangles

rectangles scalènes de 5 réseaux qvadrila--

téraux. Si, dans l’espace angulaire qui cor-

respond à l’un des 120 triangles rectangles scalènes, du réseau pentagonal, on place un plan d’une manière quelconque , et qu'on en place un d’une manière semblable, relativement à chacun des 119 autres triangles, on 'aura constitué un solide de 120 faces empreint’^de la syinétrie pentagonale ; mais il ne possédera cette symétrie que dans son ensemble, puisque chaque face en particulier sera un plan quelconque. Les plans des faces seront liés par eux-mêmes à la symétrie pentagonale, s’ils remplissent deux

è deux , quatre à quatre, ou autrement, de certaines conditions , telles que de se cou-

fondre deux a deux en un seul , de former quatre à quatre des poinlernenls appuyés sur les arêtes des 30 losanges, et l’on peut poursuivre ce raisonnement, comme nous 1 avons fait plus haut relativement au système quadrilatéral.

Transportés au centre de la sphère, les plans de la première et de la seconde catégorie passent par les intersections des plans rectangulaires du réseau, auxquelles sont parallèles les arêtes du dodécaèdre régulier et de ricosaèdre; construits sur la projection pl. V, ils passent par les points II , et se confondent avec les dodécaédriques pen-' tagonaux.

Les plans de la troisième catégorie transportés au centre de la sphère, passent par les diamètres qui aboutissent aux centres des pentagones , et, construits sur la projection pl. V, ils passent par le point D, centre du pentagone. Ils se distinguent par conséquent de ceux que nous avons dérivés des cubes et des octaèdres. Je les désignerai sous le nom de diamétraux , en raison de ce qu’ils • passent toujours par les centres de deux pentagones, qu’ils traversent chacun, sui-i vant un do ses diamètres.

Finalement les cercles que nous venons, de désigner et de construire forment un

ensemble très simple, 1res symétrique et très

complet. Ce sont tous les grands cercles qui

passent parles points D, I, II et T, c’est-à-

dire par les pôles des 6 dodécaédriques régn*

liers, des 10 octaédriques^ des 15 cercles

primitifs du réseau et des 30 dodécaédri^

c/ues rhombüidaux; ou, en d’autres termes,

ce sont tous les grands cercles dont les plans

sont perpendiculaires à ceux des cercles prin^

cipaux du réseau , de manière que si nous

les prenions tous pour auxiliaires^ le réseau

se composerait des 61 grands cercles prin- * * •

cipaux et de tous leurs perpendiculaires.

Les grands cercles principaux du réseau sont eui-mèmes sujets à se couper perpendiculairement et par conséquent h passer par les pôles les uns des autres. De là il résulte que dans la série innnic de tous les cercles qui sont perpendiculaires à Pun des grands cercles principaux et qui passent par son pôle, il se trouve plusieurs grands cercles principaux qui seulement sont distingués de la série infînie des autres par des conditions particulières et uniques, de même que la face du dodécaèdre rhoinboïdal se distingue par une condition particulière et unique, au milieu de toutes les faces d’iiexatétraèdres dont elle est une position limite et unique dans son genre et au mi-

Ijeii (Je toutes les faces cies Irnpézoèdres dont elle est (également une position limite et unique dans son genre.

Ainsi les dodécaédriques pentagonaux qui passent au point H de la projection , planche y, comprennent dans leur série infinie deux grands cercles primitifs^ deux octaédriques deux dodécaédriques réguliers et deux dodécaédriques rhomboidaux : les tropézoédriques qui se croisent au point T comprennent dans leur série infiiiie un grand cercle primitifs deux octaédriques et un dodécaédrique rhombdidal : les grands cercles diagonaux qui se croisenf'au point I comprennent dans leur série infinie trois grands cercles^ pnmiti/*s et six dodecaedriques rhomboidaux : les grands cercles diamélraux qui se croisent au point D comprennent dans leur série infinie cinq des grands cercles primitifs du réseau.

Chacune de ces séries infinies de grands cercles peut être considéréé comme engen-. drée par Tun des grands cercles principaux quien font partie, tournant autour de celui de scs diamètres- qui aboutit au point de ^ ‘ croisement commun , de même que tous les méridiens du globe peuvent être considérés comme engendrés par le premier méridien, tournant autour de Taxe des pdles. Les

points D, I, H, T se trouvant tous sur- les grands cercles primitifs du réseau, ceux-ci peuvent, en tournant autour des diamètres qui y aboutissent, reproduire tous lesautros cercles du réseau , et ils jouissepl seuls de ce privilège général, qui constitue en leur faveur une prééminence que les octaédriques et les dodécaédriques réguliers pourraient leur disputer sous d'autres rapports.

Les grands cercles que nous venons d'introduire dans le réseau sont donc tous ceux qui, pouvant être engendrés par les grands cercles principaux , tournent indifféremment autour de ceux de leurs diamètres qui aboutissent aux pôles des autres grands cercles principaux. Il est évident que tous ces grands cercles , malgré leur nombre infini,, forment une classe particulière parmi ceux qu'on peut tracer arbitrairement sur la surface de la sphère; qu'ils ont, avec le ^ réseau pentagonal, une relation de position plus simple que les autres, et qu'ils sont tous liés entre eux par les conditions de symétrie du réseau pentagonal. C'est parmi eux que je chercherai d'abord des cercles auxiliaires, sans toutefois m'interdire d'en chercher ultérieurement, s'il y alieu , dans d'autres catégories.

Mais comme les cercles que je viens do

désignet sont cn nombre infini, étSnème plusieurs fois infini , il est indispensable de faire un choix parmi eux, et il faut lâcher de faire un choix heureux, de manière à essayer d’abord ceux qui ont avec notre objet les rapports les plus directs. Il s’agit de faire en quelque sorte parmi eux un appel par ordre de ^mérite au point de vue de leurs rapports avec la symétrie pentagonale.

" Or je remarque que, parmi les cercles qui ' partent dans toutes les directions des pôles des'difirérents*cercles principaux du réseau, il eu est qui passeur en même temps par d’autres pôles/ Beaucoup de ces Jonctions entré lës dëjà^^

par lea

ellês ne %tir

d’un ménàè' pentagone , ; cÀ voit, sur la projection pl. V,“ que le point T n’est pas encore joint au point T'' nî au point T''', et, en considérant simultanément plusieurs pentagones, on trouve beaucoup d’autres jonctions de ce genre à établir. Les cercles qui opéreront ces jonctions seront dans une condition toute particulière, et, après les cercleè principaux, ce seront évidemment ceux qui seront liés aux bases du réseau pentagonal dé la manière la plus intime. - ’ -

Mais la condition dé joindre les pôles de

deux des cercles roodarnentaux n'est pas la seule qui puisse déterminer notre choix en faveur de certains cercles.

Il existe dans la charpente du réseau pentagonal, et dans celle du réseau quadri- . latéral, diverses lignes qui sont telles, que la condition de leur être parallèles constitue pour les plans qui y satisfont un mode particulier de liaison avec l'ensemble. Je citerai par exemple, sans prétendre épuiser tout