I. - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Sur la résistance des ponts à poutres droites continues (1861).

L’élude de la résistance des poutres droites continues se faisait autrefois en discutant séparément tous les cas de surcharge possibles, au nombre de 2“ — 1, pour une poutre à n travées.

Nous avons fait cette remarque que, en appliquant le principe de la superposition des effets des forces élastiques, il suffit de discuter les n cas où chaque travée est chargée seule, les autres étant vides, pour en déduire ensuite tous les cas par de simples additions.

De la sorte, pour une poutre à 7 travées, on n’a plus à discuter que 7 cas, au lieu de 2' — 1 = 127.

Depuis, M. Rresse a tiré un très heureux parti de cette considération, ainsi qu’il a bien voulu le dire dans le passage suivant de son troisième Volume de Mécanique appliquée :

« M. Levy (Maurice), ingénieur des Ponts et Chaussées, a indiqué, » dans un concours de Mécanique appliquée fait pendant son séjour à » l’École, un moyen très élégant pour éviter une telle discussion : c’est » de construire les lignes représentatives des moments dans l’hypo- » thèse où chaque travée est chargée seule, la charge permanente » étant de plus supprimée, puis d’ajouter en chaque point de la fibre » moyenne, d’une part toutes les ordonnées positives, d’autre part

» toutes les ordonnées négatives; les deux sommes ne sont autre » chose que les deux moments limites produits par toutes les com- » binaisons possibles de surcharge.

» Cette idée est des plus ingénieuses;, elle se présente comme une » conséquence ni naturelle et si évidente du principe de la superposi- » tion des effets des forces, qu’on est presque étonné de ne pas l’avoir » rencontrée plus tôt; mais c’est un sentiment que l’on éprouve à » propos de toutes les choses, parfois d’une véritable importance, qui » comptent la simplicité au nombre de leurs mérites. Toujours est-il » que M. Levy n’a pas tiré de sa méthode les conséquences qu’elle ren- » fermait en germe et auxquelles nous sommes arrive en employant » son procédé comme moyen de recherche et de démonstration. » (Bresse, Cours de Mécanique appliquée professé à l’École des Ponts et Chaussées, t. III, p. xm de l’Avant-Propos.)

Essai sur une théorie rationnelle de l’équilibre des terres et ses applications au calcul de la stabilité des murs de soutènement (1869) ( 1 ).

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences des ni juin 1869 et 7 février 1870.

Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Hüsm., t. XV.

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques de M. Dakdoux, t. VI, p. 137.

La théorie de l’équilibre d’un massif de terre de forme prismatique reposait sur l’hypothèse de Coulomb qui consiste à admettre que, si un tel massif est sur le point de se rompre, les surfaces de rupture sont des plans parallèles aux arêtes du prisme.

Le but de ce Mémoire est, comme l’indique son titre, de montrer que le problème est soluble par voie rationnelle, sans hypothèse, et d’examiner ensuite quel est le cas le plus général où l’hypothèse de Coulomb peut se réaliser.

Ce problème comporte quatre fonctions inconnues, à savoir : les composantes, parallèlement à deux axes de coordonnées tracées dans une section droite du massif, des pressions exercées sur deux

; 1 ) Mémoire dont l'insertion au Recueil des Savants étrangers a été votée le 7 février 1870, Venant rapporteur. > > P »

élémenls parallèles à ces mêmes axes pris en chaque point de la sec-

Entre ces quatre forces, la Statique fournit trois équations d’équilibre (deux de projection et une de moments).

Pour trouver une quatrième équation et en déduire la forme véritable, plane ou non, des surfaces de rupture, nous considérons, avec Coulomb, la masse pulvérulente sur le point de se rompre en tous sens, dans un état que nous appelons l 'état d'équilibre limite.

Pour tout élément tangent à une ligne de rupture, l’inclinaison de la pression sur la normale à l’élément est alors connue : c'est l’angle de frottement de la matière considérée, sur elle-même. Pour tout autre élément, l’inclinaison de la pression sur la normale à l’élément est, au contraire, inférieure à l’angle de frottement, puisque, le long d’un tel élément, la masse n’est pas sur le point de glisser.

Donc, si en chaque point on cherche l'élément ou les éléments (il y en a deux) pour lesquels cette inclinaison est maxima, et qu’on écrive que la valeur de cette inclinaison maxima est partout égale à l’angle du frottement, on aura la quatrième équation cherchée.

Cetto quatrième équation est l’équation différentielle même des lignes de rupture. Nous montrons qu’elles ne peuvent être droites, comme l’admet Coulomb, que dans le cas très particulier, mais heureusement très pratique, d’un massif terminé par un talus plan indéfini.

Dans le cas général, nous montrons que la solution du problème exige l’intégration d’une équation à dérivées partielles du second ordre, avec conditions données à la surface.

La seconde partie du Mémoire est le développement de cette solution.

Depuis que notre travail est publié, le regretté Rankine nous a envoyé un Mémoire antérieur au nôtre, conçu dans un ordre d’idées

Toutefois, la théorie de l’éminent professeur anglais se distingue de la nôtre en ce qu’elle repose sur une base contestée, comme on en peut juger par le passage suivant d’une Note publiée aux Comptes rendus, par M. de Saint-Venant, en réponse à diverses objections de M. le commandant Curie :

« J’observerai d’abord, dit M. de Saint-Venant, que M. Levy n’a pas

» été le seul qui ait professé les principes si explicitement repoussés » par M. Curie. M. Levy dit en avoir puisé la première idée dans le » Traité de la Stabilité des constructions publié en 1857, à Brunswick,

» par le D r Scheffler, qui n’en a fait l’application qu'au cas le plus » simple. Déjà, en i856, l’éminent et regretté Macquorn Rankine, dont » M. Levy n’avait pas connu le Mémoire, avait eu et appliqué d’une » manière plus étendue la même idée et était arrivé à la plus grande » partie des formules nouvelles, mais en s’appuyant, comme M. Schef- » fier, sur un principe obscur et contestable, dit de moindre résistance ( 1 ),

» dont M. Levy s’est passé en considérant directement, comme Cou- » lomb, l’équilibre limite précédant le renversement. • [Comptes ren- » dus des séances de TAcadémie des Sciences, 1873, p. 284.

D’autre part, Rankine applique les formules trouvées pour un massif à talus indéfini à la poussée contre un mur d’obliquité quelconque, sans exprimer aucune condition à la surface le long de ce mur. M. Resal dit a cette occasion, dans son beau Mémoire Sur la poussée des terres et la stabilité des murs de soutènement :

« Rankine commet deux erreurs en traitant le cas d’un simple talus.

» 11 suppose d’abord, lorsque le massif est indéfini dans tous les sens, » que la pression sur un plan parallèle au plan du talus lui est nor- » male et est égale au poids du prisme vertical construit sur l’élé- » ment. La seconde partie de cet énoncé est inexacte; car il résulte » de la théorie de M. Maurice Levy qu’il faut substituer au prisme de » Rankine le prisme normal à l’élément. »

M. Resal ajoute : « Par une analyse rigoureuse, M. Maurice Levy a » démontré que celte hypothèse (hypothèse de la rupture plane) ne » se réalise, dans le cas où la partie supérieure du massif est plane, » qu’à la condition que l’inclinaison du parement est une fonction dé- » terminée de la pente du talus.et des angles de frottement de la terre » sur elle-même et contre le mur. » [Resal, Poussée des terres [Journal de Mathématiques pures et appliquées, avril 1877, p. 116.)]

Rankine ne tient pas compte de celte condition.

Les conclusions de la Commission chargée de l’examen de notre Mémoire sont : « Nous pensons donc qu’à tous égards le Mémoire de

(• ) Passage souligné par M. Maurice Levy.

» M. Levy est digne de la haute approbation de l’Académie, et nous en » proposons l’insertion au Recueil des Savants étrangers. »

Enfin, dans son Rapport sur le prix Dalmont, en 1870, M. de Saint- Venant dit, en parlant du Mémoire dont il s’agit ici : « Ce Mémoire » justifie son titre; car, au lieu de partir de la supposition ordinaire » et souvent fausse de rupture plane, les recherches de M. Levy s’ap- » puient sur une base n’ayant rien d’arbitraire. » (Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 1" semestre 1873, p. 133.)

Sur la résistance des cloches de gazomètres sous l’action du vent

Travail qui nous a été demandé par M. l’ingénieur en chef du service de l’éclairage de la ville de Paris. 11 peut offrir quelque intérêt pour les ingénieurs. C’est ce qui nous a déterminé à le publier.

Sur la théorie des poutres droites continues.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du 20 mars 1875, p. 747.

Collignon, Résistance des Matériaux, 1877, p. 362.

Voici en quels termes il est rendu compte de cette Note au Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques :

« L’auteur indique un moyen fort simple de déterminer les moments » fléchissants, qui s’appuie sur le théorème suivant :

« Quel que soit le nombre n des appuis d’une poutre, et les appuis » extrêmes étant ou non à encastrement, si l’on connaît le moment flè- » chissant en un seul point U de la pièce, on peut trouver le moment flé- » chissant en un point de chacun des n — 1 travées autres que celle qui 11 contient le point U, par la résolution de n systèmes composés chacun » de deux équations seulement du premier degré à deux inconnues. »

Le but de ce théorème est de fournir une solution purement graphique du problème.

La méthode de Clapeyron, qui consiste à chercher d’abord les moments fléchissants sur les appuis, exige, pour une noutre à n travées.

la résolution d’un système de n — i équations simultanées du premier degré qui ne se prêteraient pas facilement à une construction géométrique, tandis que nos systèmes successifs d’équations donnent lieu à une construction analogue à celle de Savary pour la détermination du rayon de courbure d’une roulette, construction à effectuer pour chaque