ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

i° Systèmes d’équatiohs lihéaikes a coefeiciemts constants. — J’ai indiqué le moyen de les ramener à une forme canonique pour laquelle l’intégration se fasse immédiatement, quelles que soient les racines, égales ou inégales, de l’équation caractéristique.

J’en ai déduit une nouvelle démonstration de ce théorème, établi par MM.Weierslrass et Somoff, que les intégrales du système qui détermine les variations séculaires ne contiennent, en aucun cas, le temps hors des signes trigonométriques.

La même méthode est d’ailleurs applicable à l’étude des intégrales d’un système à coefficients variables aux environs d’un point critique.

grales, en nombre infini, d’une équation linéaire d’ordre n s’expriment

linéairement au moyen de n d’entre elles. Lorsque la variable indépendante décrit un contour fermé autour d’un point critique, ces intégrales éprouvent une substitution linéaire. Les substitutions correspondantes aux divers points critiques, combinées entre elles, forment un groupe dont l’étude mettra en lumière les propriétés fondamentales de l’équation différentielle.

J’ai donné à ce sujet la solution complète du. problème suivant, qui avait été formulé par M. Frobenius et résolu par lui dans les cas les

Connaissant les substitutions correspondantes à chaque point critique, déterminer, si elle existe, une équation linéaire d’ordre inférieur à l'équation proposée, et ayant avec elle des intégrales communes.

Si l’intégrale d’une équation différentielle linéaire est algébrique, son groupe ne contiendra qu’un nombre fini de substitutions, et réciproquement. La détermination des types d’équations différentielles algébriquement intégrables revient donc à celle des groupes d’ordre fini.

J’ai démontré à ce sujet le théorème général suivant :

Tout groupe G d’ordre fini, contenu dans le groupe linéaire à p variables, contient un groupe F de substitutions de la forme l*> /> *. •••> ux.br, es,

auquel toutes ses substitutions sont permutables, et G aura pour ordre Xf, f étant Tordre de F et X un entier limité en fonction de p.

Cet énoncé équivaut à celui-ci :

Si une équation différentielle d'ordre p a toutes ses intégrales algébriques, ces intégrales s’exprimeront linéairement par les racines d'équations binômes, dont les seconds membres sont des fonctions monodromes de la variable indépendante et des racines d'une équation auxiliaire X = o. Le degré X de cette équation auxiliaire est limité en fonction de p.

Si p = 2 , on trouve aisément qu’il y a cinq types d’équations à inté-