RÉSOLUTION PAR RADICAUX

Abel, ayant démontré que l’équation générale du cinquième degré n’était pas résoluble par radicaux, s’est trouvé conduit à poser le pro-

Trouver toutes les équations d’un degré déterminé quelconque qui soient résolubles algébriquement.

Juger si une équation donnée est résoluble algébriquement ou non.

Son travail est resté inachevé. On voit, par les énoncés qui nous restent (les démonstrations sont perdues), qu’il avait résolu le problème pour les équations de degré premier. Il avait trouvé en outre que les équations primitives, solubles par radicaux, ont pour degré une puissance Se nombre premier.

Galois fit faire un pas décisif k cette, question en établissant la propriété caractéristique des équations résolubles.

L’énoncé qu’il en a donné revient au suivant:

Pour qu’une équation soit résoluble, il faux et il suffit que les facteurs de composition de son groupe soient premiers.

En cherchant à appliquer ce critérium, il a reconnu :

i° Que, si l’équation est de degré premier, il faut et il suffit que son groupe soit contenu dans le groupe linéaire;

a 0 Que, si l’équation est primitive, son degré doit être une puissance d’un nombre premier, telle que p”, et que son groupe doit être contenu dans le groupe linéaire à n variables; mais cette condition est loin d’être suffisante.

Galois n’avait donné que de courtes indications sur la démonstration de ce dernier théorème; il a été établi depuis par M. Betti.

Enfin M. Kroneeker a mis sous une forme canonique l’expression des racines des équations résolubles de degré premier p (sauf le cas où p est de la forme 8n -t-i).

Le problème d’Abel, transformé par Galois, pouvait s’,énoncer ainsi ;

Construire les groupes dont les fadeurs de composition sont premiers (').

En étudiant cette question, j’ai reconnu qu’il convenait de remplacer le critérium de Galois par le suivant, qui lui est équivalent :

Pour qu’un groupe L soit résoluble (c’est-à-dire appartienne à une équation résoluble), il faut et il suffit qu’on puisse déterminer une suite de groupes i, F, G, H, .., L (commençant par un groupe qui ne contient d’autre substitution que l’unité et se terminant par L), jouissant

i° Chacun de cef groupes, tel que G, est contenu dans le suivant H et permutable aux substitutions de L.

2 ° Deux substitutions quelconques g, g ,, prises dans l'un de ces groupes, 6, satisfont à une relation de la forme gg, = g, gff étant une substitution du groupe précèdent F.

On voit immédiatement la marche à suivre pour la construction des groupes cherchés. On formera successivement les groupes partiels F,

G.A mesure que l’on avancera dans cette opération, le champ des

recherches se rétrécira, les substitutions deL devant être permutables à chacun des groupes partiels déjà construits. Cette simplification n’aurait pas lieu si l'on employait le critérium de Galois sous sa forme pri-

On devra d'ailleurs, dans la recherche des groupes résolubles, se borner à construire ceux qui ne sont contenus dans aucun groupe de même nature, mais plus général. Ces groupes caractérisent en effet les types généraux d’équations résolubles, dont tous les autres ne sont que des

En suivant la marche qui vient d’être indiquée, je me suis trouvé conduit à traiter simultanément les trois problèmes suivants :

Problème A. — Construire tous les groupes résolubles les plus généraux.

Problème B. — Construire les groupes résolubles les plus généraux parmi ceux qui sont contenus .dans le groupe linéaire.

Problème C. — Construire les groupes resolubles les plus generaux parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélién ou dans l’un des deux groupes hypoabèliens.

En effet, ces trois problèmes sont liés de telle sorte, que la solution de chacun d’eux, pour un degré donné, se ramène à celle des mêmes problèmes pour des degrés inférieurs ('). On pourra donc les

résoudre pour un degré quelconque en abaissant ce degré, par une série de réductions, jusqu’à ce qu’il soit assez petit pour que la solution devienne intuitive. L’abaissement est extrêmement rapide, et sept à huit réductions au plus suffiront pour tout nombre inférieur à io'“”.

Les groupes résolubles fournis par la méthode précédente sont presque tous généraux et distincts. Cette proposition souffre néanmoins quelques cas d’exception. Parmi les groupes, obtenus, il en est donc un certain nombre que l’on doit rejeter, soit comme non généraux, soit comme formant double emploi. J’ai réussi à déterminer avec précision quelles sont les exclusions à faire pour qu’il ne reste plus que des groupes généraux et distincts (' jjft «ni

Le problème d’Abel est donc entièrement résolu. La méthode qui conduit à ce résultat fournit d’ailleurs un système complet de classification pour les groupes trouvés et permet, de les énumérer avec une extrême facilité. On est donc fondé à présumer que les complications que j’ai rencontrées ne tiennent pas au procédé employé, mais à la nature même du problème.

Comme spécimen de l’application de cette méthode, j’ai publié dans les Comptes rendus trois tables donnant :

La première, le nombre des types résolubles et primitifs jusqu'au degré ioooooo;

La deuxième, le nombre lotal des groupes résolubles jusqu’au degré 10000 ;

La troisième, le tableau des congruences irréductibles à employer dans le calcul des groupes résolubles jusqu'au degré 12000 .

Je me suis également occupé du problème général suivant :

Déterminer les types d’équations irréductibles résolubles, non plus par radicaux, mais à l’aide d’irrationnelles d’une espèce donnée (par exemple è l’aide d’équations des m premiers degrés).

La question ne pouvait évidemment se résoudre complètement, tant qu’elle resterait posée dans des termes aussi généraux. Je suis néanmoins parvenu à diverses propositions qui circonscrivent le problème et le simplifient très notablement. Je montre en particulier qu’on peut toujours le ramener au cas où l’équation est primitive.