RECHERCHES SUR LA SYMÉTRIE

Symétrie des polyèdres.

Un observateur placé sur la surface extérieure d’un polyèdre et regardant dans la direction d’une des arêtes qui en sont issues voit les faces, arêtes et sommets du polyèdre s’enchaîner les Uns aux autres, à partir de cette arête initiale, dans un certain ordre, qu’on peut appeler Vaspect direct du polyèdre par rapport 'a ce sommet et à cette arête. Si A est le nombre des arêtes, celui des aspects directs sera 2 A.

Si l’observateur se plaçait sur la surface intérieure du polyèdre, il obtiendrait 2A nouveaux aspects (aspects rétrogrades).

Les 4 A aspects ainsi trouvés seront généralement différents; il peut toutefois arriver que quelques-uns d’entre eux soient semblables. Je me suis proposé d’étudier les diverses sortes de symétries qu’un polyèdre ou fragment de polyèdre peut présenter à ce sujet. Après avoir exposé, dans deux Mémoires étendus, les principes qui conduisent è la solution de cette question, je les ai appliqués aux trois sortes de surfaces polyédriques les plus remarquables. Çette étude fournit les résultats suivants :

1° Polyèdres d’espèce (o, o). (Cette catégorie contient les polyèdres convexes.)

Si l'un de ces polyèdres P présente plusieurs aspects directs semblables, on pourra construire, d'une infinité de manières, un nouveau polyèdre II, formé de faces de même nature, et gui soit exactement superposable à lui-même sous ces divers aspects.

Ces polyèdres peuvent être répartis, au point de vue de la symétrie de

pi )

leurs aspects directs, en neuf classes, qui peuvent elles-mêmes se subdiviser en ordres, familles, genres, etc. (’).

Si le polyèdre V a ses aspects directs semblables à ses aspects rétrogrades, on pourra déterminer, d’une infinité de manières, le polyèdre JT, de telle sorte qu'il soit symétrique à lui-même par rapport à un plan ou à un point donné.

Cette symétrie inverse peut se présenter de dix-huit manières différentes, ce qui porte à vingt-sept le nombre total des classes à distinguer dans les polyèdres d’espèce(o, o).

2° Polyèdres d’espèce (o, i). (Polyèdres ayant une forme analogue à celle du tore.) Ils donnent lieu h de tout autres résultats. On peut les partager, au point de vue de la symétrie directe, en trois classes. Quant à la symétrie inverse, elle peut se produire de neuf manières, ce qui fait un total de. douze classes,

Si l’un de ces réseaux présente plusieurs aspects directs semblables, on pourra déterminer, d’une infinité de manières, un réseau formé de polygones de même nature et superposable à lui-même sous ces divers aspects.

Ces réseaux se partagent en neuf classes, au point de vue de la symétrie de leurs aspects directs.

Je citerai enfin une dernière proposition qui me paraît la plus inté-: rèssante de cette théorie par sa généralité et par le procédé qui sert à la démontrer :

Le nombre des aspects semblables que peut présenter un polyèdre d’espèce (o, n) est limité, stn>i.

Cette théorie delà symétrie des polyèdres vient de prendre un intérêt tout nouveau par l’importante application qu’en a faite M. Klein à l’é-

( ' ) Dans son Bapport à l'Académie, sur ce premier travail, M. Bertrand s’exprimait ainsi :

tude des fonctions algébriques (Mathemalische Anrtalen, t. XIV et XV). On peut également consulter à ce sujet la Dissertation inaugurale de M. Walter Dyck (Munich. 1879).

Symétrie des assemblages de lignes.

Après la symétrie des polyèdres, j’ai considéré celle des assemblages de lignes. Après avoir reconnu l’identité de ce problème avec celui de la symétrie des formes quadratiques, j’ai établi les propositions sui-

Dans tout assemblage A à continuité simple, on peut déterminer de quatre manières différentes un sommet central (ou une arête centrale) se correspondant à lui-même sous tous les aspects pour lesquels A est semblable à lui-même .

Si A est doublement continu, on pourra y déterminer un contour fermé central; s’il l’est triplement, un sommet (ou arête) central ou un système de deux pôles, etc.

Ces résultats ont été appréciés d’une manière flatteuse par M. Sylvesler. Cet éminent géomètre a indiqué le moyen de les appliquer a l’étude du groupement des atomes dans les molécules chimiques.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.

Groupes de mouvements.

On sait que le déplacement le plus général d’un solide est un mouvement hélicoïdal, et que, deux semblables mouvements étant donnés, oq pourra en déterminer un troisième résultant des deux premiers.

Lorsque les deux mouvements composants sont infiniment petits, l’ordre dans lequel on les effectue est indifférent et le mouvement ré-, sultant s’obtient par les règles connues.

S’il s’agit au contraire de mouvements finis, le mouvement résultant

dépend de l’ordre dans lequel on effectue les mouvements composants,

et j’ai indiqué, pour le déterminer, des règles nouvelles et fort simples.

Ces préliminaires établis, j’ai résolu la question suivante :

Trouver tous les groupes de mouvements tels qu'en composant ensemble deux mouvements quelconques du groupe on obtienne un mouvement résultant qui fasse lui-même partie du groupe.

Ou, en d’autres termes :

Déterminer les diverses manières dont un système de molécules peut être superposable à lui-même.

La belle théorie cristallographique de Bravais repose sur la solution qu’il a donnée de ce problème dans le cas particulier où toutes les molécules sont orientées de même et disposées en réseau. En traitant la question dans toute sa généralité, j’ai obtenu les résultats suivants :

Les groupes exclusivement formés de mouvements de translation sont au nombre de neuf; leurs divers mouvements résultent de la combinaison de

Les groupes exclusivement formés de rotations sont au nombre de huit; leurs rotations sont toutes concourantes.

A tout groupe G contenant des mouvements hélicoïdaux on peut faire correspondre un autre groupe g formé de rotations concourantes. Les groupes G peuvent être répartis en six catégories, suivant la nature du groupe g qui leur correspond.

Première catégorie : Les rotations de g s’opèrent toutes autour du même axe. Cette catégorie contient soixante groupes G.

Deuxième catégorie: g dérive de deux rotations, dont l'une de i8o°, autour de deux axes rectangulaires. Cette catégorie contient soixante et onze groupes.

Troisième, quatrième et cinquième catégories : g est formé des rotations qui superposent à lui-même un tétraèdre, un octaèdre ou un icosaèdre régulier. Ces catégories contiennent respectivement seize, huit et un groupe G.

Septième groupe. — -Ses mouvements superposent à lui-même un assemblage cubique et résultent de trois rotations de 90°, exécutées autour de trois axes concourants rectangulaires, et de trois translations de même longueur 0, respectivement parallèles à ces trois axes.

Huitième groupe. — Ses mouvements résultent d’une rotation binaire autour d’un axe A, combinée à deux translations distinctes l et t„

toutes deux normales à A.

Neuvième groupe. - Il s'obtient en combinant les mouvements du précédent avec une translation S parallèle à A.

Dixième groupe. — Ses mouvements résultent de la combinaison

d’un mouvement hélicoïdal quelconque autour d’un axe A avec une

Douzième groupe. — Il est formé de la réunion des mouvements des deux groupes précédents.

Treizième groupe. — Il se déduit du dixième en supposant que le mouvement hélicoïdal se réduise à une translation 0.

Quatorzième, quinzième, seizième et dix-septième groupes. — Ils s’obtiennent en combinant les mouvements des quatre groupes précédents avec l’ensemble des translations perpendiculaires à A.

Dix-huitième groupe. — Ses mouvements résultent de la combinaison de rotations binaires, autour de trois axes rectangulaires concourants A, B, C, avec des translations t et t, respectivement parallèles à B et à C. Ils superposent à lui-même le réseau plan rectangulaire formé

Dix-neuvième groupe. — Ses mouvemenls s’obtiennent en combinant . ensemble : i° une rotation d’amplitude 3 autour d’un axe A; a 0 une rotation binaire autour d’un second axe B qui coupe le premier normalement; 3° une translation t parallèle à B. Ils superposent à luimême un réseau plan dont la maille est un triangle régulier formé sur

Vingtième groupe. - Ses mouvements s’obtiennent en combinant ensemble : i° une rotation d’amplitude - autour de A; 2° une rotation binaire autour de B ; 3° une translation t parallèle à B. Ils superposent à lui-même le réseau à maille carrée formé sur le paramètre t.

Vingt et unième, vingt-deuxième et vingt-troisième groupes. — Ils s’obtiennent respectivement en combinant aux mouvements des. trois précédents une nouvelle translation 6 parallèle à A.

La plupart des a3 groupes qui précèdent contiennent certains paramètres; -, 0, t, t,, t,,. Quels que soient les systèmes de valeurs finies que l’on donne à ces paramètres, le type du groupe ne sera pas essentiellement changé; mais il le sera si l’on suppose ces paramètres infiniment petits. On obtiendra par là de nouveaux groupes, se rattachant très naturellement aux précédents.

Cela posé, ceux des 174 groupes qui ne sont ni principaux ni dérivés des principaux, comme il vient d’être dit', sont tous des groupes

mériédriques, c’est-à-dire contenant tine fraction déterminée des mouvements de quelqu’un des précédents. Ainsi, le groupe des 24 mouvements qui superposent l’octaèdre régulier à lui-même contient un groupe hémiédrique formé des 12 mouvements qui superposent le tétraèdre régulier à lui-même.

On peut citer encore, comme groupes mériédriques remarquables, ceux qui sont contenus dans le groupe principal qui superpose à luimême un assemblage cubique : ils sont, à eux seuls, au nombre de

En terminant ce Mémoire, j’exprimais la pensée que les résultats géométriques qu’il contient pourraient être utilisés en Cristallographie. Cette prévision parait s’être réalisée. M. Leonhardt Sohncke a publié, en 1879, un Livre consacré à une théorie nouvelle de la structure cristalline, établie tout entière sur ce fondement. lien déduit une explication plausible de divers phénomènes, et particulièrement de la polarisation circulaire du quartz.