CALCUL DES PROBABILITÉS

J'ai iraité les questions suivantes :

i*^ Un événement peut être produit par diverses causes; on connaît la probabilité de chacune d'elles et celle de leurs combinaisons deux a deux, trois à trois, etc. : trouver la chance pour que révénemenl soit dû au concours de r d'entre elles.

2° Une droite de longueur / est divisée en m segments : quelle est la probabilité pour que n d'entre ces segments surpassent une longueur donnée a?

3° Quatre points sont pris au hasard sur une sphère : quelle est la chance pour qu'ils forment un quadrilatère convexe?

4° On prend au hasard trois points A, B, C dans l'intérieur d'une figure plane fermée ayant un centre : quelle est la chance pour que tombe dans le triangle A, B, C.

5*^ La méthode des moindres carrés conduit, comme on sait, à chercher le minimum de la somme des carrés de n fonctions linéaires de /n variables a?,, ..., Xjn* J'ai obtenu l'expression de ce minimum et des valeurs correspondantes des variables sous forme de fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des sommes de carrés ou de produits de déterminants. (On connaissait déjà quelques cas particuliers de cette formule : plus courte distance de deux droites; courbure et torsion des courbes gauches.)

( ai )

GÉOMÉTRIE A n DIMENSIONS.

La Géométrie analytique n'est autre chose que Tétude des fonctions de deux ou trois variables et des transformations qu'on peut leur faire subir par des substitutions de diverses sortes (principalement par des substitutions orthogonales). Étendant ces théories a un nombre quelconque de variables, on pourra nommer point, dans un espace à/i dimensions, un système de valeurs des n variables, surfaccy bisurface, . . . et enfin courbe l'ensemble des points définis par i,a, . . . , n — i équations.

On sait, par les travaux de divers géomètres, que la théorie des surfaces ordinaires s'étend sans changement notable au cas de n dimensions. J'ai reconnu que la même analogie subsiste en ce qui concerne les courbes.

Il existe d'ailleurs dans Tespace à n dimensions, entre les surfaces et les courbes, des êtres géométriques intermédiaires (^-surfaces) définis par k équations, k étant >i et </i — i. N'ayant pas d'analogue dans la Géométrie ordinaire, ils donnent lieu à des recherches plus intéressantes.

J'ai d'abord étudié les éléments qui définissent, indépendamment du choix des coordonnées, la situation relative de deux multi-plans ayant un point commun. Dans l'espace ordinaire, où l'on n'a que des plans et des droites, cette situation est définie par un seul invariant orthogonal, l'angle des droites ou plans considérés. ^Ici la question devient plus compliquée, ainsi qu'il résulte des propositions suivantes :

Un système formé d'un k-plan P^t et d'un l-plan Vi passant par un même point de l'espace possède p invariants distincts, p étant le plus petit des nombres k^l^n — k^n — L Ces invariants [angles des deux multiplans) sont les racines d'une même équation caractéristique.

Les divers plans perpendiculaires à P^ se coupent suivant un [n^k)'plan

P„A, dont les angles avec P/ s'obtiendront en ajoutant - aux angles de

Vi, et de P/.

Un système de dejux muUi-plans qui ne se coupent pas possède un invariant de plus, leur plus courte distance.

Dans la suite de mon travail, je donne le système des formules qui relient entre eux les angles mutuels des divers multi-plans formés avec n plans donnés concourant eu un même point. Ces formules se réduisent, pour 71 = 3, a celles de la Trigonométrie sphérique. Je les rattache à la considération du déterminant de la forme quadratique qui donne la distance de deux points (les n plans donnés étant pris pour plans coordonnés).

Je montre ensuite comment une substitution orthogonale de déterminant I peut être ramenée, par une transformation orthogonale opérée sur

les variables, à une forme canonique dépendant de - invariants, si n est

pair, de — ^ si n est impair. Je donne l'expression de ces invariants,

ainsi -que les équations aux dérivées partielles qui les caraclérisent. J'en déduis la généralisation des théorèmes fondamentaux de la Géométrie cinématique et, dans le cas de quatre dimensions, une construction géométrique pour la composition des rotations. J'ai enfin établi le théorème suivant :

Une k'Surface, située dans l'espace à m-^-k dimensions, présente en chaque point m directions rectangulaires telles que la somme des carrés des angles formés par deux k-plans tangents consécutifs, divisée par ds^ , soit maximum ou minimum.

Cette proposition doit être considérée comme la généralisation du théorème d'Euler sur les courbures principales. Cette extension présente quelque intérêt, car la plupart des autres théorèmes sur les surfaces, notamment ceux de Monge sur les lignes de courbure, ne s'appliquent pas aux multi-surfaces.