THÉORIE ALGÉBRIQUE

Formes quadratiques.

Plusieurs géomètres se wSont occupés de la réduction à une forme canonique d*un système de deux formes quadratiques simultanées; mais la première solution complète de celte question a été donnée par M. Kronecker [Monatsberichte, 1874).

J'ai simplifié cette méthode et j'en ai déduit la solution des deux questions suivantes :

Trouver les conditions d'équivalence de deux systèmes quadratiques. Trouver les transformations d'un système en lui-même.

On démontre aisément qu'il est nécessaire et suffisant pour Téquivalence que les deux systèmes aient des réduites identiques.

Pour résoudre la seconde question, on forme a priori un certain nombre de substitutions simples qui n'altèrent pas le système. On démontre ensuite que toutes les substitutions qui jouissent de cette propriété dérivent de la combinaison de celles-là.

Formes binaires.

M. Gordan a démontré que les covariants d'un système de formes binaires s'expriment tous en fonction entière de covariants indépendants dont l'ordre (par rapport aux variables) et le degré (par rapport aux coefficients) sont limités.

Il établit celte proposition fondamentale, par un procédé de récurrence, en montrant : i*" qu'elle est vraie pour une forme d'ordre N si elle est vraie pour les systèmes de formes d'ordre <N; 2** qu'elle est

( 24 ) vraie pour un système de k formes si elle est vraie pour les systèmes de moins de k formes.

Cette méthode, quoique fort belle, semble peu propre à déterminer la valeur des limites dont elle prouve Texistence.

J'ai réussi à fixer ces limites.

Les valeurs obtenues ne dépendent que de l'ordre des formes du système donné et restent les mêmes quel que soit le nombre de ces formes ( * ).

( 1 ) Ces valeurs sont fournies par le théorème suivant :

ToiU covariant d'un système fie formes a, b, c, . . . , dont aucune n*est d'ordre supérieur à N, s'expritne en fonction linéaire de produits RST ainsi définis:

T est un produit d'invariants dont le degré ne surpasse pas (7N — 6)3?, p étant le plus grand entier qui satisfasse à l'inégalité

log?-

logi

s est un prodtdt de covariants dont l'ordre ne surpasse pas aN — a et dont le degré ne surpasse pas 2.3?.

R est un covariant dont l'ordre et le degré D sont limités pai^ les inégalités

// peut d'aiUeiu's s'exprimer en fonction entière de covariants dont l'ordre ne surpasse pas N<î — 2 y(^), J étant le plus grand entier qui satisfasse à l'inégalité

enfin fetf désignant deux Jonctions numériques définies par les formules récurrentes

/(i:=0, /(2) = l, /(3)=2, /(2/-4-3)=:/(2iH-2)-h2E r^^'';^^n ,

<?« E (.r ) désigne le plus grand entier contenu dans x.

Le calcul des limites déterminées par ces formules s'effectue avec la plus grande facilité.

La limite trouvée pour le degré des covariants indépendants pourrait sans doute être notablement abaissée par une étude plus approfondie.

Celle qa'on obtient pour l'ordre paraît au contraire être précise, M. Sylvesler Va vérifié jusqu'aux formes du dixième ordre inclusivement.