ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

i** Systèmes d'équations linéaires a coefficients constants. — J'ai indiqué le moyen de les ramener h une forme canonique pour laquelle l'intégration se fasse immédiatement, quelles que soient 1rs racines, égales ou inégales, de l'équation caractéristique.

J'en ai déduit une nouvelle démonstration de ce théorème, établi par MM.Weierstrass et Somoff, que les intégrales du système qui détermine les variations séculaires ne contiennent, en aucun cas, le temps hors des signes trigonométriques.

La même ) méthode est d'ailleurs applicable à l'étude des intégrales d'un système à coefficienls variables aux environs d'un point critique.

2** Équations a coefficients variables. — On sait que les intégrales, en nombre infini, d'une équation linéaire d'ordre n s'expriment

(39) linéairement au moyen de n d'entre elles. Lorsque la variable indépendante décrit un contour fermé autour d'un point critique, ces intégrales éprouvent une substitution linéaire. Les substitutions correspondantes aux divers points critiques, combinées entre elles, forment un groupe dont l'étude mettra en lumière les propriétés fondamentales de l'équation différentielle. "^

J'ai donné à ce sujet la solution complète du problème suivant, qui avait été formulé par M. Frobenius et résolu par lui dans les cas les plus simples :

Connaissant les substitutions correspondantes à chaque point critique, déterminer, si elle existe, une équation linéaire d'ordre inférieur à V équation proposée, et ayant as^ec elle des intégrales communes.

Si l'intégrale d'une équation différentielle linéaire est algébrique, son groupe ne contiendra qu'un nombre fini de substitutions, et réciproquement. La détermination des types d'équations différentielles algébriquement intégrables revient donc à celle des groupes d'ordre fini.

J'ai démontré a ce sujet le théorème général suivant :

Tout groupe G d'ordre fini, contenu dans le groupe linéaire à p variables, contient un groupe F de substitutions de la forme

\x, X, z, ..., ax, bjTy cz, . ..|,

auquel toutes ses substitutions sont permutables, et G aura pour ordre \f, f étant l'ordre de Y et \ un entier limité en fonction de p.

Cet énoncé équivaut à celui-ci :

Si une équation différentielle d'ordre p a toutes ses intégrales algébriques, ces intégrales s'exprimeront linéairement par les racines d'équations binômes, dont les seconds membres sont des fonctions monodromes de la variable indépendante et des rax^ines d'une équation auxiliaire X = o. Le degré X de cette équation auxiliaire est limité en fonction de p.

Si p = 2y on trouve aisément qu'il y a cinq types d'équations à inté-

graies algébriques; le nombre X est au plus égal à 5. (Ces résultais avaient déjà été trouvés par M. Klein par une méthode moins directe.)

Une discussion analogue, mais plus difficile, montre que pour/> = 3 il existe douze types.

Si X surpasse 5, il est égal à 7 ou à 9. Dans le premier cas, X = o sera la réduite de l'équation modulaire pour la transformation au septième ordre; dans le second cas, ce sera une équation hessiénne.

J'ai publié, dans \es Mémoires de l'Académie de Naples, la première partie de la discussion pour/? =4.

G7OO PA«IS. — IMPRIMERIE DE GAITHIER-VILLARS, Ql'AI DES CRANDS-AUCISTINS, 55.

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