RÉSOLUTION PAR RADICAUX

Abel, ayant démontre que l'équation générale du cinquième degré n'était pas résoluble par radicaux, s'est trouvé conduit à poser le problème suivant :

Trouver toutes les équations d'un degré déterminé quelconque qui soient résolubles algébriquement.

Juger si une équation donnée est résoluble algébriquement ou non.

Son travail est resté inachevé. On voit, par les énoncés qui nous restent (les démonstrations sont perdues), qu'il avait résolu le problème pour les équations de degré premier. 11 avait trouvé en outre que les équations primitives, solubles par radicaux, ont pour degré une puissance de nombre premier.

(1) Les calculs qui m'ont amené à ce dernier résultat étaient trop longs pour être publiés.

Galois tit faire un pas décisif à cette question en établissant la propriété caractéristique des équations résolubles. I/énoncé qu'il en a donné revient au suivant:

Pour quune équation soit résoluble, il faut et il suffit que les facteurs de composition de son groupe soient premiers.

En cherchant à appliquer ce critérium, il a reconnu :

i*' Que, si l'équation est de degré premier, il faut et il suffit que son groupe soit contenu dans le groupe linéaire;

2** Que, si l'équation esl primitive, son degré doit être une puissance d'un nombre premier, telle que/?", et que son groupe doit être contenu dans le groupe linéaire à w variables; mais cette condition est loin d'être suffisante.

Galois n'avait donné que de courtes indications sur la démonstration de ce dernier théorème; il a été établi depuis par M. Betti.

Enfin M. Kronecker a mis sous une forme canonique l'expression des racines des équations résolubles de degré premier p (sauf le cas où p est de la forme 8/i -+- 1).

Le problème d'Abel, transformé par Galois, pouvait s'énoncer ainsi :

Construire les groupes dont les facteurs de composition sont premiers (*).

En étudiant cette question, j'ai reconnu qu'il convenait de remplacer le critériun) de Galois par le suivant, qui lui est équivalent :

Pour qu'un groupe L soit résoluble (c'est-à-dire appartienne à une équation résoluble), il faut et il suffit qu'on puisse déterminer une suite de groupes i, F, G, H, . ., L (commençant par un groupe qui ne contient d'autre substitution que l'unité et se terminant par L), jouissant des propriétés suivantes :

1° Chacun de ces groupes, tel que G, est contenu dans le suivant H et permutable aux substitutions de L.

(*] Cet énoncé est en effet la traduction exacte de la première question posée par Abel. Pour résoudre la seconde, on n'aura qu'à s'assurer si lo groupe de l'équation donnée est contenu dans l'un des groupes G trouvés comme caractérisant des équations résolubles. Il suffira pour cela de former, parla méthode des fonctions symétriques, l'équation à laquelle satisfait une fonction des racines, invariable par les substitutions de G, et de vérifier si cette équation a une racine rationnelle.

2° Deux substitutions quelconques gy gt , prises dans Vun de ces groupes, G, satisfont à une relation de la forme gg^ ^=^gigf^f^^^^^ une substitution du groupe précèdent F.

On voil immédiatement la marche à suivre pour la construction des groupes cherchés. On formera successivement les groupes partiels F, G, .... A mesure que l'on avancera dans cette opération, le champ des recherches se rétrécira, les substitutions deL devant être permutables à chacun des groupes partiels déjà construits. Cette simplification n'aurait pas lieu si l'on employait le critérium de Galoissous sa forme primitive.

On devra d'ailleurs, dans la recherche des groupes résolubles, se borner à construire ceux qui ne sont contenus dans*aucun groupe de même nature, mais plus général. Ces groupes caractérisent en effet les types généraux d'équations résolubles, dont tous les autres ne sont que des cas particuliers.

En suivant la marche qui vient d'être indiquée, je me suis trouvé conduit a traiter simultanément les trois problèmes suivants :

Problème A. — Construire tous les groupes résolubles les plus généraux.

Problème B. — Construire les groupes résolubles les plus générauaparmi ceux qui sont contenus dans le groupe linéaire.

Problème C. — Construire les groupes résolubles les plus généraux parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélien ou dans l'un des deux groupes hjrpoabéliens ,

En effet, ces trois problèmes sont liés de telle sorte, que la solution de chacun d'eux, pour un degré donné, se ramène à celle des mêmes problèmes pour des degrés inférieurs (*). On pourra donc les

(^) Cette liaison résulte des propositions suivantes :

1° Poiw construire les groupes résolubles les pliLi gcne'rnux de degré' m (problème A) on décomposera m en un produit de facteurs successifs qui soient tous des pui.ssances de nombre premier. A chacune de ces décompositions , telle que m — p^p'**^ . . . , correspond une classe de groupes, dent la détermination se déduit immédiatement de celle des groupes résolubles les plus généraux contenus dam l(\s groupes linéaires de degrés p^, p'"', .. . (problème B).

a* Poui' construire les groupes résolubles les plus généraux contenus dans le groupe li^

résoudre pour un degré quelconque en abaissant ce degré, par une

série de réductions, jusqu'à ce qu'il soit assez pelit pour que la solution

•devienne intuitive. L'abaissement est extrêmement rapide, cl sept à

huit réductions au plus suffiront pour tout nombre inférieur à iq'"".

Les groupes résolubles fournis par la méthode précédente sont presque tous généraux et distincts. Cette proposition souffre néanmoins quelques cas d'exception. Parmi les groupes obtenus, il en est donc un certain nombre que Ton doit rejeter, soit comme non généraux, soit comme formant double emploi. ]*ai réussi à déterminer avec précision quelles sont les exclusions a faire pour qu'il ne reste plus que des groupes généraux et distincts (• ).

Le problème d'Abel est donc entièrement résolu. La méthode qui conduit à ce résultat fournit d'ailleurs un système complet de classification pour les groupes trouvés et permet de les énumérer avec une extrême facilité. On est donc fondé à présumer que les complications que j'ai rencontrées ne tiennent pas au procédé employé, mais à la nature même du problème.

Comme spécimen de l'application de cette méthode, j'ai publié dans les Comptes rendus trois tables donnant :

La première, le nombre des types résolubles et primitifs jusqu'au degré loooooo;

néaire de degt'é p^ (problème B), on posera n — >v7t*'7r'*'. . . , tt, -rr', . , . étant des nombres premiers qui divbent /?" — i . A chaque décomposition de cette espèce correspond une classe de solutions, qui pourront se construire sans difficulté si l'on connaît les groupes résolubles les plus généraux pour le degré X ( prpblème X) et les groupes résolubles les plus généraux contenus dans les groupes abélicns [ou hypo-abéliens) de degrés tt^», tt'»'', ... (problème C).

3" Potcr construire les groupes résohihles les plus généraux contenus dans le groupe abélien (dans l'un des groupes hypo-abéliens) de degré />*'* (problème C), on posera de même n = l'j-n" i:"*' . . . , tt, tt', ... étant des nombres premiers qui divisent p^" —Xj et l'on n^aura plus qu'à résoudre le problème A pour le degré "k et le problème C pour les degrés tt*', tt'**', ....

(*) La méthode précédente résolvant simultanément les trois problèmes A, B, C, on doit démontrer trois théorèmes A, B, G pour établir que les groupes qu'elle fournit sont généraux et distincts. A cet effet, je fais voir que si l'un de ces théorèmes était faux pour un degré donné, l'un d'eux serait faux pour un degré moindre.

Cette démonstration repose sur certaines inégalités numériques, vraies en général, mais qui peuvent devenir inexactes pour certains nombres très petits. De là naissent les cas d'exclusion signalés dans le texte.

La deuxième, le nombre total des groupes résolubles jusqu'au degré loooo;

La troisième, le tableau des congruences irréductibles à employer dans le calcul des groupes résolubles jusqu'au degré 1 2000.

Je me suis également occupé du problème général suivant :

Déterminer les types d'équations irréductibles résolubles, non plus par radicaux, mais à l'aide d'irrationnelles d^une espèce donnée ( par exemple à l'aide d'équations des m premiers degrés).

La question ne pouvait évidemment se résoudre complètement, tant qu'elle resterait posée dans des termes aussi généraux. Je suis néanmoins parvenu à diverses propositions qui circonscrivent le problème et le simplifient très notablement. Je montre on particulier qu'on peut toujours le ramener au cas où l'équation est primitive.