III. — De la transformation des surfaces

L'étude des courbes algébriques susceptibles de se transformer les unes dans les autres par des transformations birationnelles forme un diapitre fondamental de la tbéorie des courbes planes dont lîiemann, le premier, a montré l'importance et l'intérêt. Une étude analogue n'a pas moins d'intérêt dans la tbéorie des surtaces algébriques, et mes précédentes recbercbes m'ont naturellement conduit à m'occuper de cette question. L'étude des surfaces susceptibles de se transformer en elles-mêmes se présentait tout d'abord; >F. Scinvarz avait démontré que les courbes des genres zéro et un sont les seules (jui puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution birationnelle renfermant un paramètre arbitraire. J'établis pour les surfaces un tliéorème analogue, d'apri's lequel les surfaces du genre zéro ou un sont les seules qid puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution hiralionnelle renfermant deux paramétres arbitraires. Nous entendons d'ailleurs que les deux |)aramètres figurent dans la transformation de telle manière qu'à un point de la surface correspond, par la transformalion et en faisant varier les paramètres, non pas une courbe déterminée, mais nu point arbitraire de la surface.

L'examen du cas où il y a setilcincMl un |)arami'tre arbitraire dans la transformation condiiil à des conclusions bien dillérentes; dans ce cas le

( T- ) licnic (lo la smracf pciil ('Iro (|iU'lconqiie. Un peut ini'iiie trouver bien aiséiiifiU les surfaces de genre supérieur à un, et susceptibles d'être Iransl'orniées en elles-mêmes par une substitution birationnelle avec un paramètre arbitraire; pour une telle surface, toute adjointe d'ordre (m — 4) '^i coui)e suivant une ou plusieurs courbes mobiles de genre un, dont le module est une constante, et l'on en conclut une expression générale et simple des coordonnées d'un point quelconque de la surface.

Nous avons recbercbé ensuite les surfaces admettant an groupe coniinii de transformations birationnolles en elles-mêmes sans nous occuper du genre de la surface. Le résultat de cette rechercbc est contenu dans le lliéori-me suivant :

Si ujic surface a/gebriqar admet un groupe fini de transformations birationnelles à un nombre quelconque de paramètres, deux cas peuvent se présenter :

i" Ou bien il y a sur la surface un faisceau de courbes algébriques du genre zéro ou un ;

2" Ou bien les coordonnées d'un point quelconque de la surface peuvent s'exprimer par des fonctions uniformes de deux paramétres u et c, au moyen de l'inversion de deux intégrales de différentielles totales attachées à la surface, soit

\ f P f/.r -<- Q dy = «,

les P et Q étant rationnelles en x, y et :■.

Les surfaces rentrant dans la seconde catégorie méritaient d'être étudiées avec quelques détails; elles sont vraiment les analogues des courbes planes du genre zéro et 1, et leur étude constitue une application de nos résultats généraux sur les intégrales de différentielles totales. Déjà nous avons parlé plus liant du cas où les deux intégrales (t) sont de première espèce; je veux seulement ajouter ici que nous montrons comment des équations (i) on pourra tirer des équations donnant les numérateurs et le dénominateur de X, Y, :- (numérateurs et dénominateur qui sont des fonctions entières de Il et v), et c'est la considération de certaines intégrales de différentielles totales de seconde espèce qui nous conduit à ce résultat.

Dans le cas où les deux intégrales (i) ont moins de quatre périodes, la surface est nécessairement du genre zéro. La discussion des différents cas qui peuvent se présenter peut être faite complètement, .l'indique seulement

( -3 ) un résultat relatif, au cas où une dos intéjîralcs (i) est de preinièie espèce : les cooidtHHH'es de la surlaee peuvent alors s'exprimer en fonction rationnelle irun païamèlre 0, d'un paramètre A et de \ l\{ A ). | !{( A ) étant un [>olynome du (|uatrii'me de^'ré). Le type d'une l«dle surface est fourni par les surfaces ré;,'lées du ([ualrième dciïré avec deux droites doubles (|ui ne se rencontrent pas.

Je me suis aussi occupé de la transformation d'une surface eu une autre; j'ai montré comment on peut reconnaître si deux surfaces de genre supérieur à un se corresponilent point par point, et j'ai établi notamment, par deux voies dillerentes, que deux surfaces do genre supérieur à l'unité ne peuvent admettre une infinité (lisconlinue de substitutions birationnelles. Je n'ai pas pu traiter les mémos questions pour les siirlaces do genre zéro et un; c'est d'ailleurs une remarque générale ([lie, pour ces dernières surlaces, beaucoup de problèmes sont pins difficiles ijue j)oiir les surlaces de genre quelconque. Nous dirons seulement, au sujet île la correspondance de ces surfaces, qu'une condition nécessaire se trouvera exprimée par l'égalité du nombre des cycles à une et deux dimensions.

J'ai parlé dans un autre Chapitre des équations dillerenlielles de la foiino

et à intégrale générale iiiiir<iriiie. en insistant sur le cas où une certaine transformation biunilbrnie de la sinraee. (jui joue ici un rôle essentiel, est birationnelle. Dans ce cas, la icclierclie de riiiléiiialo est immédiate, quand le genre de la surface est supérieur à l'unité; l'intégrale générale ne peut être qu'une fonction doublement périodique de la variable. Ouan<l le a:onre de la surface est égal à l'unité, sans que les coordonnées d'un point quelconque puissent s'exprimer uniformément on fonction de deux paramètres au moyen de l'inversion d'intégrales de dilférentiolles tolales, l'intégrale générale sera encore doublement périodit|ue, et nous montrons comment on pourra l'obtenir. Il serait trop long d'entrer dans pins de détails à ce sujet; je n'ai voulu qu'appeler l'attention sur la liaison étroite (in'accusent mes recherches entre la théorie des surfaces et certains probli-mes concernant les é(|nations dilTérentiellcs. Il on serait de mémo pour ré(|uation plus générale /{a:, y, v'.j") = o, quand les points critiques sont fixes. Ainsi, par exemple, si, pour une valeur arbitraire de .r, la surface ainsi définie rentre dans la classe des surfaces abéliennes, l'intégration do l'équation difTérentielle se ramènera à des quadratures. Si elle rentre dans le second type dont nous avons parlé plus haut, l'équation se raml'uera à une équation Ai" Uiccati.

IV. — Sur des fonctions attachées à certaines surfaces algébriques; surfaces diverses.

La notion des intégrales de différentielles totales peut être étendue: mais, avant de parler des surfaces, montrons comment on peut généraliser la notion des intégrales de différentielles algébriques dans la théorie des courbes algébriques. Nous nous sommes proposé de trouver les fonctions u du point analytique (ar, r), uniformes et régulières dans le voisinage de tout pointde la surface de Riemann correspondant à la courbe algébrique/, et dont toutes les déterminations se déduisent d'une seule u par des substitutions linéaires Au ■+- B, A et B étant des constantes. On voit que, si dans toutes ces substitutions les A sont égaux à l'unité, la fonction u sera une intégrale abélienne attachée à la courbe. Le problème précédent est donc une généralisation du problème des intégrales abéliennes. Nous avons spécialement considéré le cas où la fonction u reste toujours finie. La forme des fonctions u est, dans ce cas, facile à trouver; elle ne contient qu'un nombre limité de paramètres arbitraires. Les fonctions u peuvent évidemment être classées en trois espèces, et l'on peut alors développer une théorie qui est une généralisation facile de la théorie des trois espèces d'intégrales abéliennes. Un problème, à ce sujet, présentait un certain intérêt; dans quels cas l'équation

donnera-t-elle pour .r et y des fonctions uniformes de u. Si l'expression u est de première espèce, la courbe devra être du genre un, et les fonctions inverses résultant de(i) sont, ou des fonctions doublement périodiques, ou des fonctions doublement périodiques de la combinaison alogii-hb, a et b étant des constantes. Quand l'expression u est de seconde ou de troisième espèce, la courbe est unicursale; œ et y se réduisent à des fonctions rationnelles de u ou de e"".

Comment le problème que nous venons de traiter pour les courbes algébriques pourra-t-il s'étendre aux surfaces? Etant donnée une surface /(■z,y, s) = o, les fonctions u du point analytique (x,/, z-) analogues aux fonctions du point (.r, y) que nous venons d'étudier pour les courbes satisferont aux conditions suivantes. Quand (:c,jK' ^) partant d'un po'mt reviendra à ce point après avoir décrit un chemin se ramenant à un cycle nul, la fonction n'aura pas changé. Si, au contraire, le chemin se ramène à

un cycle linéaire enVtlif de la suilaie, la l'onclion // se tiansformoia en Ah -4- B; nous n'avons considéré que des fonctions de premii-re espèce. J'ai donné la fornie fjénérale de telles fondions//. (|ni d'ailleurs bien évidemment n'existent pas pour une surface arbitraire. Leur recliercbe, quand elles existent, demande des calculs assez louifs, mais ne présente aucune difficulté tliéori(|ue. J'ai (lév(dop[)é (|uelques considérations sur le cas où il existerait deux expressions //(.r, v, z) et «(r, v, z), telles que les é(|ualions

donnent pour a-, i et ; des fondions uniformes de // et c. Citons en particulier ce résultat, généralisation d'un tbéorème déjà indiqué, que le genre (le la surface ne peut dans ce cas dépasser l'unilé; de j)lus, la surface possède au moins une intégrale de première espèce.

Je parlerai encore d'un ti-avail (1) qui se rapporte d'une manière moins spéciale à la tbéorie des surfaces ali,'ébriques, et qui est une a|)plication de la tbéorie des complexes linéaires à l'étude des surfaces et des courbes gaucbes. J'ai étudié, après M. Apjjeil, les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire; ces courbes possèdent un certain nombre de points remarquables où le contact de la tangente avec la courbe est du second ordre. Je recliercbe la forme de la courbe dans le voisinase

de ces points. Passant ensuite aux courbes unicursales, je donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une courbe plane unicui'sale puisse être considérée comme la projection d'une courbe gauche unicursalc dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire ayant son axe perpendiculaire au plan de la courbe plane : ces conditions nécessaires et suffisantes sont que la courbe plane, supposée d'ordre m, ait m points d'inflexion à l'infini. De ce théorème nous déduisons qu'une courbe gauche unicursalc d'ordre m, sans point multiple, dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire, possède 2(/n — "i) points où la tangente a avec elle un contact de second ordre.

J'ai étudié aussi les surfaces réglées dont les génératrices ap|)artiennent à un complexe linéaire. Sur chaque génératrice d'une telle surlace, il y a deux points pour lesquels le plan tangent à la surface coïncide avec le plan correspondant dans le complexe; le lieu des points ainsi obtenus forme sur la surface une courbe dont les tangentes appartiennent au complexe, et qui est une ligne asymptoti(|ue de la surface. Quand la surface réglée est algébrique, cette courbe est algébrique et son degré est égal à la classe d'une

( 70 ) soclion plane (|iu'lcoii(|iio do la surface, .lai a|)pli(|iie ces lésultat.s à certaines surfaces ré^tlées luiiciirsales. Pour la surlace gauche du troisième ordre, on obtient ainsi immédiatement les lignes asymptoti(|ues, déterminées analytiquenient par Clehsch : ce sont des courbes gauches unicursales (lu quatrième ordre, dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, el chacune de ces lignes possède deux points où le contact de la tangente avec la courbe est du second ordre. Signalons encore les surfaces du (juatrième ordre ayant pour courbe double une cubique gauche: parmi les lignes asymptotiques de cette surface se trouve une courbe gauche du sixième ordre et de iirenre un.

Lu autre travail (77 ) se rapporte au problème suivant : Quelles sont les surftices algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales? Tout d'abord s'offre la classe des surfaces réglées unicursales, c'est-à-dire des surfaces réglées définies par les équations

X ^az + p, y =1 bz + q,

où a, h, p, q sont des fonctions rationnelles d'un paramètre.

En dehors de cette classe de surfaces on aperçoit une surface remarquable du quatrième ordre découverte par Steiner. On sait que cette surface possède un point triple d'où partent trois droites doubles : toutes ses sections planes sont donc des courbes unicursales du quatrième ordre.

La réponse à la question posée est assez curieuse : La surface de Steiner est la seule surface dont toutes les sections planes sont unicursales, en dehors des surfaces res;lees unicursales.

TITRES llhEKS.

Prolcssciir <l(' ('.;ik'iil (lill'crcntii'l cl Ciilciil iiilci;r:il ;i la Kaciillé dos Sciciirt's (le {'ans.

I.aiifcal ilr iliistiliil ( l'iix Poiicclt'l. uS8(). (iiaiiil prix des Sciences niallii'iiiati(|iics, i.SSS ).

Présenlé par la Section de Géométrie :

En cinciiiiènie ligne en 18H1.

Vm (|uatrii'nie liniie m iSS'i.

Kn troisii'nie lii,'ne en i885.

En deuxième ligne en i88(j et 1887.

1Ô48S Paris. — Imprimerie CALTIIIER-\ IM.ARS ET FILS, quai dps Orainls-Aii|;«stins, 55.

■lA Picard, Ênile

Notice SUT les travaux rï) scientifiques

P&ASci