I. — Intégrales de différentielles totales

Dans la théorie des courbes algébriques, on ne s'est pas borné au point de vue algébrique, et la considération de certaines expressions transcendantes attachées à la courbe présente le plus grand intérêt. Ces transcendantes sont, comme on sait, les intégrales de la forme

W étant une fonction rationnelle de .r et v, celles-ci étant définies par la relation f(cc,Y) = o, qui définit la courbe. Si nous considérons maintenant une fonction = de.r et r définie par la relation algébrique/(a-,j, s) := o, on peut faire correspondre à cette surface des intégrales de différentielles totales lie la forme

(a) / P{-c, y, z) d.r + Q{x, y,z) dv.

où F et Q sont dos fonctions rationnelles de x, y et z, et pour lesquelles la condition d'intégrabilité est supposée satisfaite.

L'étude de ces intégrales était complètement à faire; je la commençai à la fin de i88'|. Parmi les intégrales (i), il en est de particulièrement intéressantes: ce sont celles qui restent toujours finies, et qu'on appelle de première espèce. Dans mes premières recherches je considérai donc les intégrales de la forme (2), qui restent finies pour tout système de valeurs, finies ou infinies, des deux variables indépendantes x et j.

Dès le début de cette étude, on rencontre une différence bien profonde entre le cas d'une variable et celui de deux variables. On sait, en effet, qu'à une courbe algébrique correspondent en général des intégrales de première espèce; ainsi, pour parler plus nettement, la courbe la plus générale d'un degré donné possède un certain nombre bien connu d'intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Il en est tout autrement pour les surfaces algébriques : il n'existe pas d'intégrales de différentielles totales de première espèce correspondant à la surface la plus générale de degré m. Je montre comment on pourra reconnaître si une surface donnée possède des intégrales de première espèce, et quel est lo nombre de ces intégrales

liiii'aiiciiR'iil in(li'|H'ii(liiiilos. J'nvais supposo d'ahnid (|ii(' la surfaco n'avait pas lie sini;iilaiilt's nidinaiios, mais dans cps (|iit'slions la eoniplicalion dos sini^uiaritos n'ost la source d'aucune (lilliculté, car on sail, depuis longlenips, comme l'a montré .M. Nd'llior, dissoudre en (|uel(|ue sorte une sin- },'ularilé extraordinaire donnée en des sinj^ularités ordinaiics, en employant une transformation rationnelle convenalde.

Les recherches précédentes nous ont permis d'cMlrepreiidii' l'élude d'une classe intéressante de surfaces algébriques, dans la(|nei!e hi notion des intégrales de première espèce joue un rolc capital : ce sont les surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un |)oiiil ([uelconque s'expriment par des fondions uniformes ([Madru|)lement péi'i(idi(|ues de deux paramètres, en y ajoutant cette condition (|u'à un point arbitraire de la surface ne corresponde (ju'un seul systi-me de valeuis des deux paramètres, abstraction faite, bien entendu, des multiples des périodes. Ces surfaces sont les analogues des courbes planes du genre un, pour lesquelles les coordonnées d'un point quelconque s'expriment par des fonctions doublement périodiques d'un paramètre. \ous montrons tout d'abord que la surface doit être du genre un; en outre, elle doit posséder deux intégrales de iircniil'ic espèce linéairement indépendantes et deux seulement.

J'indiquai encore dans mon premier travail sur ce sujet une troisième condition : considérons l'unique surface adjointe d'ordre m — f\ correspondant à la surface et V sa courbe d'intersection avec celle-ci en dehors des lignes multiples ; la courbe V doit être nnicursale. Or il résulte d'un théorème, anciennement établi par .M. Nœther, (|ue celte (Icrnii'ie condition est toujours remplie dans les surfaces de genre un. La condition nécessaire et suffisante pour que les coordonnées d'un point quelconque d'une surface algébri(|U(> s'expi'inii'iil, de la manière indi(|uée. |)ai' des fonctions quadruplemenl périodiques de deux paramètres, prend diuic la forme remarquable (]ne voici :

Il faut el il suffit que la surface soit de genre un et possède deu v intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Nous devions nalurfliciiienl nous dcniander ii pailii' de (|ii('l degré on rencontre des surHices jouissant de la propriété précédente. J'ai montré qu'il n'existait pas avant le sixième degré de surface de genre un possédant deux intégrales distinctes de première espèce ; les surfaces étudiées sont donc au moins du sixième degré. On trouve bien effectivement des surfaces du sixième degré dont les coordonnées s'exprimcnl de la manière cherchée; dans l'exemple (|ne j'ai donné, les fonctions (|uailrupb'nient \)i'- 1'- -.»

rii)ili(|iios so rL'diiiscnl en rôiililr à des ('onctions (Iduhlt'inciit pciiodiiinos par rapport à chacune des variables prises convenal)lemont. Je n'ai d'exemple eiVectir. sans cas de réduction aux fonctions doublement périodi(|ues, (|u'à partir du neuvième degré, mais je n'ai pas démontré cependant que l'on ne peut pas rencontrer un tel exemple du sixième au neuvième degré ; il y aurait donc à compléter sur ce point les recherches précédentes.

J'insiste encore sur cette condition qu'à un point arbitraire de la surface ne correspond qu'un seul système de valeurs des paramètres, aux périodes près; ainsi il existe une surfijce célèbre du quatrième degré, qui poi-te le nom de ^\. Kummer, pour laquelle les coordonnées d'un point s'expriment par des fonctions ahéliennes de deux paramètres, mais cette surface ne rentre pas dans la classe qui nous occupe, cai' il est facile de vérifier que, dans ce cas, à un point arbitraire de la surface correspondent deux systi'mes distincts de valeurs de ces paramètres.

Nous ne nous sommes occupé jusqu'ici que des intégrales de première espèce; j'ai approfondi aussi la question beaucoup plus difficile des intégrales de dillerentielles totales de seconde et de troisième espèce. Nous pouvons tout d'abord définir comme il suit les intégrales de seconde espèce. Considérons les courbes le long desquelles l'intégrale devient infinie. SoitC une de ces courbes que, sans diminuer la généralité, nous pouvons supposer une courbe simple de la surface; je prends alors un cycle infiniment petit entourant cette courbe en un point ordinaire (on peut, par exemple, donner à v une valeur fixe et considérer dans le plan de la variable œ un contour infiniment petit autour d'un point de la courbe C, répondant à la valeur prise pour y). Si l'intégrale le long de ce cycle est nulle, nous dirons que la courbe C est une courbe polaire. Une intégrale de seconde espèvc ne possède que des courbes polaires.

Si l'intégrale le long d'un contour infiniment petit, analogue à celui dont nous avons parlé, n'est pas nulle, cette courbe C sera dite une courbe logarithmique, et l'intégrale sera de troisième espèce. Dans ce cas, à une courbe logarithmique correspond évidemment une période. Une telle période sera dite période polaire.

Nous établissons d'abord que, si une surface est la plus générale de son degré, toute iutégrale de cette espèce se réduit à une fonction rationnelle des coordonnées. Ainsi, en faisant abstraction des fonctions rationnelles des coordonnées, il n'y a pas pour une surface quelconque d'intégrales de seconde espèce. La question, que nous avons ensuite abordée, a été de reconnaître si une surface possède des intégrales de seconde espèce autres (jue des fonctions rationnelles. Klle est beaucoup plus difficile à résoudre

( (Î7 ) c|iir II' lUiilili'inc aii;il(ii,'iic |ioiii' les iiili'jil'alcs île |irt'iiiii'i'(' cspi'ce. Nous la résolvons (■omplt'lenu'iil, on la raintMiant à une (jneslion d'nne loiit anlic nalurc; nons faisons corrospondic à la siirlaoe nno ceilaine é([uation dillV-rcnticllo linéaire ordinaire. e( nons avcnis à reclicrclier si celte é(|nalion admet comme intégrales des Iractioiis rationnelles. Nons retronverons tont à riieiire cette é(|nation dillérentielle linéaire, dont le rôle inattendu dans cette théorie parait vraiment bien cnrienx.

Helativement anx intéfirales de troisième espi'ce. nous pouvons émuii cr i(ne. étant donnée une surface aliiél)ri(|ue ij;énérale et étant considérée une intégrale (|uelcon(|ue de dillérentielle totale relative à cette surface, cette intéirrale (à moins (|u'elle no soit nue fonction rationnelle des coordonnées) aura nécessairement des courbes loij;aritliini(|ues. et les périodes polaires correspondant à ces cottrhes logarithmiques seront les seules périodes de l'intégrale.

Dans le cas où une surface possi'dc des intégrales de seconde espèce, on doit distinguer un certain nombre entier qui représente le nombre de ces intégrales qui sont distinctes; nons entendons par intégrales distinctes des intégrales dont aucune combinaison liiiéaire ne se réduit à une fonction rationnelle des coordonnées. D'autre part, ces intégrales possèdent un certain nombre de périodes: (mi a le tliéori'ine suivant :

Le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce est égal au nombre de leurs périodes.

(".et énoncé rappelle une prop(»silion de la théorie des courbes algébriques: au fond, l'analogie est purement dans la forme, les circonstances étant ici entièrement dilf'érentes, par le seul fait qu'il faut dans notre énoncé sous-entendre, en parlant des \nié%VA\e:i,, quand elles existent. Le caractère des deux théorèmes est donc bien dilTérent. et la démonstration dans le cas des surfaces est singulièrement plus ilélicate que pour les courbes.

[,a théorie des intégrales de troisième espèce se trouve rattachée à celle des intégrales do seconde espèce par le théorème suivant :

Il n'y a il' intégrales de troisième espèce avec des périodes distinctes des périodes polaires que dans le cas où il y a des intégrales de seconde espèce, et alors le nombre des périodes distinctes des périodes polaires est égal au nombre des intégrales de seconde espèce.

Tels sont, en se bornant aux théorèmes généraux, les [loints principaux de mes recherches sur les intégrales de diirérentielles totales algébri(]ues. Nous avons déjà indi([ué plus haut une application de cède théorie ii l'étutlc

( (-hS ) (h' siirtaci's aUi'l)i-i(|iios; mnis en verrons hientot d'aulres. (Vesl d'ailleni-s un sujet loi'l vaste, que je ne prétends pas avoir épuisé, mais les points essentiels sont lixés. Peut-être voudra-t-on bien reconnaître que j'ai ouvert dans la théorie des surfaces un nouveau Chapitre; c'est ce qu'exprimait réniinenl professeur d'Erlangeu, (luej'ai cité plus haut, quand il écrivait dans un Mémoire récent des Mathematische Annalen : « Herr E. Picard hat vor einiger Zeit fiir aigehraisclie Fliiclien ein neues Forschungsgebiet hetrefen. »

II, — Des cycles dans les surfaces algébriques.

On connaît toute l'importance de la théorie des cycles dans l'étude des courbes algébriques. Aucune théorie analogue n'avait été tentée pour les surfaces, et, d'autre part, mes précédentes recherches sur les intégrales de dilTérentielles totales me montraient là une lacune importante à combler. J'eus donc tout naturellement la pensée de chercher à poser les bases d'une théorie des cycles dans les surfaces. Je ne tardai pas alors à remarquer que la généralisation peut se faire dans deux directions dilférentes; il y a à considérer pour les surfaces des cycles à une dimension ou linéaires et des cycles à deiLv dimensions : d'où deux théories entièrement distinctes.

En pénétrant dans la première étude, on rencontre dès le début un résultat au premier abord inattendu : c'est qu'en général, pour une surface algébrique, il n'y a pas de cycles linéaires, je veux dire qu'ils se réduisent tous à des cycles nuls. Ce résultat nous donne la véritable raison de ce fait, signalé plus haut, qu'il n'y a pas en général d'intégrales de première et de seconde espèce pour une surface ; en elfet, les cycles linéaires se réduisant à zéro, il ne peut y avoir de périodes différentes de zéro. Il y a cependant des surfaces possédant effectivement des cycles linéaires ; telles sont, par exemple, les surfaces déjà considérées dont les coordonnées s'expriment, comme il a été dit, par des fonctions quadruplement périodiques, et qui possèdent manifestement quatre cycles distincts. Nous avions donc à rechercher les cycles linéaires distincts d'une surface algébrique donnée. Dans cette question, la réductibilité d'une certaine équation différentielle linéaire joue un rôle essentiel, et c'est précisément l'équation qui nous a déjà été si utile.

Cette question du nombre des cycles distincts peut aussi se ramener à une (juestion de géométrie de situation. L'équation d'une surfece algébrique fi-T, Y, z) ^= o revient ii deux relations entre six quantités réelles ou

(69) à une seule reliilion ali,'éliii(Hie eiilie iiii(| i|ii;iiililés réelles. On |kiiI silice syslème de cin(| qiiitnlilés eirectuer une Iraiislormation l)irationnelle(iiii le fasso corresponilre à une suilaee fermée. Nous avons donc ainsi une é(|iiation délinissanl un espace /t77«c' à quatre diinensioiis dans un espace à ciiui dimensions; à cet espace fermé coi respondroni deux ordres du connexilé l>, et/;., et c'est le premier de ces nombres qui nous intéresse en ce moment. Hien d'ailleurs, dans les •jénéraiités qui précèdent, ne nous montre (|Ui' le nombre/;, doive être nul; il était donc indispensable de traiter, comme nous l'avons fait, la question par une autre voie.

Notre attention vient de se trouver portée sur un second mmibre p,, relatif à une connexion de seconde espèce; c'est ainsi que nous sommes conduit aux cycles à deux dimensions. Une surface cyclique ou cycle à deux dimensions peut être défini un continuuin fermé à deux dimensions, tel que toute courbe fermée à une dimension tracée sur lui soit un cycle linéaire de la surface. Il n'en est pas du nondjrc p., comme du nombre/?,; ce nombre p.. n'est pas nul en général, et c'est par suite dans tes cycles à deuxdimensions d'une surface qu'il faut chercher la généralisation des cycles d'une courbe algébrique.

Nous nous trouvons maintenant ramené aux expressions transcendantes attacliées à une surfoce algébrique. Je n'ai parlé jus(|u'ici que des intégrales de dilTérentielIes totales ; on peut considérer d'autres expressions transcendantes, comme l'a fait .AI. \(elbei' qui a considéré les intégrales doubles (le la forme

I ' r Q (x. Y, s) dx dy

ff

fi

Q étant un polynôme adjoint d'ordre m - 4- On pourrait les appeler des intégrales doubles de première espèce; on peut en effet montrer qu'elles restent toujours finies, quel que soit le cbamp de l'intégration.

La (|uestion de la périodicité des intégrales doubles m'avait depuis longtemps préoccupé. J'ai d'abord cliercbé pour ces intégrales une première extension de la notion de périodes, mais je fus ainsi conduit à des expressions (jui, dépendant du domaine d'intégration de l'intégrale double, ne pouvaient être considérées comme les analogues des périodes de l'intégrale simple. En continuant mes rechercbessur les divers ordres de connexité des groupes liyperfuclisiens, j'avais vu l'importance que pourraient avoir pour les intégrales doubles les espaces fermés a deux dimensions, contenus dans le domaine fondamental, et j'avais pensé à prendre un tel espace comme domainid'intéi^ratitin punr l'inléi^rale dmible. Mais j'en étais resté là; une notion

( 7" > rsst'iiticllr 1110 m;mi|iiail [xiiir (Ic'citlor si les (|iiaiitités ainsi obti'iuu's l'taioiit des constantes : je veux parler de l'extension aux intéifrales doubles du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales simples. Aussi, di's que cette extension eut été annoncée par M. Poincaré dans une Note (|ui fut depuis développée dans un profond Mémoire, je pus poser les principes de la théorie des périodes cycliques des intégrales doubles algébriques.

Reportons-nous aux cycles h deux dimensions, qui viennent d'être délinis : l'intégrale étendue à un tel cycle est une période.

(Juant au calcul effectif de ces périodes, on peut le ramener encore à l'étude d'une équation différentielle linéaire. Cette équation possède en (|uelque sorte des cycles, c'est-à-dire qu'il existe des chemins partant d'un point et y revenant, qui ramènent chacun une intégrale déterminée avec la même valeur au point de départ. Soit ù une telle intégrale, si l'on intègre

/ Qr/v le long de ce chemin, on aura une période cherchée.

Quand on passe du domaine de deux variables complexes à celui de trois variables, on peut de deux manières différentes étendre les notions relatives aux intégrales multiples. Les résultats que j'ai obtenus à ce sujet se rattachent immédiatement aux recherches précédentes. On peut, en premier lieu, considérer l'intégrale doultle

A dv d: + B dz- d.r -+- C dx dy,

étendue ii une certaine sur/ace à deux (limensioiis. Bornons-nous à supposer que A, B, C sont fonctions rationnelles des trois variables complexes indépendantes ce, y et z. Je cherchai les résidus de cette intégrale double, en supposant vérifiée la condition qu'on peut appeler d'intégrabilité

dA

dy '

dz

En supposant que A = ^^ » B = -^> C == -ô» P, Q, R et S étant des polynômes

en jc, y, z et le dernier étant irréductible, on arrive à ce résultat que les résidus ne sont autre chose que les périodes de l'intégrale de différentielle totale

rpdy — Qdjc

relative à la surface S(x,y, ; ) = o.

On |ii'iil, iMi second Inii, |iiriii|ic rinlt-itr-il' (ri|il('

P et Qcliinl (li's [)()lyM(iint's en r.j et :;; nous n'avons ici aucuiif (.'ondiliDii d'intéiirahilitt' à (aiiT inlervi'iiir, cl nous avons cliorclié les résidus de cette inlci^'iale, c'est-à-dire les valeurs (|u'elle prend ([uand elle est étendue à un ccinliiiuum feriué (|uelcon(|ue à trois dinu'iisions. Voici le résultat : res résidus sorti les périodes de rintégmle double

V (I.ccIy

ff'-^:

cette intégrale duiilde étant relative ii la suriace ()(.x, y, z) = o. (le i-ésullal me semble intéressant en ce qu'il conduit à envisager sons un mmvoan point de vue les périodes des intégiales doiiMes.