PARIS
(iviTHii:i;-MLLvi;s i:t fils, impuimeuhs-libuaiuks
Il I i; i i; r. A r n i: s i. d m. i t r it i: s. in: i.'i:r(ii. r. i' o i, yt kc ii m y i k Quai des Grands-Aujinslins, 5,').
MSTi: CIlIKiMiUMilUl !■: i)i:s MKMUIKKS im iiuks.
I . Vpplicalioii (If la théorie des complexes linéaires à l'élude des surfaces cl des courbes gauches {Annales de l'École Normale xtipérieiire. 1877).
i. Sur une classe de fondions Iranscendanles {Comptes. rendus, 1878, iireinier scnieslre).
3. Sur une classe de surfaces algébri(|ues (Bnllciin de la Société philomotlniiKc. .8-8).
\. Sur la forme des intégrales des équations dillÏTCiilielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques {Comptes rendus. 1S7S, second semestre).
0. Sur les équations diHérentielles du second ordre (Comptes rendus . 1878, second semestre).
6. Sur une classe de fonctions non nnil'ornics (Itiilletin de In Société mailiémn-
tiqiie, 187g).
7. Sur une propriété des fonctions entières {Comptes rendus. 1879, premier
semestre).
S. Sur une application de la théorie des fonctions elliptiques {Comptes rendus,
1S79, second semestre).
!t. Sur certaines équations dilïérenlieiies linéaires du second ordre (Comptes
rendus. 1879, second semestre).
10. Sur les équations dilTérentielles linéaires à coefficients donhlemenl pério-
diques {Comptes rendus, 1880, premier semestre).
11. Mémoire sur les équations différentielles linéaires à coefficients dcjublcmcni
périodiques {Journal de Crelle, t. 90).
1-2. Sur une classe de courbes gauches (Comptes rendus. 1880, premier semestre).
13. Sur les fonctions entières {Comptes rendus, 1879, secontl semestre).
IV. Sur les fonctions analvli(|ues uniformes dans le voisinage d'un point singulier essentiel {Comptes rendus. 1879, second semestre).
l.ï. Mémoire sur les fonctions entièiTS { t/malcs de rh'cole \ormale supérieure. 1880).
IG. Sur les fonctions doublement périodi(|ues avec des points singuliers essentiels {Comptes rendus, 1879, second semestre).
17. Sur une propriclé de certaines fondions analogues aux l'ondions alwbriques
(Comptes rendus, 187g, secorui semeslre).
18. Sur certaines équations Miiôairos du secoiui ordre (Comptes rendus. 18S0,
premier semestre).
I!l. Sur l'équation au\ dérivées partielles tlu potentiel (Comptes rendus. 1880,
priMiiier semestre).
iO. Sur une extension aux fonclions de deux variables du problème de lliemann,
relatif aux séries hypcrgéométriques [Comptes rendus, 1880, et Annales de
l'Ecole Normale supérieure. iSSi).
■2\ . Sur une propriété des fonctions el des courbes algébriques (Comptes rendus.
1S80, second semeslre).
22. Sur une propriété des l'oaclioMs uniformes d'une varialde et sur une classe
d'équations différentielles {/lulleti/i des Sciences mal/iéniati'/ues . I. I\ , 1880).
23. Sur une classe d'intégrales abéliennes et sur certaines équations dilïéreii-
tielles (Comptes rendus. 1S81, premier semeslre; deux Notes). 2i. Sur quelques exemples singuliers de réductions d'intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques (Comptes rendus, 1881, second semestre).
23. Sur la décomposition eu facteurs primaires des fonctions uniformes ayant
une ligne de points singuliers essentiels (Comptes /-endus, 1881. premier
semestre).
215. Sur certaines équations dilTérentielles linéaires simultanées aux dérivées
partielles (en commun avec M. Appell: Comptes rendus, 1881 , premier
semeslre).
27. Sur la réduction ties intégrales abéliennes (Comptes rendus, 1881, second
semestre).
2'^. Sur une courbe particulière du troisième genre et sur certaines fonctions
uniformes de deux variables indépendantes (Comptes rendus, iS8i, second
semestre).
29. Sur les formes des intégrales de certaines équations dilTérentielles linéaires
(Comptes rendus, 1882, luemier semestre).
30. Sur les surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un |ioint quelconque s'ex-
piiment par des fonclions abéliennes de deux paramèli-es (Matiiematisclie Annalen, 1882).
31. Sur certaines fonctions uniformes de deux variables, el sur un groupe de
substitutions linéaires (Comptes rendus, 1882, premier semestre).
32. Sur des fonctions de deux variables analogues aux fonclions modulaires (Acta
mathematica, l. II).
33. Sur un groupe de substitutions linéaires (Comptes rendus. 1S82, premier
semestre).
3V. Sur l'intégration par les fonctions abéliennes de certaines équations aux
ilorivcos piirlii'lles de |)roniior indie {Comptex it/h/iis. 1S82, prcmici' soin est re).
:i.'j. Sur' corlaiiies roriiH'> cni;tili;iiii|iu's l.'iiKiires (Cuni/ilcs rcnttiis. iSS», (irciiikT
se 1110 sire ).
:tti. Sur k's l'uiicliuiis uiiil'uiiiu's iilTecU'i's df l'ouiiures {Coiufilcs remliis. iS!<>,
promiiM' semcslrc).
:17. Sur une classe de Ibnclioiis uniforiuos de diMi\ \;iriahlcs indépoiidanlr»
{('ninplvs rendus. iSSa, second semeslrc). :îS. Sur une classe de j^roupcs disconliiiiis dr stdi-lilulicins linéaires ( \ri(i nui-
llicmalica. I. I).
:î!(. Sui' la réduclion du nombre des périodes des intégrales ahéliennes, en parli-
culier dans le cas des courbes du second fi'eiii'C (lUdlclin de la Société
iimt/téniatii/iie. i883).
VO. Sur une classe de fonctions dedeuv variables indépendantes (^Co/zf/^/t'i- /•t'//(/«.v.
i883, premier semestre).
VI. Sur une propriété concernanl les fonctions uniformes d'une variable liées par
une relation aljrébriquc {/iullctin des Sciences malhémaliques, i883).
\î Sur les jrroupes de transformations des é(|ualions différentielles linéaires {Comptes rendus. i883, premier semestre).
V-\. Mémoire sur les formes quatlratiques binaires indéfinies à indéterminées e<in jugnées (Annales de l'Ecole Normale supérieure, iSS'i ).
\'v. Sur les formes (luadratifjues ternaires indéfinies à indéterminées conjuguées et sur les groupes discontinus corrosi)ondants {Comptes rendus. i883, second semestre).
V.ï. Sur les fonctions de deux variables indépendantes restant invariables par les substitutions d'un gr()ni)c! discontinu {Comptes rendus, i883, second semestre).
iG. Siu- un théorème de Uicmann relatif aux fondions in fois périodiques de // variables (en commun avec M. Poincaré: Comptes rendus. i883, second semestre).
'i7. Sur la foi-me des intégrales des é(iuati()ns diiréientielles du premier ordre dans le voisinage de certains points critii|ues {Bulletin de la Société mathématiijue, i884).
VS. Sur la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques {/lulleti/i de la Société mathémati'/ue. 1884).
'1!). Sur les substitutions linéaires {Comptes rendus, 1884, premier semestre). .■>(). Sur la transformalioa des points de l'espace situés du même côté d'un plan I Bulletin de la Société mathématique. i8S4).
.■jl. Sur les formes qnadrati(]ucs ternaires indéfinies à indéterminées conjuguées et sur les fonctions liyperfucbsiennes correspondantes {.icta mathemalica. l. V).
o"2. Sur les fonctions liypcrlnclisiennes {Comptes rendus, 18S4. premiersemestre).
fill. Sur iiiir luiiiM'Ilc f;i'iii'r.illMiliiiii ili'^ rcniclnni', iiliclicimi'N (< 'niii/ilf^ rfiii/ii\.
iNH'i, lu'iMiilt'i' >t((im>siii' ).
i'i\ , Sur uui> i'lnssi> du l'oiirildii^^ iilii'lii'iiin's ci sur un gnuiiK» liviirrliMlisifii
(t'iiin/ilr:^ r(>iiihi\, iSS'i, iirouilcr scuu'^lrcl. .'IJi. Sur II"* l'iu'uic-i i|u;uli'iilli|U('M (luiilcruiiircs iudi'liiili's cl les j;rou|ics livjicr.ilic
lie us 1(11 le |Minil.inl-> (< 'iiiii/>lrs rrni/ii^, iSS j, |ii'ciulcr scmcslrc t .'ilî Sur les ci|uiiliiuis ImenIrcM cl les f;r(Ui|ics iilnchi'iijiies ilc li .iir lui iiiiilhni
( iniKlIfS i/r 1,1 l''iii'iilt,' itrs Sririirrt ,/,■ /'oiitoiinr. I. \). .'i7 Sur les iulCH''»''"'- diMei enl irjl.'s Inliljcs (l'nill/ilCS Ii-IkIiis , iSS'i , scciliul
•.eiiicslrel.
.'iS, Siii iiii llieiii'i'iiie ili' M. D.uIhiiis (( 'luiiflrs ri'iii/iis, iSS'i, |ireinier scuicsli'c ). .'ill, Siii le i-'riiujie lie i'iM'l;iiucs ci|iimIIiuis ililTi^rciiliclles liueiiires (Hiil/rliii i/ev
.Vi(V/i('(',v iihil/ii'iiiiiliifiirs, iSS,')), •Kt, Sur l'Ol'IltllK's ci|ni\lious nn\ iliM'ivces luirlielle, du pienner ordre [l'iiiii/>lr\
rfiiiliis. iHS."i, priMidiM' st>iiM"slrcl. (Il, Sur les lul(^nr«li>s de Kccoudc cspi^'e cl sur les lourlKiiis li\ |ieiiurlisieiiiic-.
[l'diii/ilfs /'fV((/(/,v, |SS,^, |>r(>mli>r NiMUcsIrc), (i'i. Sur lt>s l'iiueliiius livpeiiiudislcuhos |U'itvcunul d(>s séries li\ pcrj;éoiui'lrii|Ucs
de ilcii\ Miiiiilile-. i (////c//iv ,/,■ l'/'.'rnlr .\i>nniilr siiii:'rii'iiri\ |SS;\1, (ill, Mémoire sur les roiulious li\ iieriilHMicnncs (J,nini<il i/r Miitfn'iiititii/iifs ,
iSS,-.^,
(H , MiMlluirc sur les liili^K''"'»''* ''>" 'l''l<'''''i>li'""'*'* lolidi>s «l|;clu'iiiiH>s de preuiicre
t>!<ptNct> (Jinirtml itf Unt/Khiiiitiifiifs. iHS.'O. i\l\. Sur les iiiiOfrnilcs di> sccoudc csptV'c (l',iiii/>lis /(iiiliix , iX^'.\ , second m'
llll'-'ll C I.
(>(i Sur le> peiioilcs des iiiii'fAi'iiles doubles (('nni/'tr'i rrni/iii . iSSii, premici
scmcslre"!.
(i7. Sur le calcul des périodes de-. iiiicf;riiles doiildcs {^t'<>in/>t<'.<i /('/((///v, iSSii, pre
lllici' scuieslieV (.S, Mt^lUoll'OS sur li>s iulO},(rales di> dilTerciiHelles loi, de- de sccoudc cspt''cc
(,/<'«*■/»(»/ (/e> Uilt/lr^milliiflIt'S, iSSli"!,
(i!t. Sur l;i lrnu--roruialioii des siirlaccs eu elles mi^uu>s ^('o«(/>/.\ mu/us, iSSli,
-ccoiid scuic-Ire \.
7(1. Sur 1,1 ii,iii-^louu,iliou des surlacos tM\ ollcs-im^uios cl sur un uoiulu'c l'ouda
uieiilal dans la ihcorii» des surl'accs (t'omptrs mu/us, iSSil, second
siuue.s(rc^, 71. Sur une classe d'cipiaiious diiïeieiiiicile-- i, ( "o/it/i/cv ii'iu/us . iSSti, s<>couil
-eiucslrel, Vi Sur les snrr«ct»s adiueli.inl une double mliuiie de Icui-roriualious biraliou
(n>ll<'s {('i>iiii>tfs /y/ii/(«.\\ iSvSi», second -cuicsirei, 7;>, S(ir m» |>oi((( tlo l« (hiVorio jj't'iiioruic des ci|uaiioiis ddVerciiiicllcs (/iiill,iiii ./<v
.N'i'(Vww.v H«ff//«r'»tl«f></l«r^.v, iSS;),
7't . Sur iiiio l'Iiissc cr('i|ii;ilii)ij^ ilill'i rriilirllcs {Ccmplus rcinliix. 1887, |iiiMiiifi-
M'iiicslro).
7.'i. Sur le» si'Tios liypei";,'romt''lri<|ii<'s i\t'. dciis viiiiiilili-s ( lluttciin ilt: lu Snciri,
mnlhinuiliiiiic, 1 88- ).
7(i. Sur les f,'r(iii|i(;s linr-aircs il'iinlrc- liiii à tinis vjiriiihlc^ i liiiUi-tin dr lu Smiric
iiKillicintiliiiiir, 1887 ).
77. Sur une chisso de surfaces iil^)-liri(|iics (Jouriml de Crullr, l. 100). 7H. 'riK^orriiic t;éncriil sur les r<)iicii()ns uiiirormos (l'une viiriiililc lires jur nm-
ri'lalidii ii\\i('\)r\{\\\ii {Avln mnllicnifiliiri, l. \lj. 7!). Sur hi ((tnvcrî^cMii'C des séries roprésoiilaiil l(!s iiilr;,'iiilcs di's (■•i|iiHliiii]s dillc
ri'iilii'llcs {Ihillclin des Sciences malhcinaliiiiies, 18HH). 80. Siii' une classe d'étiuations linéaires aux dérivées parlielles de hccuinl milic
U'oiuplrs rendus, 1888, second semestre). Ml . Sur la Irausi'urniation de Laplacc et les éijualions linéaii'es au.\ dérivées pai-
liejies du secoufl ordre {Comptes rendus, 1888, second s(!ni(;stre). Xi. Sur les IVjrnies (|uadratiqnes Itinaircs à indéterniiné-es conjuguées cl les i'onc-
lions ruclisicnnes ( American Journal uf Muilienuilirs. I. \l ). H.'t. Sui' une pi-oposilion fçénérale concernant les é(|ualions jincaircs aux déii\ée>
parti(;lies ((Jonii>les rendus. 1888, second semestre). K'i . Sur un lliéorènii! rei^ilH' ;i l'allraclioii {(Umijili's reurliis, 1888, second sc-
nieslre 1 .
8."J. Méiuoire sui- une classe d'é(|iialii)iis aux dérivées partielles du second nrdn'
(Acla mallienifilicn . l. \II).
H(i. Sur l(!S iuléfçrales niniliples relatives à trois variables complexes (<Jniiiiiics
rendus, i88fj, premier semestre).
S7 . Sui' ((uelipies CXin'CSsions (|ii;iilni|]|(:iieiil pi rio(li(|iies (('niiiiilcs rendus. iISSi),
premier semestre).
HK. Sur le nomlir<; des racines coinmun(;s à plusi(;ui's éi|iiations simullari('es
( \oti\'elles .in/ifiles de A/(tl/iéfnuli//urs, 1H81)). H'.t . Mi'inoire sur certaincis expressions (juadi Mpli'uieni piTi(Mlii|ues i lluttciin de
la Soeiélé mat/iémali'/ur, i88()).
!(0. Mémoire sur la théorie des l'oiiclions al^;él)ri(|u<'S de deux varialilr^ indépendantes (couronné par l'Académie des Sciences, k'!""' p'ix des Sciences
nialliémati(|ues de r888) {.fournal de Malhémalitjues, i88()).
()inr<iij:e il'ensci i^nentrnl.
•II. Cours d'\tial.vse ptolessi' j la Faculté ties Sruences de Paris (iSH(i-Sj), publié par rA>>ocialion des Iviéves el anciens élèves de la l'aitiillé des Sciences.
NOTICK
TRAVAUX SCIE^TIII(il!KS
M. Emii.i: picard
Atin d'iiitroduirc quelque ordre dans l'exposé des travaux dont on va liif une lapide analyse, j'ai dû adopter une classification; je nie suis arrêté il la distinction suivante en (jiiatre |iarties :
I" Kijnations dillerentielles;
2° Etude algébrique et aritliinéti(|ne(les ti-ansforniations et des groupes;
3" Théorie des fonctions;
V Théorie des surfaces algébriques.
L'ne telle classification est nécessairement défectueuse par (|uelque endroit, et j'ai plus d'une fois hésité dans le choix du Chapitre auquel je devais rapporter tel ou tel Mémoire. Mais cet inconvénient ne saurait être évite; c'est qu'en effet aujourd'hui, dans les Sciences mathématiques, les théories les plus diverses se |)éni'(rent en se prêtant un mutuel appui, et il n'est pas rare de voir se renconlicr dans une même étude la Géométrie, le Calcul intégral, la Théorie des foiiclions et même la Théorie des nombres. Celte synthèse, où viennent se rejoindre les notions en apparence les |)lus
( lO )
étrangères, fait le grand intérêt de la Science actuelle. Citons, entre bien d'autres exemples, la géométrie des courbes algébriques et la tbéorie des intégrales abéliennes, qui toutes deux s'éclairent et se complètent mutuellement. N'en va-t-il pas d'ailleurs de même dans tous les ordres de recherclies? C'est ainsi, par exemple, qu'on voit les rapprocbements entre les diverses parties de la Pbysique devenir chaque jour plus intimes. Pour ce qui concerne mes recherches personnelles, mes travaux sur les surfaces algébriques m'ont été du plus grand secours dans l'étude des équations difTérenlielles, et j'ai aussi tiré grand parti pour la tbéorie des fonctions de certaines propriétés arithmétiques des formes algébriques. Je me permettrai d'appeler spécialement l'attention sur les théorèmes généraux concernant les fonctions uniformes d'une variable, et sur mes études relatives aux fonctions de plusieurs variables indépendantes, particulièrement aux fonctions byperfuchsiennes et aux fonctions algébriques de deux variables. Ces dernières recherches, qui intéressent également la Géométrie et l'Analyse, nous ont montré les différences profondes et quelquefois inattendues qui séparent la tbéorie des fonctions d'une variable de celle de plusieurs variables.
im{i:miki{ ciivpitkk.
I. — Théorèmes généraux sur les équations différentielles ordinaires.
La tlicorie des équations ilillérontiellos a l'ait depuis loni;teinps l'objet (l'iiii très grand nonihi'e do recliorclies; on peut dirc(|u'il n'est pas, dans le domaine des Sciences niathémati(ines, de théorie dont les progrès soient plus désirables, puisque c'est en général à l'intégration de telles équations que se ramène l'étude de tout problème, tant en Géométrie qu'en Mécanique et Physique mathématique. Les points de vue nouveaux introduits dans la Science par Caucliy, lîiemann et leurs disciples, ont déjà permis de réaliser, dans cet ordre, d'importants progrès.
La première proposition que l'on rencontre dans cette tliéorie est relative à l'existence des intégrales. Considérons l'équation ditTérenliclie du preniiei' ordre
où l'on suppose que /(a:, y) soit une fonction holoniorphc de a- et y, quand X et y restent respectivement à l'intérieur de ceicles C et C ayant respectivement pour centre jCo cl Yo^ et pour rayon «et h; soit de plus M le module maximum de y quand les variables décrivent ces circonl'ércnces. Canchy avait le premier établi que, dans ces conditions, il y avait une intégrale de l'équation, holomorphe dans le voisinage de x„ et prenant pour a: = .Vo la valeur Vo- Briot et Bouquet avaient donné comme rayon du cercle, où l'intégrale est certainement Iiolomorplic, l'expression
J'ai montré (79) qu'on pouvait troiivei' pour la limite de convergence certaine de la série une limite plus étendue. Voici le résultat auifuel j'arl'ive : la série converge certainement à l'intérieur du cercle ayant poui'
rayon la plus petite des (|uantilés « et yî' Que ce soit l'une ou l'autre de ces
(]uantités (|ue l'on doive prendre, on aura une limite supérieure à celle (ju'ont donnée Briot et Bouquet.
Prenons maintenant un système d'équations différentielles du premier ordre, résolu par rapport aux dérivées et où les seconds membres seront des fonctions liolomorplies de la variable indépendante et des fonctions dans le voisinage de certaines valeurs initiales; ces équations admettent un svstènie d'intégrales bolomorpbes et prenant pour une valeur initiale de la variable des valeurs initiales données. Existe-t-il d'autres intégrales satisfaisant à ces conditions, que les intégrales bolomorpbes. Briot et Bouquet démontrent qu'il n'y en a pas d'autres, mais en se bornant au cas d'une seule équation, et la métbode qu'ils suivent ne parait pas, au premier abord, susceptible de s'étendre au cas général. C'est une lacune que j'ai voulu combler, en restant dans le même ordre d'idées; un artifice convenable permet de transformer le problème de manière à pouvoir suivre ensuite la marcbe de Briot et Bouquet (73). J'insiste de plus sur un point que laissent un peu dans l'ombre ces géomètres, à savoir ce qu'on doit entendre dans cette question par intégrales prenant en un point donné une valeur donnée.
Nous avons jusqu'ici donné à la variable indépendante des valeurs quelconques. La forme des intégrales des équations différentielles dans le voisinage des |)oints singuliers serait extrêmement importante à connaître; Briot et Bouquet, dont il faut toujours citer les Mémoires classiques quand on parle de ces matières, ont fait une étude approfondie des équations différentielles du premier ordre, quand le coefficient différentiel -^ se présente sous forme indéterminée pour un certain système de valeurs de x et y. Une question analogue se présentait poui' les équations du second ordre; j'ai considéré (4) l'équation différentielle
OÙ je suppose que la l'onction liolomorpbe /" s'annule pour x ^ o, y = a, y= '^. Nous nous sommes proposé d'étudier les intégrales de cette équation qui prennent la valeur a et dont la dérivée est égale à ^ pour .r = o. Ce (jui ma tout d'abord intéressé dans celte question, c'est qu'elle est autre
clioso (|iriiiu' cxliMision r;icilc ilu proliU-me Irailé par Briol ol lJ()U(|uet pour le premier ordre: je n'ai pas pu en elTot suivre longtemps ici la méthode qui avait réussi à ees géomètres, et les difficultés qui se sont rencontrées ont eu cette heureuse consé(|uence de me forcer à rechercher Va forme analyti(|ue des intégrales que j'étudiais, tandis que les précédents auteurs s'étaient hornés à démontrer, dans le cas du premier ordre, l'existence de
ces intégrales. Désignons par /> la val e ni' de '-y-, pour y = a, ,v'= [3 eta: = o.
Si b n'est pas un entier positif, ré(|uation différentielle proposée admettra une intégrale remplissant les conditions requises et holomorphe dans le voisinage de a; = o. Si b a sa partie réelle positive, l'équation admet une infinité d'intégrales non holomorphes.
Pour dénionlrcr ce point impoi'taiit, j'ai recours à un procédé (pii peut être em|il(»yé dans d'autres circonstances : il consiste à remplacer les é([uations différenlitdies à une seule variable que l'on a à étudier par des é([uations convenablement choisies aux dérivées partielles. C'est ainsi que j'établis que les intégrales non holomorphes se présentent sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x et a;*"' (on peut toujours supposer que la partie réelle de b, quand elle est positive, est supérieure à l'unité ).
Nous étudions ('>) le cas où la partie réelle de b est négative, et nous établissons qu'alors il n'existe pas d'autre intégrale, remplissant les conditions requises, que l'intégrale holomorphe. Les considérations employées permettent de plus de compléter le théorème précédemment établi : dans le cas où la partie réelle de b est positive, il n'y a pas d'autres intégrales de ré(]nation différentielle, remplissant les conditions requises, que celles qui sont fournies par les développements en séries dont j'ai parlé plus haut (17). Dans le cas où b est un nombre entier positif, on peut encore représenter les intégrales par des séries, mais elles sont de forme différente et procèdent suivant les puissances de a: et x logx.
Les méthodes suivies pour les équations du second ordre sont nécessairement applicables dans le cas des équations du premier ordre; il suffit alors de supposer que/ne dépend pas de y. On peut ainsi compléter l'étude de Hriol et Bou(|uet, en donnant la forme des solutions dont ils avaient seulement démontré l'existence. Vers la même époque, en 1878, ^I. Poincaré arrivait, de son cité, à conipléter le ^lémoire de Briot et Bouquet sur les équations dillcrmlicllcs du pirniicr ordre.
