II. — Équations différentielles linéaires à une variable

Les équations différentielles linéaires forment une classe dont l'étude est singulièrement simplifiée par le fait qu'on connaît la façon dont les constantes figurent dans l'intégrale générale. Un Mémoire, devenu classique, de M. Fuchs a été le point de départ des travaux extrêmement nombreux publiés sur les équations linéaires depuis une vingtaine d'années; le géomètre allemand s'est spécialement occupé du cas où les intégrales sont toutes régulières dans le voisinage des points singuliers.

En 1877, M. Hermite faisait connaître l'intégrale générale de l'équation de Lamé. On sait que cette équation peut s'écrire sous la forme

-7-^ ^ [h ( /H-i) A- sn- j:- -h « J )•,

OÙ sn.r désigne la fonction elliptique ordinaire de module à-, h une constante quelconque et n un entier. 3F. Hermite montrait qu'un système fondamental d'intégrales de cette équation est formé de fonctions doublement périodiques de seconde espèce, c'est-à-dire de fonctions uniformes se reproduisant multipliées par des constantes, quand on ajoute successivement à la variable les deux périodes. Je me demandai si le résultat précédent était fortuit, où s'il y avait là un fait tenant à une circonstance générale. Je montrai d'abord (9) que des circonstances analogues se rencontrent pour toute équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients doublement périodiques, pourvu que son intégrale générale soit uniforme. J'ai établi, en effet, qu'une équation linéaire du second ordre à coefficients doublement périodiques et dont l'intégrale est uniforme admet, en général, pour intégrale une somme de deux fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Certains cas exceptionnels peuvent se présenter; mais, dans tous les cas, l'intégrale générale peut être obtenue au moyen des fonctions 0 de la théorie des fonctions elliptiques.

J'ai montré bientôt après (10 et 11) que le théorème établi pour les équations linéaires du second ordre s'étend aux équations de tous les ordres. Le théorème fondamental est le suivant : une équation linéaire, à coefjicienis doublement périodiques et à intégrale générale uniforme admet toujours pour intégrale une fonction doublement périodique de seconde espèce. Ce théorème établi, on peut passer sans peine à la recherche de la forme des autres intégrales de l'équation. Si ré({uation est d'ordre m, il arrive, en général, que

ri'(Hintion ailmcl. comme intégrales distinctes, m fonctions doublement |iériudi(|ues de seconde espèce; dans tous les cas, l'intégrale générale peut être exprimée ii l'aide des transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques.

Nous sommes donc ainsi conduit à une classe étendue d'équations linéaires dont l'intégrale générale peut être obtenue au moyen de fonctions déjà connues, et (|ui sont, outre les polynômes, la fonction exponentielle et la transcendante 0 de Jacobi. D'ailleurs, une équation différentielle linéaire à coefficients doublement périodi(]ues étant donnée, on sait reconnaître si son intégrale générale est uniforme. On pourra ainsi toujours décider si une équation rentre dans la classe dont j'ai fait l'étude. Dans le troisième Volume de son beau Traité cl' Analyse, jM. Camille Jordan m'a fait l'honneur de développer la théorie des équations précédentes; qu'il nie soit aussi permis de rappeler que mes recherches ont été le point de départ de M. Halphen dans son .Mémoire couronné Sur la réduction des équations linéaires au r formes intégrables.

(lomme exeni|)le d'équations rentrant dans le type précédent, j'ai étudié une équation du second oidrc rencontrée par M. Gyidén dans un probli-nie de Mécanique céleste (8); je tiens à citer aussi l'équation suivante, qui a offert le premier exemple d'une équation d'ordre supérieur au second, intégrée au moyen des fonctions elliptiques

-r^ -h (Il — 6a- sii^jt) -r- -4- A, y = o,

OÙ h et /i, sont deux constantes (juelconques. Il y a trois intégrales de la forme

iè{x)

'/. et co étant des constantes convenablement choisies, qui se trouvent déterminées de la manière suivante. D'abord A se présente sous la forme d'une fonction doublement périodi(jue de co; quant aux trois valeurs de w, ce sont les trois racines distinctes de ré([uation en co

/(, -4- S II 1 A- si\',i eii'jj dii',) -+- M sn-w -t- N =o.

.M et .N représentant des polynômes en /t.

Dans la seconde Partie du .Mémoire (1 1^, nous nous occupons des systèmes d'équations linéaires simultanées ii coefticienls doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. J'étudie, en particulier, le système

( i6) suivant

du . ,, ch- (i<.r

-7- r=— Al' -H Hu, -r-=A«— Cir, -y- = — Bm -t- Ce,

f// cil dt

(jui jouil (le la propriété de coïncider avec son système adjoint, tel qu'il a été défini par M. Darboux; A, B, C sont des fonctions doublement périodiques de / aux périodes 2K et 2iK', et l'on suppose les intégrales uniformes. Une circonstance remarquable se présente ici; il y a toujours A^u^ ce cas un système d'intégrales formées de fonctions doublement périodiques àe première espèce, les périodes pouvant être, dans certains cas, 4K et 'i/K' au lieu de 2K et liK' .

Parmi les systèmes de la forme précédente, celui où A = — |r, B = o,

C = - oUVe un certain intérêt pour la Géométrie des courbes gauches ; R et

/• peuvent être considérés comme désignant les rayons de courbure et de torsion d'une courbe gauche, que nous supposons exprimés en fonction de 5 = / de la courbe. Supposons que R et /-soient des fonctions doublement périodiques de s aux périodes 2K et 2?K', et que le système ait ses intégrales uniformes; la proposition générale énoncée plus haut fait connaître une propriété de ces courbes : il existe une direction telle que la tangente, la normale principale et la binormale pour tous les points de la courbe situés à une distance les uns des autres égale à 2K (exceptionnellement à '|K ), font avec elle des angles respectivement égaux. Un cas particulier très simple (12) correspond à

R = V''"Uy' i-y

a et b étant deux constantes et n un entier positif.

Avant de quitter les équations linéaires à coefficients doublement périodiques, je signalerai encore une classe d'équations linéaires du second ordre (18).

M. Klein avait donné une méthode très remarquable pour étudier les équations linéaires du second ordre, à coefficients rationnels, dont l'intégrale générale est algébiique. Les considérations dont s'était servi cet éminent géomètre peuvent être étendues à la classe suivante d'équations linéaires : je veux parler des équations linéaires du second ordre à coefficients doublement périodiques, pour lesquelles toute intégrale satisfait à une équation algébrique, dont les coefficients sont des fonctions uniformes de r dans toute l'étendue du plan. Je montre que les transcendantes uni-

( >7) (briiu's, (|iu siiUioiliiisoiit dans celte étude, peuvent toujours s'ex|trinier ii l'aille de transcendantes classiques dans la théorie des fondions elli|)ti(|ues. On a étudié prin(i|talenient jusqu'ici la forme des intégrales d'une équation dilféi'entielle linéaire, dans le cas où les coefficients sont uniformes et où les intéj,'rales sont, d'après l'expression de M. P^iclis, réi;ulières. Toutefois, pour les intéii;rales irréi,Milières, on doit à M. Tliomé des résultats importants, et, récemment, M. Poincaré a donné à ce sujet des théorèmes du plus haut intérêt. Je me suis occupé (29) d'une classe d"é(|ualions linéaires où les coefllcients ne sou! pas uniformes; considérons ré(|uation

V et I", sont des fonctions des deux variahles ,r et j, uniformes et continues |)our toute valeur der située dans un certain domaine autour de l'origine, le domaine de j' s'étendant au plan tout entier; on pose j = x^, \x étant une constante quelconque, et c'est la forme des intégrales d'une telle équation dans le voisinage de l'origine, que je me suis proposé d'étudier. J'y réussis complètement, /?o«/iv/ que jj. ne soit pas réel et négatif; la méthode employée est analogue à celle dont j'ai parlé plus haut : elle consiste encore à remplacer l'équation uni(jue à étudier par un système d'équations aux dérivées partielles. Je dois avouer toutefois que j'ai été un peu déçu dans celte recherche; le cas où u. est un entier négatif serait pratiquement le plus intéressant, mais il écha|)pe à la méthode. Si l'on considère, pour une valeur fixe de .r, u comme fonction de pi, elle aura comme ligne de points singuliers essentiels la partie négative de l'axe réel.

Mes recherches sur une classe de fonctions hyperfuchsienncs ayant nécessité la connaissance du groupe de certaines équations différentielles linéaires, j'ai flù chercher le groupe de ces équations linéaires d'ordi'c (|uelconque. équations (|ui peuvent être considérées comme des généralisations de l'équation hypergéométrique de Gauss, et qui ont été principalement étudiées par M. Ilermite et Pochammer. On trouve les suhstitulions fondamentales du groupe sous une forme très simple, où ne figurent d'autres transcendantes que des exponentielles (ô9).

Les analogies entre les équations ditrércntiellos linéaires et les é(|uations algél)ri(|ues ont été souvent signalées et poursuivies dans des directions dillérentcs; j'ai cherché à les étendre encore, en développant autant que possiltle, pour les équations linéaires, une théorie analogue à celle qui a été donnée par Galois pour les équations algébriques. .Mais je parierai de ce travail dans la section de celte Notice consacrée aux transformations. 1'. 3