I. — Courbes de genre quelconque

1. M. Poincaré, dans un Travail célèbre, a établi (ju'dn peut exprimer les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique en (onction fuc/isienne d'un parcimètre; c'est ce résultat capital qui m'a servi de point de départ, pour l'étude géométrique des courbes planes, dans le Blémoire I.

En introduisant, au lieu des cooordonnées cartésiennes, les coordonnées liomogènes, je montre que, pour une courbe plane, .r,, .r^, xv, sont proportionnels à trois fonctions ihêlafachsiennes holomorphes , mais, dès ce début, se présente une différence importante avec les cas classiques des courbes de genre zéro ou un. En effet, pour une courbe, soit unicursale, soit elliptique, de degré n, les coordonnées .r,, x.,, x\ sont proportionnelles, soit à trois polynômes d'ordre n, soit à trois fonctions tliéta d'ordre n, d'une même variable; pour une courbe de degré net de genre/?, supérieur à l'unité, le résultat est moins simple.

2. Soient 2([i. — \){p — i) et i\}^{p — i) les deux multiples consécutifs de "i-ip — i) qui comprennent n, de sorte que

si l'on a

2[x{p — \) — nlp,

les coordonnées d'un point de la courbe seront proportionnelles à

(rois fonctions liiètafiiclisiennes liolomorplics d'ordre a, et l'on ne pourra janiais, pour cette représentation, employer des fonctions (l'ordre inférieur. Si, au contraire, on a

■i'AP -i) — " </'•

les fonctions tliétafuclisiennes de la représentation seront, en général, d'ordre a -l- i , mais pourront être d'ordre u..

On voit ainsi que, dans ce second cas. il existe deux espèces de courbes de degré n et de genre/?, distinguées par leur mode de représentation thétafuclisienne: j'ai cherché à les caractériser géométriquement, et j'ai aussi reconnu l'existence de deux espèces analogues dans le premier cas. Voici le résultat, si l'on désigne, pour abréger, par groupe y tout groupe de i(p — i) points simples suivant lequel une courbe de degré n et de genre/? est coupée par une courbe adjointe de degré n — i.

Premier cas : 2a(/> — i) — ri>p. — Sur une courbe de première espèce, u. groupes y quelconques sont traversés par une courbe adjointe d'ordre n — -2, qui coupe en outre la proposée en des points fixes; sur une courbe de deuxième espèce, \x goupes 7 ne peuvent jamais être sur une adjointe d'ordre n — 2.

Secom) cas : 2u.(p — i) — n <Cp. — l'-n toute hypothèse, \x groupes ^[ quelconques sont traversés par une adjointe d'ordre « — 2 -.ses autres points simples d'intersection avec la proposée sont toujours sur une adjointe d'ordre n — '3, dans le cas d'une courbe de première espèce, et nv sont jamais dans le cas d'une courbe de deuxième espèce.

3. Grâce aux fonctions thétafuchsiennes, on peut retrouver, au |)oint de vue transcendant, les théorèmes de M.AI. Nôther et Brill, relatifs à la Géométrie sur une courbe, et en démontrer de nouveaux; il suffira, pour le faire comprendre, d'indiquer les deux propositions suivantes qui établissent la liaison entre les fonctions thétafuchsiennes et les courbes adjointes.

Soit S la courbe de degré n et de genre p pour laquelle les coordonnées homogènes d'un point sont proportionnelles à trois fonctions

— la —

(lirhiCticlisiennes d'ordre/??, ((iii ont X" zéros comnuin> y.,, y..., .. .. y.^,

i" Les arguments fuchsiens des points non singuliers où S est coupée par une adjointe de degré n -t- q — i annulent une fonction thètafuclisienne holomorphe d'ordre niq-hi, dont les autres zéros sont a, , . . . , X;;., chacun au degré q de multiplicité, et réciproquement.

1° Soit une courbe de degré n -h q — 3 adjointe à S et traicrsanl un groupe y; les arguments fuchsiens des autres points non singuliers où elle coupe S annulent une fonction thêta fuchsienne holomorphe d'ordre mq, dont les autres zéros sont y.,, . . ., y.^, chacun au degré q. et réciproquement.

Des théorèmes analogues s'appliquent au cas où la courbe proposée admettrait des adjointes de degré « — 4.

4. Le 3[émoire l traite ensuite de l'intersection de la courbe l'ondamentale avec une courbe non adjointe, et aborde, comme conséquence, le problème des courbes de contact, c'est-à-dire des courbes qui ont, avec la proposée, un contact d'ordre donné en tous leurs points de rencontre avec elle.

Ce problème a été traité par Clebsch dans le cas des courbes adjointes; le théorème d'Abel et les éléments de la Théorie de l'inversion de Riemann permettent de le résoudre aisément. Pour les courbes non adjointes, il faut introduire en outre des intégrales abéliennes de troisième espèce; la question se rattache alors au problème de l'inversion étendu et n'avait pas encore de solution géométrique générale.

L'emploi des fonctions fuchsiennes m'a permis de combler cotte lacune sans recourir aux intégrales de troisième espèce, dans le cas où la courbe proposée n'a comme singularités que des points doubles; j'envisage d'ailleurs la question de l'intersection d'une courbe algébrique fixe et d'une courbe variable à un autre point de vue que Clebsch.

L'illustre géomètre se préoccupait spécialement des relations qui lient les coordonnées des points communs; j'examine, au contraire, celles qui lient les paramètres dont dépend la courbe sécante, supposée

soLiiiiiso à certaines conditions d'intersection; je peux ainsi, dans le cas parliculier des courbes de contact, donner non seulement les propriétés des systèmes de points de contact, mais indiquer la forme de ré(|iialion générale des courbes tangentes et en déduire des propriétés de CCS courbes elles-mêmes.

.1. Voici les piincipaux résultats de celte tliéoric :

1.(1 fumille des courbes (ronlre donné m, qin passent par k points doubles cl k points simples donnés sur une courbe de genre p, à d points doubles, et qui ont avec cette courbe, en chacun des autres points de rencontre, un contact d'ordre r — i , se subdivise en r^'' systèmes.

Chaque système comprend lui-même r''~'' groupes de courbes ; le premier membre de l'équation des courbes d'un même groupe est un polynôme d'ordre r par rapport au.v paramètres demeurés arbitraires.

Les systèmes de points de contact jouissent de propriétés importantes; ainsi :

Toute courbe d'ordre m, menée par les /r points doubles, les k' points simples donnés, et par les points de contact de r — i courbes de la famdle précédente, coupe en outre la proposée en de nouveaux points qui sont les points de contact cVune autre courbe de la fa nulle ; le système et le groupe auxquels appartient celte dernière courbe de contact restent fixes, quand les systèmes et les groupes auxquels appartiennent les r — i premières restent fixes eux-mêmes.

G. Cette tliéoric géométrique est liée à l'étude de fonctions uniformes intéressantes qui se rattaclient aux Wiirzelfuu-lionen des Allemands et i\u\ fonctions ci multiplicateurs de M. Appell.

Soit G un groupe fuclisien de la première fainille de M. Poincaré. dérivant de •2p substitutions et dont le polygone a 4/^ côtés, les côtés opposés étant conjugués; on peut former des fonctions S(:-), uniformes dans l'intérieur du cercle fondamental, satisfaisant aux relations

OÙ (r-, -^^ — —] est une quelconque des sul)stituliuns Ibndaincntales

du groupe G et où les hj sont des entiers choisis arhitraiie nient.

Je trouve aussi des fonctions Ao/o/no/yjA« dans le cercle fondamental, et vérifiant des relations semblables à celles des fonctions tliètafuchsiennes, à un facteur, racine de l'unité, près; et de là se déduisent des propriétés des systèmes et des groupes de courbes de contact, que j'appelle complémentaires.

7. Un cas particulier intéressant est celui où l'équation générale des courbes de contact d'un même groupe ne renferme qu'un paramètre arbitraire qui, d'après la théorie précédente, y figure au degré /•; dans ce cas :

J'ar lin point du plan passent 7- courbes du groupe; leurs points de contact et les points fixes sont sur une courbe de même ordre que j'appelle courbe polaire du point considéré; inversement, ce point est dit pôle de sa courbe polaire. Si la courbe polaire d'u/i point P passe par un point V, la courbe polaire de P' passe par P.

Lorsque r est impair, toute courbe polaire passe par son pôle.

8. Les applications de ces principes aux courbes des quatrième et cinquième degrés conduisent ii des résultats simples; ainsi :

Courbe du quatrième ordre à un point double : Il y a i6 systèmes de coni(jues touchant la courbe en quatre points; l'un d'eux ne contient que des droites doubles, chacun des i5 autres se divise en deux groupes, de sorte qu'il n'existe, en réalité, que 3o groupes de coniques de contact (' ).

Les points de contact de deux coniques du même système et du même groupe sont sur une conique; par les points de contact de deux coniques du même système et de groupes différents, on peut mener un faisceau de cubiques, dont le neuvième point fixe est le point double de la courbe.

(') El non 3i, comme il est dit dans les Leçons sur la GeomeVr/e de Clebsch. De même, dans le cas des courbes du quatrième ordre à trois points doubles, il n'y a que quain; groupes de coniques quadritaiigentes, au lieu des sei>t groupes qu'indique Clebsch. H. 3

// V n Si systèmes de cubiques oscitlalrires en quatre points à la quartique considérée; l'un d'eux ne contient que des droites triples, chacun des Sn autres se divise en 3 groupes.

On peut représenter les svstèmr's par les symboles (a,h,c,d) et les groupes par les symboles (a); a, b, r, d, y. pouvant prendre les râleurs o. i, 2 : c'est le système (O, o, o, o) qui ne contient que des droites.

Les /mit points de contact de deux cubiques appartenant aux systèmes rt groupes respectifs (a, h, c, d), (a); (a', //, c', d'), (7.' ) sont sur une on iqiie si a -!- a' , b -h b' , c -h c' , d -{- d', 7. -\- a' sont égaux à o ou à '\ : de même, les douze points de contact de trois cubiques sont sur une cubique si les sommes des quantités a, b, c, d, 7. correspo/idantes sont égales à u ou à un multiple de ').

Courbes du c'mquii'iiie onlie : Les coniques proprement dites qui louchent en cinq points une courbe du cinquième degré ayant i , 2, 3, '\, r) ou 6 points doubles ordinaires, sont respectivement au nombre de \o>3, ") I o, 2 V2, 121, V) et i(").

'.). Un Chapilre du Mémoire est consacré aux courbes hyperellipliques : «ne courbe d'ordre n est dite hyperelliplique lorsque toute adjointe d'oi'dre /; — 3 qui passe par un de ses points passe aussi par nn autre point, et ces d(Hix points sont dits conjugués. Je montre (]ne :

Les droites qui joignent les couples de />(>ints conjugués sur une courbe hyperelliplique générale, d'ordre n et de genre p, enveloppent une catiriie unicursale de classe n — p — \, d'ordre ■>.{n — p— 2 ). qui touche la proposée en 3n — ip — <) points.

Les courbes de genre «b'ux sont bvpercdlipliques; j'étudie ceUes de degrés quatre et cinq, et l'emploi des fonctions tliétafucbsiennes me donne quelques résultats simples; ainsi :

Les coniques qui traversent trois couples de points conjugués, sur une cour-be du quatrième ordre èi un point double, passent par deux points Jîxes de cette courbe et forment une famille linéaire deux fois infime.

10. La tliooric des fonclioiis fuchsieiines m'a également servi, dans le Mémoire 2, à élahlir une proposition analogue à un théorème énnméraliriiien connu de l'amiiMl de Jon(|uières :

l'arini les surfaces d'ordre n appartenanl à un système linéaire p — i Jais infini, le nombre de celles qui ont, en un point, avec une courbe plane ou gauclie de degré m et de genre p, un contact d'ordre p — i , est égal à ninp + p(p — i)(> — i)-

Dans certains cas, (|ue j'indique tous, ce nombre subit une niodilicalion; ainsi : Sur une courbe gauche non sphérique, de degré m et de genre p, le nombre des sommets, c'est-à-dire des points où la sphère osculatrice a un contact d'ordre supérieur au troisième, est lom -+- 2(p — i).

Postérieurement à mon Mémoire, M. Hurwitz a établi, ;i un autre point de vue, un cas particulier de cette formule (Math. Annalen, t. XLI).