II. — Courbes de genres un et zéro

11. Dans ma thèse de Doctorat (3), j'avais appliqué des méthodes analogues à l'étude des courbes de genre un; parmi les résultats qui me sont personnels, on peut citer les suivants :

J'indique, étant donnée l'expression des coordonnées des points d'une courbe de genre un en fonction elliptique d'un paramètre, le moyen de reconnaitre si elle est de genre un ou zéro, à l'aide d'opérations algébriques simples. Dans le premier cas, je forme son équation sans introduire de facteurs étrangers, ainsi que les équations de ses adjointes d'ordres n — 3, n — i, n — y, (mi désignant son degré par n.

12. Les notes 4, 5, 6 se rapportent à ce genre de recherches; plus sommaires que le Mémoire complet, elles renfermaient une lacune qu'un géomètre allemand, M. Schlesinger, a cru devoir relever dans les Comptes rendus, puis dans les Mathematische Annalen ; averti par M. Nôlher, il a reconnu ensuite, dans une Note insérée à ce dernier Recueil, l'exactitude absolue et complète des résultats de ma Thèse.

13. A propos (lu problème des courbes de contact, traité par Clebscli, je donne des propriétés, non seulement des points de contact, mais des courbes elles-mêmes, avec application aux coniques hioscidalrices à une cubique plane.

14. En appelant points conjugués dans un système s deux points d'une courbe de genre un dont les arguments elliptiques ont pour somme s, i'indi(|u<' sur ces systèmes de points de nombreux théorèmes; pai' exemple :

fM droite qui joint deux points conjugués dans un sYsicme s cm'etoppc une courbe unicursale de classe n — 2, d'ordre m — 3, qui touche la proposée en 3// — i^ points.

Je signalerai aussi l'étude des courbes d'ordre n — 3, menées par /■ points doubles de la courbe de genre un, et dont les autres points d'intersection avec celle-ci sont deux à deux conjugués dans un même système : ces courbes se répartissent en [^(«— 3)« — iy systèmes, et les courbes de chaque système forment un faisceau.

Appliquées aux courbes du cinquième degré, ces |)ropositions donnent des résultats simples; ainsi :

Les coniques menées par quatre points doubles d'une courbe de degré cinq et de genre un la coupent en deux points mobiles : la droite qui joint ceux-ci enveloppe une conique qui touche la proposée en cinq points; les cinij points de contact et les cinq points doub'.es de la proposée sont sur une cubique.

1.5. Le ftlémoire 3 se termine par une étude détaillée des cyclupics, ou courbes anallagmatiques du quatrième degré : c'est surtout la considération des systèmes de points conjugués qui me conduit ii des résultats nouveaux; le suivant sert de base à toute une théorie des cycliques bomofocales :

Le lieu des centres des cercles de rayon nul qui passent par deuoc points d'une cyclique, conjugués dans un système donné, est une cyclique homofocale.

Si l'on a])\)e\\e pâ/cs principaux les quatre points p.'ir rnppoii anx- (|nols la conrix' est anallagi!iali([ue :

Les huit points à distance finie communs à deux cycliques homofocales sont sur une cubique circulaire (jui contient les quatre pôles principaux et les points d'intersection des droites les joignant deux à deux.

Les tangentes menées en ces huit points à une des cycliques touchent une conique inscrite à la cyclique.

On retrouvera plus tard, api)li(iuées à l'espace, les autres propriétés nouvelles des cycliques planes; le théorème suivant mérite toutefois d'être signalé :

Les bissectrices de tout système de cordes communes à une cyclique et à un cercle coïncident avec les bissectrices des droites qui Joignent le centre du cercle à deux points fixes (qui sont les deux foyers singuliers réels de la cyclique^

16. La Note 7 donne des propriétés des couples de points conjugués dans un des douze systèmes (semi-principaux) pour lesquels s est égal à un quart de période, en exceptant les quatre demi-périodes qui correspondent aux systèmes principaux. A chaque système semiprincipal est lié uji point o (semi-pôle), et les conjugués des quatre points où la cyclique est coupée par une droite quelconque issue de o, sont sur une seconde droite passant aussi par o. Le segment déterminé par deux points conjugués dans un système semi-principal est divisé harmoniquement par deux droites fixes concourant au semipôle correspondant.

17. Dans la Note lU, j'applique aux courbes unicursales une méthode analogue à celle qui m'a donné l'équation des adjointes d'une courbe de genre un; j'arrive ainsi, étant connue la représentation paramétrique d'une courbe unicursale d'ordre n, à trouver directement, de la manière la plus simple, ses courbes adjointes d'ordres n — i et « — I.