II. — Surfaces du second ordre

53. Le Mémoire 39 étend aux quadriques les notions de points conjugués et de groupes de sphères. Soit cr une conique quelconque du plan de l'intini passant par les quatre points communs à la quadrique et au cercle isotrope; une sphère appartient au groupe a si un des (|uatre cônes qui passent par son intersection avec la quadrique contient la conique cr. Deux points de la quadrique sont conjugués dans le système '3 ?.\ la droite qui les joint rencontre cette conique; enfin, un cercle bitangent à la (|uadrique fait partie du groupe i si ses deux points de contact sont conjugués dans le système 7.

Toute sphère passant par un cercle bitangent du groupe a appartient au groupe i de sphères.

Le lieu des centres des sphères de rayon nul appartenant à un même groupe est une quadrique homofocale à la proposée.

Les biquadratiques communes à une quadrique et aux sphères d'un même groupe ont une de leurs lignes focales sur la quadrique, heu des centres des sphères de rayon nul du groupe.

Les deux focales a, et a.., d'une conique a, tracée sur une quadrique E, sont respectivement sur deux quadriques E, et E,, homofocales à E; les

cônes circoriscrils ait.v (ji/ai/riqucs E, E,, Eo suna/it les coniques a, a,, y.., sont concentriques et liomofocaux.

Les sphères d'une même série, bitangentes à une quadnque Q, inscrite à E, appartiennent à un même groupe par rapport à E; de même pour les sphères inscrites à une quadrique de révolution hitangente à E.

On peut toujours, bien que cela semble impossible a pi'ioi'i, construire une quadrique inscrite à une quadrique donnée E, el bitangenle à trois sphères appartenant à un même groupe par rapport à E.

Les sphères d' une même série, doublement tangentes à une conique située sur une quadrique et simplement tangentes ci cette surface, la touchent suivant une ligne de courbure, qui passe par les extrémités du diamètre conjugué du plan de ta conique.

Parmi les sphères qui touchent les deux génératrices rectilignes passant par un point m d' une quadrique, on considère celles qui sont en outre tangentes à la surface : le lieu de leurs points de contact se compose des deux lig/ics de courbure de la quadrique qui .ie croisent en m.

On a ainsi une généi-ation géométrique très simple des lignes de courbure; si, de plus, on désigne par a el b les points où la sphère touche les deux génératrices, parc celui où elle touche la quadricjue, la ligne de courbure engendrée par c est normale en ce point au cercle (|ui passe par les points a, b, c.

Citons enfin une proposition analogue à un théorème rappelé plus haut à propos des cyclides :

Les lignes de courbure d'une quadrique restent les mêmes quand on prend pour absolu une conique quelconque, passant par les quatre points communs à la surface et au cercle isotrope, ou une conique quelconque pa-isanl par quatre ondiilics situés dans un même plan principal.

On peut donner, pour une conique, une théorie des groupes de cercles analogue à la théorie des groupes de sphères (39).

54. Le Mémoire 4 1 est consacré à une question d'un ordre dilTérent.

Il semble (^//Wo/v qu'il y ait une infinité simple de quadriques indécomposables touchant respectivement en quatre points deux quadri(|ues données; en l'éalité, je montre qu'il n'en est rien : si les deux

quadriqucs priinitivos no satisfont pas à une condition initiale, il n'existe aucune surlaco du second ordre quadritan^^cnle à l'une et à l'autre; si la condition est vérifiée, il existe une infinité double de telles surfaces.

La condition initiale peut leeevoii- différentes formes.

Par exemple, si A = o et B = o sont les équations des deux quadriques primitives, il faut que le produit AH soit décomposahle eu une somme de quatre carrés, ou que les génératrices d'un système de A et celles d'un système de B appartiennent à un même complexe linéaire.

Si l'on désigne, suivant les notations classiques, par A, 0, A', 0' les invariants du système des deux quadriqucs, la condition initiale s'exprime analytiquement par A0'' = A'0^ Quand elle est vérifiée, les surfaces du second ordre quadritangentes à A et B ont une équation de la forme AaC -H aE -+- uF - D = o, a et a étant des paramètres arbitraires.

55. C'est la théorie des quadriqucs inscrites à une surface de Kummer qui m'a amené à poser le problème précédent: le lien entre les deux questions est exprimé par cette proposition :

Les surfaces du second ordre, quadritangentes à deux quadriqucs données et passant par un point donné, ont pour enveloppe une surface de Kummer.

Réciproquement, toute surface de Kummer est susceptible de ce mode de génération.