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cvclide enveloppent une developpahlc, do'it la pndaire, par rapport au point 0, coïncide avec la cubique principale.

Un plan quelconque coupe, suivant des courbes à un axe de symétrie, trois cvclides d'un système Iwmofocal.

Soit 0' le pied d'une normale menée du point 0 à un des cinq cônes du second ordre i/iserits à la cyclide; le plan tangent en 0' à ce cône coupe la cyclide suivant deux cercles égaux, dont les centres sont équidistants de 0' et en ligne droite avec ce point.

La normale en un point d'une cyclide et la corde de la cubique pnncifxile issue de ce point déterminent un plan qui passe par le point ^xe 0.

51. Je signalerai encore des propositions sur les normales, les lignes de courbure, les centres de courbure principaux d'une cyclide et. en particulier, des constructions très simples de ces centres pour un point donné de la surface. Le tbéorème suivant concerne la théorie des points conjugués.

Le lieu des conjugués d'un point a d'une cyclide, dans un système V. est la biquadratique commune à la surface et à une sphère qui la touche au point a: je montre que :

Les centres n,, a.,, a^, ... des sphères qui renferment les conjugués du point a dans les systèmes Y,, \.,, V,, . . . déterminent sur la normale à la cvclide en a une division homographique à une division fixe ; le rapport anliarmonique de quatre de ces points est égal au rapport atiliarmonique. sur la cubique principale, des centres des quadriques V correspondantes.

i'.e théorème donne de nombreuses conséquences; la suivante complète un résultat de >IM. Laguerre et Darboux :

Soient d,. d.-., d^, d,^, f/-, les centres des sphères bitangentes à la cyclide et dont un des points de contact est un point donné a de cette surface; les cinq points d sont respectivement sur les cinq quadriques déférentes. Si a décrit une ligne de courbure, ces cinq points et l'un des centres de courbure principaux de la cyclide en a déterminent, sur la normale en a, une division homographique à une division fixe.

.>2. La note 38 traite un problème intéressant posé par M. Darboux. L'éminent Géomètre a montré (jn'on peut déterminer les lignes de

courbure d'uue cyclidc quand on prend pour absolu (Cayley) une (jucIcon(|uc des quadrifjues V inscrites; je fais voir que ces lignes, ([uelle (|ue soit la (iua(lii(iue V choisie, coïncident avec les lignes de coKibure ordinaires.

De ce résultat, transformé par corrélation, se déduit une détermination simple des lignes de courbure d'une surface remarquable étudiée par MM. Laguerrc et Darboux :

Im surface de qualrièinc classe et du douzième ordre, doublement inscrite dans un cône du second degré et ayant le cercle isotrope comme ligne double, admet une série simplement infinie de (juadriques inscrites: chacune de ces quadriques. en dehors de sa courbe de contact, qui est du quatrième ordre, coupe la surface suivant une courbe du seizième ordre : ces courbes du seizième ordre sont les li^iirs de courbure de la surface.