IV. — Surface desmique du quatrième ordre

58. On dit que trois tétraèdres constituent un système desmique lorsque les trois surfaces du quatrième ordre, formées respectivement par leurs faces, appartiennent à un même faisceau ponctuel ; on appelle surface desmique toute surface de ce faisceau. Dans le Mémoire 44, j'exprime les coordonnées d'un point d'une telle surface à l'aide des fonctions elliptiques, et j'en déduis toute une théorie géométrique.

L'expression elliptique des coordonnées est

ÇiX^z , 0 y ^= — — ) P-:= ' pl^ — ->

a-, (' a,i' n^v ce

p désigne le facteur de proportionnalité, et les fonctions cr, à%u et de v, correspondent aux mêmes racines <?„,.

On peut tracer sur la surface trois séries de biquadratiques gauches, ayant pour équations respectives v = a, // — i- = a, ;/ + c = x ; a désignant une constante arbitraire; toute tangente d'une de ces biquadratiques touche la surface desmique en un nouveau point, de sorte que la développable, qui a pour arête de rebroussement une des courbes précédentes, est circonscrite à la surface le long d'une courbe.

Ue là ti'ois nouvelles séries de courbes, respectivement conjuguées des préeédenles : « = a, Se + » = — a, Se — m = a. On en déduit l'équation des lignes asyniploti([ues u ± cy — 3 = const.

I.es cordes des l)ii|uadraliques des trois séries appartiennent à un même complexe du troisième ordre; les arguments elliptiques des quatre points communs à la surface desmique et à une droite du complexe peuvent se mettre sous la forme

a, p, ij. désignant des constantes arbitraires, et ces formules donnent de nombreuses consé(|uences géométriques.

09. A|)pelons courbe linéaire toute courbe tracée sur la surface desnii(|ue, et dont la tangente en un point forme, avec les tangentes aux trois biquadraliques qui passent par ce point, un faisceau de rapport anbarmoniqiie donné; l'équation générale de pareilles courbes est linéaie en ;/ et c.

On peut, il l'aide des courbes linéaires, constituer sur la sui'face une Gèumctrie identique à la Géométrie eurlnUenne du plan, en ce qui concerne du moins les propriétés angulaires.

L'angle desmique de deux directions en un point de la surface se définit exactement comme sur la splière, à l'aide du rapport anharmoni(jue de ces directions et des deux dii'eclions asymptotiques au point considéré; on établit ces propositions :

La somme des trois angles d'un triangle desmique. c'est-à-dire formé par trois courbes linéaires, est égale ci r. ; deux directions conjuguées sur la surface font entre elles un angle desmique droit ; les courbes linéaires menées par les trois sommets d'un triangle desmique et respectivement conjuguées des côtés opposés sont concourantes; le lieu du sommet mobile d'un triangle desmique dont la base est fixe et dont les deu.v angles desmiques à la base sont égaux, est une courbe linéaire, conjuguée de la base,... etc.

Dans cette Géométrie, les lignes asymptotiques de la surface, qui

sont Jes courbes linéaires, correspondent ;nix droites isotropes du pian; voici une de leurs propriétés :

Par deux [mints fixes, silucs sur une même asymplniique, on mène deux courbes linéaires conjuguées entre elles : le lieu de leur point de rencontre est une ligne asvmplolujucde l'autre série.

GO. Apri's les courbes linéaires, j'ai étudié les sections planes de la surface desniique (i'i ('l 45). Ce sont évidemment des courbes (lesmiques, c'est-à-diie (|ue cbacune d'elles appartient à un faisceau de quartiques qui contient trois systèmes de quatre droites; mais il est remarquable qu'une coiirlx? desmique est desniique d'une infinité de manières, comme cela résulte de ce mode de génération :

Etant donnée une courbe de troisième classe, C, on lui mène, par un point m de son plan, trois tangentes, dont chacune rencontre C en quatre points. Les tangentes en ces 12 nouveaux points forment un système desmique et se coupent, par suite, 3 à 3, en ï6 points [jl : lorsque m décrit une droite, les 16 points ix correspondants décrivent une courbe desmique du quatrième ordre.

^lentionnons encore d'autres résultats :

Toute courbe desmique a 1 8 bitangentes remarquables, qui peuvent être groupées en 6 triangles Jouissant de la propriété suivante : les trois bitangentes de chaque triangle sont les diagonales d'un quadrilatère complet, dont les 6 sommets sont leurs points de contact avec la courbe.

Les 18 côtés des G triangles touchent une courbe de troisième classe.

Il existe 18.3 coniques dont chacune touche un côté de chacun des G triangles.

L'équation d'une courbe desmique peut, d'après cela, être ramenée de six manières au type

61. Les courbes desmiques h point double, sections de la surface desmique par ses plans tangents, ont une équation réductible à la forme

(X' -H Y^) (rtX -t- Ij\ -h cZ) + XYZ^' :=o;

on en conclut, entre autres propriétés, que :

Les tafioentes asymptotiques, en un point a de la surface desmique, percent chacune la surface en un autre point : la droite qui joint les points ainsi obtenus touche la surface en un nouveau point, que j'appelle tangentiel de a.

Si u, V sont les paramètres de a, ceux du tangentiel sont — '6v, u\ si un point décrit une asymptotique, son tangentiel décrit une asyniptotique de la même série.

G2. La réciproque de la surface des centres de courbure d'une quadrique à centre est une surface desmique; on obtient par là ( 'i(>) des propositions sur les normales ci une quadriquc. On sait que, par un point M de l'espace, on peut mener, à la surface des centres de courbure d'une quadriquc, 28 taugeules doubles;' parmi elles tigurent G normales N à la quadriquc, G droites P, situées sur des paraboloidcs normaux à la quadriquc le long de six génératrices d'un même système. G droites analogues P. pour les génératrices de l'autre système. (]es i<S droites correspondent aux (8 bitangentes de la courbe desmiqu*' considérées plus baut, et possèdent des propriétés récipro(jues. i'ar exemple, elles sont sur un cône du troisième ordre, et ce cône passe par 12 points fixes, quel que soit le point RI dans l'espace. Les points fixes sont ceux où les noimales aux ombilics de la quadriquc coupent les plans principaux et le plan de l'iutini.

On sait que les 6 droites N sont sur un cône du second ordre; de même les G droites P, et les G droites 1*2; ces trois cônes ont quatre droites communes ; et il existe 180 autres cônes du second ordre contenant G des droites N, P, , P^.

Les droites N, P,, P^ forment un complexe du troisième ordre: je trouve que c'est le complexe des normales aux quadriques

( a- + ^ ) ( 0- + c ) ( cr + c) ( C7 -h rt ) ( cr -H (/ ) ( cr -H ^ ) '

OÙ Test un paramètre variable. C'est aussi le complexe que forment les génératrices rcctilignes de ces surfaces et des surfaces bomofocales. Les normales aux ombilics sont les mêmes pour toutes les qua-

(li'iques (i); il en résulte, d'après un beau théorème de J\I. Maurice Lévv, ({uc ces surfaces font partie d'un sysl<''/>i(' triple ort/in^onal. C'est la lamiile la plus générale de quadriques à centre pour laquelle les ombilics décrivent des droites normales à toutes lesquadriques. L'intégration d'une équation difîérentielledu premier ordre, par une méthode due à M. Darboux, m'a donné explicitement les deux autres familles du système triple, qui peuvent être algébriques dans un cas très étendu. M. Darboux a bien voulu mentionner ce système dans son Ouvrage sur les Systèmes triples orthogonaux.