V. — Surfaces diverses

63. M. Picard a introduit dans la Science la notion d'intégrale de difTérentielle totale de première espèce sur une surface algébrique, généralisant ainsi, à un nouveau point de vue, la théorie si féconde d'Ahel et de Rieniann pour les courbes algébriques. Les surfaces qui ne possèdent pas d'intégrales de cette nature sont comparables, sous plusieurs rapports, aux courbes unicursales : sur l'une d'elles, en effet, les courbes d'un ordre donné peuvent être individuellement découpées par des surfaces formant un système linéaire; de même que, sur une courbe uuicursale, \i^i points sont individuellement découpés par des courbes formant un laisceau. L'énoncé plus précis de ce théorème, établi dans le Mémoire 51, est le suivant :

Sur une surface n'ayant pas d' intégrales de différentielles totales de première espèce, les courbes algébriques d'un même ordre se répartissent en une ou plusieurs séries linéaires.

Parmi les corollaires, citons celui-ci ;

Si l'on peut tracer, sur une sur/ace S, une série simplement infinie de courbes unicursales, se coupant deux à deux en un point mobile au moins, et n'ayant pas de point singulier mobile en dehors des lignes multiples de S, la surface est reprèscntable point par point sur le plan.

Ainsi :

Les surfaces engendrées par des cubiques gauc/ies, se coupant deu.r à

deux en un point mobile au moins, sont reprèsentahles point par point sur le f/lan.

Je détermine, dans ce cas particulier, toutes les surfaces considérées.

61. Le Mémoire 49 donne, au sujet des courbes planes, un théorème qui entraine d'intéressantes conséquences dans la théorie des surfaces; voici l'énoncé de celte proposition, établie en même temps par M. Castelnuovo, sous une forme un peu moins complète.

On dit qu'une involution, formée de groupes de n points sur une courbe algébrique, est d'ordre n; elle est cVespéce k si chaque groupe est déterminé par X- de ses points choisis arbitrairement; elle e.sl rationnelle si ses groupes sont ceux que découpent, sur la proposée, les courbes d'un système linéaire. Cela posé :

Les ini'olutions non rationnelles, en dehors naturellement de celles dont l'espèce égale F ordre, sont toutes d'espèce un, et il n'en existe pas sur une courbe prise au /tasard.

Si une courbe C, de genre p, admet une involution non rationnelle d'espèce un, elle est liée à une courbe Z , de genre ro ( tô <C.p)- de telle sorte qu'à un point de C corresponde un point de £, et (pi' à un point de £ correspondent n points de C : les groupes de n points ainsi définis sur C forment l' involution.

Si d est le nombre des points doubles de l' involution. on a

3 {/) — I ) = 2 « ( K) — I ) + rf.

Je montre aussi qu'il ne peut exister, sur une courbe algébrique, une série continue d'involutions irrationnelles de même ordre.