VI. — Surfaces unicursales

(36. Autant la tliéorie des surfaces représentahles point par point sur le plan est riche en propositions particulières et en exemples curieux, autant elle semble pauvre en résultats généraux. Il n'était donc pas sans intérêt d'arriver, dans ce domaine, à des lliéorènics d'une application étendue. Mon but, dans le Travail 55, a été de rechercher, d'une manière générale, quelles sont les images sur le plan des courbes communes à une surface unicursale et à ses adjointes d'un ordre donné : les résultats antérieurement obtenus sur cette question étaient incomplets et souvent même inexacts. Les deux propositions suivantes résument mes recherches :

I. Soit une surface S, d'ordre n, représentable point par point sur le plan, de telle sorte que ses sections planes aient pour images des courbes d'ordre h, ayant en des points (a,), («a), ... des singularités u,, a,, — Les images des courbes mobiles, communes à la sur/ace et ci ses adjointes d'ordre n -\- q — [\, sont des courbes d' ordre hq — 3, ayant aux points {a^), (a.,), ... les singularités adjointes des singularités (q(j,), (q'^-^), —

II. Réciproquement, toute courbe du plan, d'ordre hq — 3, ayant en (a, ), (a.,), . .. les singularités adjointes des singularités (^t, ), (qn., ), ... est l'image de l'intersection de la sur/ace S avec une surface adjointe d'ordre n -f- y — 4 ( ' )•

67. D'autres résultats du Mémoire 55 concernent les points niul-

(1) Si une courbe possède en un point une singularité t, la singularité adjointe à s est celle que possèdent, au même point, les courbes adjointes à la |)roposée.

Si des courbes fi = o,f, = o, ... possèdent en un point la singularité t, la singularité {q<!) est celle que possèdent, au même point, les courbes

F étant un pohiiome arbitraire, homogène et d'ordre q, par ra|)iiort à /i, f-,, . . ■■ H. ■ S

tiplos isolés de la surface, par lesquels doivent passer les surfaces adjointes; c'est-à-dire, en particulier, tous les poinis multiples d'ordre supérieur à deux, situés en dehors des lignes multiples : de pareils points ont toujours, pour image plane, une courbe. De plus :

Si une surf ace d' ordre n, représenlable point par point sur le plan, possède t de ces points multiples isolés, elle admet au moins t surfaces d'ordre n — 4, adjointes le long de ses lignes multiples, et linéairement distinctes.

VII. — Surface du sixième ordre liée aux fonctions abéliennes.

(kS. Une surface peut correspondre point par couple, à une courbe algébrique C; c'est-à-dire qu'à un couple de points de C correspond un point de la surface, et inversement qu'à un point de la surface répond un seul couple sur C. Si C est de genre p, la surface est de genre T,p(p — i).

Lorsque/? = 3, on peut supposer que C est la courbe plane générale d'ordre quatre ; alors, pour une des surfaces (jue l'on vient de définir, les coordonnées non homogènes d'un point sont des fonctions abéliennes à six périodes, de trois paramètres u, r, w, liés par la relation r(M, V, iv) = o, où ~ désigne une des G\ fonctions abéliennes normales du premier ordre.

69. Voici comment on peut définir une pareille surface, du degré minimum six (56, 57, 58) :

Soient r, et r^ deux quelconques des G4 fonctions d'ordre un; les (J2 autres & se groupent deux à deux de manière que le produit de deux fonctions d'un groupe ait même caractéristique que Hr,S-2. On obtient ainsi, au total, 32 produits ~,&y, dont iG sont des fonctions paires, et les iG autres impaires; les iG produits pairs s'expriment — de même que les iG impairs — en fonction linéaire et homogène de 4 d'entre eux.

Désignons alors par 0,, ...,04 celles des quatre fonctions ainsi définies qui n'ont pas la même parité que ~,~o; soit S la surface pour laquelle les coordonnées .r, , . . ., a:, d'un point sont proportionnelles à 6,, . . ., 04, les paramètres u, ç, w étant liés par 2:, (u, c, w) = o. J'établis que S est d'ordre six ; si on la rattache à la courbe C du quatrième

- .ïn -

ordre, à un couple de points sur C correspond un seul point de S, mais à un point de S répondent, sur C, deiu- couples, situés sur une même droite. La surface S est néanmoins de genre trois.

70. i\ux demi-périodes et aux G3 fonctions r, autres que r,, correspondent, sur S, des points et courbes remarquables.

12 demi-périodes annulent-, et les i 0; il leur correspond 12 droites, concourant en un point 0, qui est triple sur la surface, et répond aux arguments annulant &, etS?,- Aux iG autres demi-périodes annulant r,, correspondent, sur S, iG points doubles, formant une configuration de kummer; aux Sa fonctions Sr, et Cy, telles que le produit ~,r^ ait la caractéristique, mais non la parité, de r, ^.,, correspondent 32 cubiques planes, placées deux par deux dans les 16 plans de la configuration de Kummer précédente, et passant par les six points doubles situés dans leur plan. Enfin aux 3o dernières fonctions r correspondent 3o biquadratiques gauches, passant chacune par huit points doubles et par le point 0.

71. 11 est intéressant d'observer que la surface S se déduit géométriquement, d'une manière très simple, de la surface de Kummer.

Considérons le point 0 et la surface de Kummer qui admet pour points doubles les 16 points doubles de S. Toute sécante issue de 0 coupe la surface en 4 points, qui se répartissent, de trois manières différentes, en deux couples, et les deux couples de chaque groupement déterminent sur la sécante une involution du second ordre, dans laquelle le point 0 a un conjugué, m : le lieu des points m, quand la sécante varie, est la sur/ace S.

Cette construction montre que S admet pour ligne double une cubique plane, intersection de la première polaire et du plan polaire du point 0 par rapport à la surface de Kummer, et aussi que S contient les 12 bitangentes menées de 0 à cette surface: ce sont les 12 droites trouvées plus haut.

72. On arrive ainsi à une représentation géométrique intéressante des G4 fonctions abéliennes normales du premier ordre; la figure obtenue conduit également à des propriétés nouvelles des courbes du quatrième ordre, ou de quatrième classe (59 et 56).