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Soit, en effet, 2 le cùne de quatrième classe circonscrit à la surface (le Kumnier, K, à partir du point 0; ses 28 génératrices doubles sont les 12 bitangentes menées de 0 àK et les 16 droites qui joignent 0 aux points doubles de K. Ces 28 droites, comme on sait, sont situées 12 par 12 sur G'i cônes du troisième ordre, qui sont les cayleyens des G3 systèmes de cônes du second ordre inscrits à S; or, ces G3 cônes, de sommet 0, sont en évidence dans la figure : 3i d'entre eux ont pour base les 32 cubiques planes trouvées sur S; 3o autres ont pour directrices les 3o biquadratiques; le dernier, enfin, a pour base la cubique double de S. De là résultent des propriétés des courbes de quatrième classe, dont voici quelques exemples :

Les 28 points doubles d'une courbe plane, £, de quatrième classe sont, 12 par 12, sur G3 cubiques : ces cubiques peuient se repartir de 33G manières en groupes de trois, de telle sorte que les trois cubiques d'un groupe n'aient aucun point double de Z en commun, et se coupent en trois points situés sur une droite.

Les 28 points doubles de £ sont, (i par G, sur 1008 coniques : ces coniques se répartissent en 33G groupes de trois, de telle sorte que les trois coniques d'un groupe n'aient en commun aucun point double de z, et se coupent en quatre mêmes points.