TRAVAUX DIVERS

114. \ai pluptiil des travaux de cette section portent sur les équatiens diiïérentielles linéaires dont les coeCficients dépendent rationnellement de la variable et qui admettent comme intégrales un ou plusieurs polynômes entiers. Les résultats les plus saillants sont ceux du Mémoire 80, où l'on l'ait connaître, pour un polynôme satisfaisant à une équation dillerentielle du second ordre, des propriétés assez simples, liées ;i la réduction en fractions continues algébriques d'une certaine classe de fonctions; ces propriétés ont été retrouvées plus tard et publiées dans Xn'i Mathematische Annalcn par un géomètre allemand, iM. Heun, qui a reconnu ensuite mes droits de priorité.

115. Le Mémoire 81, dont j'ai dit quelques mots dans l'Avant- Propos, est celui où sont établis des résultats que AL Weierstrass, parait-il, communiquait dans son Cours oral, mais que j'ignorais complètement. Il s'agit de reconnaître si une intégrale abélienne donnée, appartenant à une courbe donnée, est algébrique, problème ancien pour la solution duquel diverses méthodes ont été proposées : ces mélliodes, toutefois, ont l'inconvénient de ne pas fournir sous une forme explicile les conditions nécessaires et suffisantes cherchées; le théorème général suivant, conclusion de mon étude, parait remplir le but assez simplement :

Soient f{x,Y) = <) /'équation d'une courbe algébrique de genre ji; o{x, y) une fonction rationnelle de x,y;

G, , G , G^,, p intégrales abéliennes de première espèce distinctes ;

H|, H, 11,,, ji intégrales de deuxième espèce distinctes, appartenant

à la courbe.

Pour que l'intégrale J'o{x, y) dx se réduise à une fonction rationnelle de X, Y, il faut et il suffit :

I " Que cette intégrale n'ait pas de période polaire ;

1° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales /*5(ir, r) G,(a;) dx soit nulle ;

3° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales f'o(x, y) h, (a;) dx soit également nulle.

II est intéressant d'observer que si l'on suppose rinté2;rale/9(x,y)f/a; décomposée en intégrales de première, seconde et troisième espèces :

Les conditions i** expriment que les intégrales de troisième espèce disparaissent;

Les conditions 2°, que les intégrales de seconde espèce se réduisent à une fonction rationnelle ;

Les conditions 3°, (jue les intégrales de première espèce disparaissent à leur tour.

agoiS Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, 55, quai des Grands-Augustins.

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Humbert, Georges

Notice sur les travaiix scientifiques