H'=AH

On en conclut, à l'aide de la transformation U = -i« . V = r , que

• toute fonction uniforme de U, V aux périodes (i,o), (o, i), (G, H),

(AH, G), est exprimable par un quotient de fonctions uniformes

Q{u,v), qui sont des fonctions thêta, d'ordre X- A. aux périodes (i,o).

(o, i), (~G,H), (H, G), mais non des fonctions thêta quelconques,

- 8(j car elles doivent vérifier la relation

Ces l'oMclions liièta s'obtiennent aisément: et l'on a ainsi la solution complète du premier problème posé. On reconnaît que les fonctions V(ii. v), aux périodes (i. d), (o, i), (g, // ), (h', g') liées par la relation ( i), n'existent que si la quantité

oui;, désignent les parties imaginaires de ^'^ ..., est négative.

1 13. Pour qu'il existe des fonctions *h{ti. c) admettant les périodes (r.o), (o, i), (g;/i), (lt< g'), lorsque //; - g,g\ est positif, je trouve qu'il est nécessaire et suffisant que g, h, g vérifient une relation singulière d ' i n va !• i a n t positif

Â^ -h BA -H y.:g'+\M^I,- — ^g') + E = o.

Si la forme x- + B.rr + (AC + DE) y- p?ut représenter le nombre — I, |)ropriété qui ne dépend que de l'invariant, le système initial de périodes sera éfjuivaleni à un système analogue, pour lequel h] — gtg\ sera négatif; les fonctions abéliennes correspondantes sont alors des fonctions singulières d'invariant convenable, sans particularités spéciales.

Si la forme ci-dessus ne peut représenter — i. les fonctions abéliennes correspondantes s'expriment par des quotients de fonctions lliéta, mais de fonctions thêta non générales, comme au n" 112. Les surfaces byperelliptiquos dérivées de ces fonctions abéliennes ne correspondent, /'omi/>fl'/row/j/p, à aucune courbe de genre deux : it un couple sur la courbe répond bien un point de la surface, mais à un point de la surface répond toujours plus d'un couple sur la courbe. Ces remarques s'appliquent aux fonctions du numéro précédent.