Notice sur les travaux scientifiques de M.J. Boussinesq

ires ou articles ont pour objet l’étude des écoulements fluides, soit bes fins, soit à travers des milieux poreux, tels que les sables, mouvements se font, ou assez lentement, ou contre des parois pour que la vitesse varie graduellement d’un point aux points un instant aux suivants. Il s'agit donc de cas où il ne se produit ins en quantité influente, de ces brusques tourbillonnements, lans les écoulements à travers de grandes sections, qui rendent nts et les frottements mutuels des couches fluides énormément

différents de ce qu’ils seraient si le mouvement vrai de chaque particule se réduisait à la translation générale ou moyenne de cette particule.

Le principe fondamental de l’hydrodynamique consiste à admettre que tout élément de volume d’un fluide, dès que ses déformations d’ensemble cessent de se produire ou dès que son mouvement visible s’arrête, reprend très vite la constitution symétrique interne qui y annule les frottements intérieurs, c’est-à-dire les composantes tanyentielles des pressions. Ces composantes dépendent donc, à chaque instant, de l’état dynamique actuel de l’élément fluide, ou, en d’autres termes, des vitesses relatives des molécules qui le composent, mais non des états dynamiques antérieurs, dont les effets, aussi antérieurs,, se sont effacés successivement et même presque instantanément. Comme les vitesses relatives, dans les mouvements considérés ici, sont tort petites entra particules contiguSs, il est naturel de supposer que les frottements leur sont proportionnels. M. Boussinesq déduit de ce principe, et de l’isotropie évidente

du fluide, o’est-à-dire de la parité de sa constitution dans tous les sens dès qn’on le snppose à l’état de repos, les formules des frottements intérieurs bien connues depuis Navier, et démontrées de diverses manières dans les cours de mécanique appliquée. Mais, de plus que Navier, il observe que le frottement, pour même vitesse relative, ou du moins pour des vitesses relatives comparables, a autant d’intensité près d’une paroi mouUlée, entre la gaine fluide immobilisée par l’adhésion à la paroi et une couche contiguë intérieure, qu’entre deux couches fluides quelconques ; vu que cette force n’est due, dans les deux cas, qu’à des glissements pareils de couches sensiblement analogues. En d’autres termes, tandis que Navier supposait la vitesse, près des parois, brusquement variable de la valeur zéro qu’elle a sur la couche immobilisée à une valeur finie du, même ordre que la vitesse moyenne d’écoulement, M. Boussinesq montre qu'elle doit y varier graduellement comme à l’intérieur. En conséquence, il suppose nulle la vitesse contre la paroi mouillée, dans les mouvements fluides qui sont réguliers, ou non affectés de tourbillons.

Muni de ces équations, il en déduit les lois générales de l’éconlement, soit uniforme, soit même graduellement varié, c’est-à-dire se faisant par filets peu inclinés les uns sur les autres et très peu courbes. Le calcul prouve que, dans tous ces cas, la fente motrice, ou hauteur de charge dépensée par unité du chemin parcouru, égale le produit du coefficient s de frottement intérieur par l’inverse de l’aire de la section normale fluide, par la vitesse moyenne et par un certain nombre , qui est constant pour toutes les sections d’une même forme donnée. Ce nombre, ainsi que le mode de répartition des vitesses entre les divers filets fluides, 's’obtiennent d’ailleurs, par l’intégration, pour une infinité de formes de la section, notamment pour toutes les sections elliptiques et rectangulaires , pour celles qui sont triangulaires équilatérales , etc. M. Émile Mathieu avait, du reste, trouvé avant l’auteur (Comptes-Rendits, 10 août 1863, t. LVII, p. 320) ce mode de répartition pour le plus simple des cas considérés, qui est celui du mouvement uniforme d’un liquide à travers des sections elliptiques. Mais M. Boussinesq, qui ignorait ces recherches de M. E. Mathieu, a, de plus, justifié théoriquement l’hypothèse d’une vitesse insensible contre les parois mouillées, et découvert, soit les lois générales du mouvement uniforme, convenant à toute espèce de section, soit le procédé d’intégration qui rend attaquable le problème des écoulements graduellement variés.

La relation établie entre la pente motrice, l’aire des sections, leur forme et la vitesse moyenne, donne d’abord, et immédiatement, les lois expérimen-

taies, tien connues, du docteur Poiseuüle sur l’écoulement permanent de l’eau le long de tubes capillaires. Le débit, par unité de temps, y est en raison directe de la pente et du carré de l'aire des sections. M. Boussinesq obtient de plus les lois générales de l’état variable qui précède l’établissement de cet état permanent, en supposant du moins que les filets fluides y soient rectilignes et parallèles. D’après l'une de ces lois, le volume total de liquide qui, durant la période d’établissement du régime (et dans l’hypothèse que le fluide remplissant le tube ait été d’abord en repos), coule en moins que si l’état permanent avait existé dès le début, est proportionnel au produit de la pente motrice par le cube des sections.

L’auteur déduit des expériences de Poiseuüle la valeur numérique, pour l’eau, du coefficient e des frottements intérieurs, et il reconnaît que cette valeur, d'ailleurs confirmée par certaines observations de Darcy sur des écoulements assez lents le long de tuyaux polis de quelques centimètres de diamètre, est sans comparaison plus faible que celles qui conviennent pour les écoulements tumultueux observés dans les canaux et les tuyaux d’un ’ certain calibre. Il explique cette différence, si considérable, des frottements dans les deux cas, en remarquant que, bien avant qu’aient pu naître, à l’intérieur de ces canaux et tuyaux, les énormes vitesses qui s’y réaliseraient dans l’hypothèse de la continuité parfaite des mouvements, les ballottements inévitables à l’intérieur de grandes sections , se combinant avec l’effet de la translation générale du fluide pour produire des chocs obliques contre les parois, y font naître des tourbillonnements étendus et des frottements bien plus considérables ; d’où suit un régime tout différent de celui qui s’établit dans les mouvements appelés ici réguliers ou bien continus (voir, ci-après, les N“ 12, 13, 14, p. 16).

La même relation générale entre les pentes, les vitesses moyennes, la forme et l’aire des sections, régit aussi les mouvements lents des eaux d’ihfiltration du sol à travers les tubes irréguliers que forment les interstices des grains de sable composant les terrains perméables. L’auteur en déduit que, pouf des couches de terrain d’un degré moyen donné de compacité et de finesse remplissant un tuyau ou un canal, la vitesse moyenne est simplement proportionnelle à la pente motrice. Dupuit avait déjà édifié, sur cette loi fondamentale, la théorie du régime permanent de ces eaux d’infiltration. Mais il restait à étudier leurs régimes non permanents : c’est ce qu’a fait M. Boussinesq. Il a reconnu, par exemple, que les crues ou gonflements des eaux souterraines, coulant sur un sous-sol imperméable.

se propagent en général avec une petite vitesse, sensiblement constante, proportionnelle à la pente du sous-sol, et que plusieurs gonflements, produits à la fois en divers points, ou successivement en un même endroit, se fondent peu à peu en un seul, d’après une loi qui est analogue à la manière dont s’effacent des inégalités de température existant initialement en diflférentes parties d’une longue barre.

Enfin ,,la même relation, propre aux écoulements bien continus et graduellement variés, entre la vitesse moyenne, la pente motrice en chaque point, etc.,s’applique aux gaz, pour des variations étendues de la pression et de la densité. L’auteur, observant que ces corps se dilatent d’après la loi de Mariette, ou conservent sensiblement la température ambiante, lorsqu’ils ne cessent pas d’être en contact avec des parois solides, en déduit les lois, découvertes par Graham, de leur le long des tubes

de petit diamètre. Il explique aussi, en partant d’hypothèses naturelles et très simples, la diffusion des gaz observée par le même Graham, M. Exner, etc., consistant dans leur passage à travers un corps à pores imperceptibles.

Passant à des mouvements permanents pins compliqués que ceux qui se font par filets presque rectilignes, M. Boussinesq a étudié l’écoulement, supposé encore bien continu, d’un liquidé dans un tube à axe courbe, en supposant que cet écoulement se soit réglé de manière à présenter les mêmes circonstances dans toutes les sections normales à l’axe, et en admettant d’ailleurs, pour rendre les intégrations possibles, que ces sections soient des rectangles ayant’leur base (horizontale) parallèle au plan de l’axe et beaucoup plus petite ou beaucoup plus grande que leur hauteur (.verticale). C’est la première fois, et jusqu’ici la seule, où l’analyse ait été appliquée à des questions de cet ordre. L’auteur trouve que, pour les sections d’une grande hauteur relative, les filets fluides sont sensiblement circulaires et oonax’iques. Au contraire, pour les sections-beaucoup plus larges que hautes, ce sont des sortes d’hélices irrégulières, disposées symétriquement, les unes, d’un côté du plan horizontal mené suivant l’axe circulaire du tube, les autres de l’autre côté. En effet, les particules fluides, voisines de ce plan moyen et animées des vitesses les plus grandes , sont jetées par la force centrifuge vers le bord extérieur ou concave, jusqu’à ce que, s’étant en même temps suffisamment écartées de ce même plan de l’axe et ayant perdu nne certaine partie de leur vitesse, elles reviennent peu à peu vers le bord intérieur ou convexe , en continuant d’ailleurs à s’éloigner du plan horizontal moyen pour ne s’en

rapprocher que tout près du bord convexe et recommencer un trajet pareil. M. Boussinesq a pu calculer, dans l’hypothèse de la parfaite continuité des vitesses, les circonstances qui se présentent aux divers points de l’intérieur des sections, le débit total de fluide, la perte de charge due à la courbure,

4. — Théorie de Vintumescence liquide appelée onde solitaire cru, de translation , se propageant dans un canal rectangulaire.

5. Théorie générale des mouvements qui sont propagés le long d’un canal

rectangulaire horizontal, et dont l'amplitude est sensiblement la même de la surface au fond.

(CompteB-Rendus, 24 juillet 18H, t. LXXIII, p. 256.)

6, Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal, et dont l’amplitude est sensiblement pareille de la surface au fond.

Ces diverses recherches concernent la classe la plus simple des mouvements que présentent les liquides pesants, contenus dans des bassins découverts à fond horizontal ou peu incliné. Le type en-est fourni par le gonflement, ou onde positive, qui se forme à l’entrée d’un canal de grande longueur et à section rectangulaire contenant une eau en repos, quand on y fait tomber brusquement du dehors un volume modéré de liquide. A partir de l’entrée , ce gonflemenl, appelé onde solitaire, se propage indéfiniment le long du canal, en prenant bientôt une forme parfaitement déterminée , qui est celle d’un simple bourrelet allongé dont les deux moitiés d’avant et d’arrière sont symétriques l’une de l’autre, et qui persiste tant que les parties du canal envahies par l’onde sont de largeur et de profondeur

constantes, en ne s’abaissant, sous l’influênce des frottements , qu’avec une grande lenteur ou après de longs trajets. La vitesse apparente de transport de ce bourrelet égale , à chaque instant, la vitesse effective qu'acquerrait, en chute libre, un corps tombant d’une hauteur égale à la demi-distance qu’il J a. du sommet de l'onde au fond du canal. Mais la même classe de mouvements comprend bien d’autres phénomènes , d’apparence un peu moins régulière. Ce sont : 1" la propagation des ondes négatives, durassions obtenues, à l'entrée du même canal, par un enlèvement brusque de liquide, c’est-à-dire par un abaissement et non plus un rehaussement du niveau; 2" la marche et la forme des tètes des remous indéfinis, positifs ou négatifs , gonflements ou dépressions que produit une introduction ou un enlèvement continus de liquide à l’entrée ; 3“ la progression de tout système indéfini de vagues, très longues par rapport à la profondeur d’eau, pourvu que le mouvement qu’elles apportent à chaque molécule soit de sens alternativement contraires et peu ou point translatoire ; 4" les oscillations d’ensemble de la masse fluide contenue dans un bassin beaucoup plus étendu que profond (seiches des lacs); etc. Le caractère commun de tous ces phénomènes consiste en ce que la composante verticale des mouvements y est, à une première approximation, négligeable devant leur composante horizontale ; circonstance d’où il résulte que la pression varie presque hydrostatiquement, aux divers points d’une même verticale, et queles accélérations dans les sens horizontaux, provenant principalement de la pente de la surface, sont presque les mêmes en ces points, ainsi, par suite, que les composantes horizontales de vitesses engendrées dans des temps assez courts pour ne pas donner trop de prise à l’influence des frottements du fond ou des bords.

On ne connaissait théoriquement, sur tous ces phénomènes, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d’après laquelle la vitesse de propagation, le long d’un canal, des ondes considérées, devait différer peu de la vitesse acquise en chute libre par un mobile tombant d’une hauteur égale à la deiqj-profondeur primitive du liquide. Lagrange avait même obtenu cette loi dans l’hypothèse d’une profondeur infiniment petite, sans dégager d’une manière nette le sens concret d’une telle expression. Divers efforts, tentés notamment par MM. Earnshaw et Stokes, pour expliquer Fonde solitaire, avaient entièrement échoué. Or, M. Boussinesq, après avoir fixé le véritable caractère, qu’on vient d’énoncer, des phénomènes dont il s’agit, a pu, non-seulement rendre compte de la formation et de la régularisation rapide de cette onde, donner sa vitesse exacte de

propagation et Méquation de sa coupe longitudinale (oonrie dont l’ordonnée, abaissée sur son asymptote, est proportionnelle au produit des deux parties en lesquelles elle divise l’aire totale comprise entre cette asymptote et la courbe), ainsi que déterminer les trajectoires paraboliques (à axe vertical dirigé vers le bas ) qu’y décrivent les molécules liquides ;

mais il a, de plus, retrouvé par la même analyse, déduite presque immédiatement et rationnellement des équations classiques de l’bydrodynamique, les détails les plus minutieux que présente la propagation bien moins simple des ondes négatives, des longues intumescences limitées , des remous indéfinis , etc. Il donne, par exemple , une explication complète de la formation de l’orada initiale ou tête d’un remous, observée par M. Bazin, sorte de saillie qui marche en avant des longues intumescences, et il a trouvé, par le calcul, à cette tête, une hauteur conforme à ce que les expériences ont appris. L’auteur montre également, sur l’exemple de longues ondes de petite courbure, comment, dans les canaux à section non-rectangulaire, les variations de la largeur à fleur d’eau influent sur les vitesses de propagation, etc. Après avoir évalué l’énergie d’un système quelconque d’ondes, c’est-à-dire le travail total qu’il faudrait dépenser pour les faire naître, et qui égale le produit du poids de l’unité de volume fluide par l’aire de la surface libre agitée et par la valeur moyenne du carré de sa dénivellation, il a pu aussi, sans introduire aucune nouvelle hypothèse, trouver de quelle manière elles se transforment le long d’un canal de largeur et de profondeur graduellement variables ; comment, en particulier, la hauteur d’une onde solitaire et l’inverse de son volume croissent dans les parties rétrécies ou à fond exhaussé, diminuent au contraire dans les parties où la largeur et la profondeur vont en augmentant : ce qui explique les mascarets.

Enfin, admettant la continuité parfaite des mouvements, même au fond du canal, M. Boussinesq étudie encore l’influence des frottements sur ces ondes, influence qui, négligeable pendant un temps restreint ou sur les phénomènes de propagation produits entre deux sections peu distantes, n’en a pas moins pour effet de transformer et d'user à la longue le mouvement. Cette action des frottements, dans les ondes dont il s’agit, s’exerce surtout près des parois, là où il y a des glissements considérables entre les couches fluides comprises depuis celle qui est immobilisée par adhésion contre la paroi jusqu’à une autre peu distante, qui possède le mouvement même (ou complet) des molécules intérieures. La vitesse y varie, d’une couche à l’autre, comme fout les températures aux divers points de l’épaisseur d’un mur dont une face est à température constante et l’autre à une température variable donnée. Il en résulte des pertes compliquées d’énergie, changeantes, d’une onde à l’autre , avec leur forme et leurs dimensions dont dépend la suite des vitesses produites à l’intérieur d’une section déterminée du canal. Toutefois, des lois simples, concernant l’extinction graduelle des vagues, sé dégagent, quand il est question soit d’une onde solitaire. soit d’un système d’ondes périodiques avec mouvements sensiblement pendulaires ; et ces dernières lois s’étendent aisément, tant aux oscillations de l’eau dans un siphon renversé, qu’aux ondes qui se propagent le long d’un tuyau en caoutchouc plein de liquide, ondes intéressantes, observées et utilisées par M. Marey, puis étudiées par M. Resal qui en a donné la théorie mathématique. Leur grosseur, et l’amplitude des mouvements longitudinaux qu’elles apportent, se réduisent à une fraction donnée de leurs valeurs initiales, après des trajets ou au bout de temps proportionnels à la racine carrée de la longueur d’onde. L’analyse de M. Boussinesq fournit tous ces résultats.

8. — Théorie de la houle et du clapotis. — Sur l'action du frottement intérieur des fluides dans le phénomène des ondes.

'i.—Evaluation de l’énergie employée à produire un ou plusieurs systèmes d:ondes liquides périodiques et du travail des résistances passives qui s’opposent au mo-avement et finissent par ramener au repos toute la

■ Les phénomènes étudiés dans ces mémoires se distinguent des précédents, m ce que les composantes verticales des mouvements y sont comparables à leurs composantes horizontales. Ils en diffèrent aussi, en ce qu’ils consistent tous en des déplacements restreints des particules fluides de part et d’autre de certaines situations moyennes fixes, ou en ce qu’ils ne comprennent aucune onde de translation , c’est-à-dire produisant un transport effectif de fluide, comme fait, par exemple, une onde limitée, positive ou négative. Les plus simples, dont se composent tous les autres,^consistent, à une première approximation, en des oscillations rectilignes pendulaires et synchrones, de directions différentes ou même opposées pour les diverses molécules, produisant sur place des élévations et des abaissements alternatifs de la snrfaoe libre : ce sont des clapotis. La superposition de deux clapotis cylindriques égaux, mais dont l’un est en retard sur l’autre d’un quart d’oscillation complète et a ses noeuds en coïncidence avec les ventres de l’autre, donne naissance, comme M. Boussinesq l’a reconnu, à une HOULE , système Sondes courantes où les molécules décrivent d’un mouvement continu des orbites elliptiques, dans des plans verticaux tous parallèles, et où la surface libre, de forme trocboïdale, progresse horizontalement dans le sens de ces plans avec une vitesse de propagation constante.

Laplace et Poisson avaient, depuis longtemps déjà, exprimé analytiquement les plus simples des clapotis , et Gerstner, MM. Kelland , Stokes , (auteurs dont M. Boussinesq ignorait le.s travaux lorsqu’il composa ses premiers mémoires sur les ondes) avaient aussi obtenu les lois les plus générales d’une houle simple ; mais, à part Gerstner , qui s’est occupé seulement d’une houle à la surface d’une eau dont la profondeur puisse être supposée infinie , tous ces géomètres s’étaient bornés à une première approximation, c’est-à-dire avaient négligé les carrés et les produits des excursions (supposées purement périodiques) des molécules. M.Boussinesqa démontré de plus qu’eux cette loi, que pour une houle ou un clapotis simples, les trois composantes du déplacement moléculaire ou celles de la vitesse égalent, même à une deuxième approximation, les trois dérivées respectives d’un certain potentiel 9 par rapport à trois coordonnées prises pour variables indépendantes, pourvu que ces coordonnées soient, par exemple, celles de la situation moyenne des molécules , ou encore leurs coordonnées primitives de repos, mais non les coordonnées actuelles (comme l’avait supposé M. Stokes). Grâce à l’existence dece potentiel, il a pu donner une deuxième approximation des lois d’une houle simple et d’un clapotis cylindrique, reconnaître, à ce degré d’approximation,

que , pour une longueur d’onde donnée , la durée de la période d’un clapotis ou la vitesse de propagation d’une houle ne dépendent pas de la hauteur des ondes; que , dans un clapotis formé au sein d’une eau assez profonde pour que les mouvements, au fond, restent insensibles, les trajfeotoires des molécules sont des arcs de parabole à axe vertical, légèrement concaves vers en haut ; que la surface y prend à chaque instant la même forme trochoïdale que dans une houle de même longueur d’onde, etc.

11 prouve également que, dans toule houle (même quand les mouvements sont très sensibles au fond, cas non-considéré par Gerstner), la situation moyenne d’une molécule est, au-dessus de sa situation de repos, à une hauteur dont le produit par la longueur d’onde vaut l’aire de l’orbite que décrit la molécule, et il trouve aussi que cette aire, pour les molécules de la surface, égale le rapport de l’énergie d’une vague (par unité de largeur) au produit de la densité du fluide et du carré de la vitesse de propagation des vagues. Il démontre encore ;

1“ Que les lois de Gerstner, sur une houle assez courte pour que les mouvements au fond soient insensibles, s’étendent au cas d’un fluide composé de couches superposées inégalement denses et même compressibles, comme est l’atmosphère ;

2“ Que, dans un liquide homogène, éprouvant une agitation décomposable en clapotis quelconques, la fonction des deux coordonnées horizontales qui exprime à un moment donné l’ordonnée verticale de la surface libre, et la dérivée, au même instant, de cette fonction par rapport au temps, suffisent pour définir ou déterminer la suite des états de la masse fluide entière, pourvu que toutes les parois limitant le liquide soient fixes et que la pression reste constante à la surface ;

3“ Que , dans une houle assez haute, propagée au sein d’une eau d’une certaine profondeur, l’influence des frottements sur les formes des trajectoires, devenue sensible , consiste, d’une part, à rendre l’axe horizontal des orbites moins rapidement décroissant, de la surface au fond et, d’autre part, à augmenter le rapport des axes verticaux de toutes ces orbites à leurs axes horizontaux, qui peuvent ainsi, près de la surface, cesser d’être les plus grands ;

4“ Que, dans les cas ordinaires où les frottements n’ont guère pour effet que d’user à la longue les vagues sans modifier leurs lois, chaque houle ou clapotis décroît peu à peu comme s’il était seul, et d’autant plus vite que sa longueur d’onde est plus courte ;

. 5° Que, notamment, dans une eau profonde, des houles ou clapotis de même hauteur initiale et d’abord superposés deviennent insensibles au bout de temps proportionnels aux carrés de leurs longueurs d’onde, m sorte que les plus longues vagues ne tardent guère à persister seules ou à se dégager des autres. Elles s’en dégageraient moins vite dans une eau dont la profondeur ne serait qu’une petite fraction des longueurs d'onde, vu que des décroissements relatifs donnés se produiraient alors au bout de temps proportionnels à la racine carrée seulement de ces longueurs ; etc.

M. Stokes, en 1851, s’était occupé déjà de l’extinction graduelle des houles propagées en eau profonde. Mais l’illustre correspondant de l’Académie des sciences a trouvé un coefficient d’extinction double du vrai, parce qu’il a négligé de compter dans l’énergie totale d’une boule son énergie potentielle, travail que produirait la pesanteur si le fluide des convexités venait à remplir les creux, et qui égale justement la demi-force vive, ou énergie actuelle , la seule que M. Stokes ait évaluée (1).

Enfin, M. Boussinesq a résolu rationnellement, de même que pour l’onde solitaire, l’intéressant problème de la transformation qu’éprouve une boule simple, de période donnée, quand elle se propage le long d’un canal dont la largeur et la profondeur varient. U a , pour cela, appliqué le principe du travail, pendant un instant infiniment petit., à la masse fluide que comprennent , au commencement de cet instant, deux sections normales, séparées par un certain nombre entier d’ondes, et sur lesquelles le niveau fluide soit à fort peu près le niveau primitif d’équilibre. Mais, vu que ces sections doivent être supposées participer au mouvement apparent des ondes, il ajoute à la variation trouvée de l’énergie totale ce qui provient du fluide ainsi gagné ou perdu, d’un instant à l’autre, par la masse comprise entre les deux plans ; et, en intégrant pour toute la durée d’une période, il obtient la différence d’énergie de deux vagues contiguës aux deux sections, ainsi, par suite, que les changements de hauteur et de forme éprouvés par l’une d’elles durant sa propagation jusqu’à la place qu’occupe l’autre. Quand on fait abstraction des frottements, cette énergie est constante pour chaque vague entière (et le produit de la surface de la vague par le carré de sa hauteur reste invariable) dans les cas, particulièrement intéressants, d’une boule à ondes ou très longues, ou assez courtes, et dans celui d’une profondeur constante. La même énergie

de chaque vague varie d’après une loi fort simple dans les autres cas. Mais l’extinction graduelle due aux frottements se calcule également sans grandes complications, quand on fait l'hypothèse, ici très admissible, de la continuité parfaite des vitesses d’un point aux points voisins, même près du fond et des bords.

M. Airy, dont le mémoire de 1845 sur les Marées et vagues a été traduit par M. Paul Guieysse dans le Jowrnal de Mathématiques de 1875 , avait déjà cherché comment se transforme une houle le long d’un canal de largeur et de profondeur variables. Mais il ne l’avait fait qu’au moyen d’une hypothèse, consistant à introduire certaines forces horizontales fictives , supposées appliquées du dehors aux diverses molécules- fluides, et dont il dispose de manière à conserver aux expressions des déplacements les formes les plus simples. Aussi, quoiqu’il corrige autant que possible l’inexactitude de cette hypothèse en supposant nulle la valeur moyenne des forces fictives dans toute l’étendue de .chaque section, ses résultats généraux , d’ailleurs fort compliqués , sont-ils tout différents de ceux que donne l’application pure et simple du principe des forces vives. Il n’y a accord que dans les deux cas particuliers d’une houle à très longues vagues et d’une profondeur constante, pour lesquels les forces fictives se trouvent, sur chaque section, ne pas différer (du moins sensiblement) de leur moyenne nulle.

L’hydrodynamique rationnelle n’avait donné jusqu’à ce jour^ touchant l’écoulement des fluides par des orifices percés dans de minces parois planes, que la loi de Torricelli ou de Daniel Bernoulli, relative à la vitesse qui se produit, un peu en dehors de l’orifice, à travers la section dite contractée. Elle était restée absolument muette sur la grandeur du débit et sur les autres circonstances de l’écoulement. M. Boussinesq, observant que le frottement n’a dans ces phénomènes qu’une influence négligeable (puisqu’il n’y réduit pas sensiblement la -vitesse), forme aisément leurs équations différentielles, tant pour l’intérieur du réservoir que pour les divers points de la

importantes. Par exemple, quand les dimensions de la masse fluide contenue dans4e réservoir sont notablement plus grandes que celles de l’orifice, les formes des filets fluides et de la veine, ainsi que le coefficient dit de contraction ou de défense, deviennent indépendants tant de la charge que de la grandeur absolue de l’orifice. S’il s’agit, en particulier, de divers gaz qui s’écoulent dans le vide sans gain ni perte de chaleur, et dont les deux capacités calorifiques aient entre elles un même rapport constant, leurs vitesses d’écoulement sont indépendantes de la pression ou hauteur de charge et en raison inverse de la racine carrée de leurs densités spéci-

II démontre ensuite que, dans l’hypothèse d’un orifice dont les dimensions sont petites par rapport à celles de la masse fluide que contient le réservoir, il suffirait de connaître le débit effectif fourni par les diverses parties de l’orifice, pour en déduire toutes les vitesses produites dans le fluide intérieur au réservoir. 11 prouve , en effet, que la .vitesse animant chaque particule de ce fluide intérieur est représentée, en grandeur et en direction, par Vattraction neutonienne qu'y exercerait, sur l'unité de masse, une couche fictive de matière , recouvrant tout l’orifice et répartie entre les diverses régions de ce dernier comme l'est le déhit lui-même. De cette loi, et du fait que la vitesse est partout finie, M. Boussinesq déduit que le débit par unité d’aire, en chaque point de l’orifice , est une fonction qui s’annule sur le contour de ce dernier. Des considérations plausibles lui montrent qu’elle s’annule également au centre de l’orifice, à cause des réactions centrifuges développées par les filets qui, venus des bords, se recourbent à la sortie. En joignant ces deux relations à celle qui exprime que la vitesse sur le contour de l’orifice égale, d’après le principe de D. Bernoulli, la racine carrée du produit de 2 ÿ par la hauteur de charge, il a trois conditions auxquelles doit satisfaire le mode de répartition du débit entre les divers éléments de l’orifice, et il lui suffit d’attribuer à ce mode de répartition les expressions analytiques les plus simples qui les vérifient, pour arriver, dans les deux cas principaux d’un orifice rectangulaire allongé et d’un orifice circulaire , à deux coefficients de contraction ou de débit, 0,628 et 0,657 , bien d’accord avec celui 0,62, de l’expérience, vu que les frottements doivent les réduire un peu, surtout le second. L’auteur peut traiter encore des cas où l’orifice est multiple, d’antres où il est voisin de parois normales à son plan ; etc.