Sur les tourbillons liquides à axe vertical

Les mouvements tournants des fluides pesants, autour d’un axe de symétrie vertical, sont de deux sortes, suivant qu’ils accompagnent l’écoulement, sous d’assez petites charges, d’un fluide hors d’un réservoir, par un orifice percé dans sa partie inférieure , ou suivant qu’ils sont produits par deux courants opposés et voisins, imprimant des vitesses inverses à une masse fluide intermédiaire. Le frottement n’a qu’un rôle secondaire dans les premiers, où domine l'action de la pesanteur, tandis qu’il transmet seul le mouvement dans les seconds, dont le type est constitué par le cas d’un cylindre solide,.creux et vertical, plongé daas un liquide, et animé autour de son axe d’un mouvement uniforme de rotation qui se communique peu à peu au fluide tant intérieur qu’extérieur.

Ces phénomènes ne sont encore abordables à l’analyse qu’aux endroits où les mouvements se réduisent presque à des rotations autour de l’axe de symétrie. M. Svanberg, de Stockholm, avait déjà reconnu que, dans les tourbillons de la première espèce, la vitesse, à l’état permanent, est en raison inverse de la distance à l’axe, conformément à une loi expérimentale découverte par Léonard de Vinci. M. De Saint-Venant, en rectifiant un calcul doublement inexact de Newton, avait trouvé que la même loi régit également ceux de la seconde espèce, parvenus aussi à l’état permanent, et pour ce qui concerne la masse fluide extérieure au cylindre moteur. M. Boussinesq a, de plus, déterminé la forme delà surface libre, sorte d’entonnoir, dont le demiméridien est concave vers en bas et tel, que l’enfoncement éprouvé par chaque couche annulaire, au-dessous du niveau d’équilibre, égale la hauteur de chute correspondant à la vitesse effective de la couche. En outre, il démontre que , si le tourbillon pouvait se régler jusqu’à une distance infinie de l’axe, il posséderait une énergie potentielle finie, mais une énergie actuelle infinie , etc. Il donne enfin, au moins pour les cas les plus simples, les intégrales de l’état non-permanent qui se produit quand le tourbillon n’a pas le temps de se régler, etc.

12. — Essai théorique sur Us lois trouvées expérimentaUment far MM- Darey et Bazin,pour l’écoulement uniforme de l’eau dans les canaux.

(Comples-Rendus, 29 aodl 1810, t. LXXI, p. 889. )

13. — Sur le mouvement permanent varié de l’eau dans les canaux découverts et dans les tuyaux de conduite.

14. — De l’influence des forces centrifuges sur l'écoulement de l’eau dans les canaux prismatiques de grande largeur.

Ces trois mémoires ou notes ont été la préparation à celui de l’article 15 [Essai sur la théorie des eaux courantes), qui même, dans ses chapitres, les reproduit avec développements.

Les phénomènes d’écoulement que l’auteur y traite , sont en effet, les plus importants de l’hydraulique. Ils n’avaient présenté , jusqu’à la publication de ces études, qu’une désespérante énigme , suivantle mot du rapporteur éminent, à l’Académie , de VEssai sur la théorie des eaux courantes, M. de Saint-Venant, bien d’accord en cela avec les savants expérimentateurs Darcy etM. Bazin, Ceux-ci. en Recherches hydrauliques

publiées en 1865, avaient jugé que « l’obscurité de ces questions augmentait à mesure que des observations plus précises semblaient devoir y jeter plus de lumière ».

La difficulté, comme l’avait remarqué M. de Saint-Venant dès 1851, était surtout d’exprimer , dans une analyse où les géomètres n’avaient su introduire que des vitesses et des pressions variant d’une manière parfaitement régulière et continue de chaque point aux points très proches et de chaque instant aux suivants, l’influence dynamique prédominante des changements rapides et irréguliers qu’éprouvent la vitesse et les pressions aux divers points d’une grande masse fluide qui s’écoule. A pet effet, M. Boussinesq distingue d’abord deux parties dans la vitesse des molécules qui passent successivement par un point donné. La première, correspondant

à la translation générale de ces niolécules , n’est autre oliose que la moyenne, dite locale, des vitesses efiectives qui se produisent à l’endroit considéré pendant un temps assez court : elle se trouve , des deux parties, la plus grande, mais celle qui a les dérivées les plus petites (vu qu’elle varie graduellement, tant d’un instant à l’autre que d’un point & l’autre), et eUe est la seule qui intéresse l’hydraulioien, la seule qu’on puisse, jusqu’ici, introduire explicitement dans les formules. Quant à la seconde partie, dont l’existence s’aperçoit à simple vue, mais dont la valeur moyenne, pendant un temps assez court, est nuUe en chaque endroit, elle constitue Y agitation ia. fluide, c’est-à-dire un mouvement qui, s’il était seul, produirait partout de grandes déformations accidentelles, des glissements locaux de sens divers, sans translation générale dans aucune région. M. Boussinesq démontre que toutes les formules usuelles de l’hydrodynamique, et même celles de Navier qui tiennent compte des frottements intérieurs, s’appliquent quand on fait abstraction de cette dernière partie, ou quand on réduit les vitesses à leurs moyennes locales, pourvu qu’on attribue au coefficient des frottements intérieurs c (appelé bien à tort coefficient de viscosité) une valeur énormément supérieure à celle qui convient pour les mouvements tout-à-fait réguliers comme ceux qui ont lieu dans les tubes capillaires : et cette valeur bien plus grande de t varie Æun point à Vautre, au lien d’être constante comme dans les équations de Navier ; car eUe dépend, en chaque endroit, de Xagitation qui y règne.

D’ailleurs, l’agitation dont il s’agit provient des tourbillons que fait naître sans cesse, au contact et sous le choc des parois (surtout quand elles sont rugueuses), l’action combinée de la vitesse translatoire du fluide contigu et des mouvements de ballottement transversal rendus possibles par l’ampleur des sections. A partir des parois, l’agitation tourbillonnaire se propage vers l’intérieur, en y augmentant d’intensité quand elle se concentre, c’est-à-dire quand le contour de la section est concave, en restant au contraire sensiblement la même quand la section est limitée sur une grande étendue par un bord rectiligne ; etc. Le coefficient e croît donc, en définitive : 1“ avec Y ampleur des sections, mesurée par la partie de leur aire qui correspond à l’unité de leur contour mouillé ; 2“ avec la moyenne des vitesses produites à la paroi ; 3° avec le degré de concentration de l’agitation à partir du contour jusqu’au point considéré, degré égal à un dans une section rectangulaire large, à l’invêrse du rapport des distances au centre dans une section circulaire, et généralement, pour toute forme des

sections, à une certaine fonction des coordonnées transversales ; 4“ enfin, avec le nombre et la grandeur des rugosités des parois , sans que, toutefois , £ cesse d’être sensible même quand les parois sont très polies. L’auteur, choisissant naturellement la forme la plus simple possible dans ces conditions, prends proportionnel aux trois premiers des éléments énumérés, dont chacun le ferait s’annuler à fort peu près s’il décroissait jusqu’à zéro.; et il le suppose en outre proportionnel à un coefficient, constant pour un certain degré de poli des parois, mais variable en sens inverse de ce degré. Des considérations analogues le conduisent à prendre, pour mesure du frottement extérieur exercé sur une paroi par le fluide contigu, le produit de la vitesse de celui-ci par le nombre des molécules qui passent devant la paroi durant l’imité de temps, nombre proportionnel à la vitesse même, et par un coefficient dépendant, comme le précédent, de l’état de poli des parois, mais croissant encore plus vite que ce coefficient de frottement intérieur quand le degré de rugosité augmente.

Avec ces données, et en supposant d’ailleurs le frottement insensible sur les surfaces libres, le problème de l’écoulement n’est plus qu’une question de calcul intégral, parfaitement attaquable, non-seulement dans le cas d’un régime uniforme, mais même, par une méthode d’approximations successives due à l’auteur et où rien n’est laissé à l’arhitraire, quand le mouvement se trouve graduellement varié, c’est-à-dire quand les filets fluides, très peu courbes , font entre eux de petits angles , ou que la vitesse moyenne et l’aire de la section normale varient assez lentement, soit d’un endroit à l’autre, soit d’un instant à l’autre, en ayant leurs dérivées d’ordre supérieur encore moins sensibles. Les lois ainsi exprimées sont, pour le régime uniforme, simples, et d’accord, en ce qui concerne tant les débits que la répartition des vitesses aux divers points des sections, avec toutes les expériences précises que l’on possède sur les grands écoulements par les tuyaux et par les canaux découverts : la pente motrice, notamment, y est proportioimelle au carré de la vitesse moyenne, à l’inverse du rayon moyen (quotient de l’aire de la section par son contour mouillé) et à un coefficient dépendant du degré de poli des parois et aussi, dans une mesure restreinte, de la forme des sections, coefficient qui grandit lorsque les parois deviennent plus rugueuses ou que la forme des sections s’éloigne de celle du cercle. Quant aux lois du régime varié , permanent ou non-permanent, comme elles sont également déduites, pour la première fois , d’une analyse toute rationnelle, il n'y est pas uniquement tenu compte des corrections qu’introduit, dans les termes

exprimant les inerties, l’inégaUté de vitesse des filets fluides, comme Coriolis avait essayé de le faire pour le mouvement permanent ; car un curieux artifice de calcul permet d’y exprimer aussi, et très simplement, les vitesses à la paroi en fonction de la vitesse moyenne, iMme quand le mouvement est varié, et d’obtenir par suite, dans la formule usuelle du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne, la partie qui dépend de la non-uniformité du régime. Il en résulte, en particulier, une équation du mouveinent permanent corrigée de deux erreurs entachant la formule usuelle due à Coriolis ; erreurs qui, bien que de signe contraire ’, sont loin de se détruire, et ne se neutraliseraient que dans des mouvements bien continus avec vitesse nulle aux parois, etc.

Les mêmes procédés d’intégration s’appliquent aussi, quoique moins exactement, à des mouvements qui, sans être graduellement variés, à cause des petites courbures sensibles que les filets fluides y prennent, ressemblent cependant aux mouvements graduellement variés sous les autres rapports, c’esLà-dire en ce que ces filets fluides sont encore peu inclinés les uns par rapport aux autres et que les dérivées de la vitesse moyenne et de la section sont assez faibles. Les équations pour ces cas-là ont une forme simple quand on remplace les vitesses des divers filets par leur moyenne, dans les petits termes provenant de la variation du mouvement ; et elles suffisent, dans la plupart des circonstances où la formule des mouvements graduellement variés serait en défaut; par exemple, aux endroits et aux instants où un régime graduellement varié commence à s'établir ou commence à se dAt'ruire rapidement dans un cours d’eau.

L’auteur a))plique ces diverses équations générales à un grand nombre de problèmes intéressants, dont plusieurs étaient réputés inabordables. Citons, pour ne parler que du mouvement permanent dans les canaux prismatiques, l’étude des circonstances qu’y présentent l’établissement et la destruction d’un régime uniforme ou, plus généralement, d’un régime graduellement varié, le calcul de la forme,des ressauts, tantôt simples, tantôt ondulés, qui se produisent dans les cours d’eau torrentueux, aux endroits, situés un peu eu amont des barrages, où la surface se relève et où la profondeur augmente rapidement, etc. Toutes ces circonstances sont confirmées par l’observation. Citons encore la mise en compte de frottements extérieurs considérables, dépendant de la non-uniformité du mouvement, dans l’évaluation des pertes de charge produites par un brusque épanouissement des. filets fiuides qui remplissent un tuyau ou que limite un ht découvert.

L’introduction de ces frottements, qui, dus en partie à des contre-courants dirigés d’aval en amont, tantôt aident et tantôt contrarient en somme l’écoulement général, conduit théoriquement au véritable coefficient de débit des ajutages cylindriques , 0,82 , au lieu de 0,85 qu’on trouve d’ordinaire par l’application du principe de Borda.