Sur les lignes de faite et de thalweg

Ces articles sont consacrés à l’étude de divers caractères géométriques, remarquables, que l’action des eaux courantes a imprimés à la surface terrestre. L’auteur y définit les lignes de thalweg et de faite des faisceaux étroits de lignes de plus grande pente, dont quelques unes (suivies en descendant) se séparent du faisceau à droite et à gauche, sur tout son parcours., s’il s’agit d’un faîte, ou viennent, au contraire, s’y réunir, s’il s’agit d’un thalweg. Il appelle hassin, le lieu des lignes de plus grande pente,qui aboutissent à une même dépression du sol, versant, le lieu des lignes de plus grande pente qui se détachent supérieurement d’un même faîte pour aboutir inférieurement à uq même thalweg; etc. — Il démontre que, tout près de chaque faîte ou thalweg et du côté vers lequel le faîte ou thalweg tourne (en projection horizontale) sa convexité, il existe une oourbe en tous les points de laquelle les lignes de plus grande pente qui y passent ont leur plan osoulateur vertical et où la pente de la surface est moindre qu’aux points voisins situés au même niveau. M. de Saint- Venant avait déjà, en 1852, considéré les lignes qui jouissent de cette dernière propriété, d’où ü avait déduit leur équation ; et M. Breton de Champ avait reconnu, en 1870, qu’elles ne pouvaient coïncider avec les faîtes ou les thalwegs qu’autant que ceux-ci ont leur projection horizontale rectiligne. L’auteur a dégagé le premier la propriété générale qui, de ces ligues des déclivités minima, et d’autres lignes analogues, dites des déclivités maxima , intercalées entre les précédentes, fait les lieux des points d’inflexion des lignes de plus grande pente : il a reconnu, aussi, qu’en tous les points de ces courbes des déclivités maxima ou minima les lignes de courbure de la surface sont respectivement tangentes à celles de niveau et de plus grande pente ; etc.

88. — Sur les rapports de Vasymptote rectiligne d'urne hranche de courbe avec les tangentes à cette branche de courbe.

L’auteur, appelant æ et y les deux coordonnées d’un point d’une branche infinie de courbe plane , compare les accroissements qu’éprouvent les deux fonctions quand on y fait croître la variable indépendante x depuis une valeur déjà fort grande jusqu’à une autre incomparablement plus grande encore. En exprimant que le rapport de ces deux accroissements égale, d’après un théorème classique de Cauchy, le rapport de leurs dérivées,ÿ—œy',pris pour une valeur intermédiaire deæ, il montre que, toutes les fois que l’ordonnée (à l’origine) de la tangente tend vers une limite à mesure que le point s’éloigne, la tangente tend auSsi vers une limite, asymptote à la courbe. Mais, si à l’inverse, il y a une asymptote, la suite continue des positions de la tangente peut ne pas y tendre dans des cas où la branche de courbe présente une infinité d’inflexions, quoique, alors, une série discontinue formée par certaines positions de la tangente, en nombre illimité, soit toujours astreinte à se rapprocher indéfiniment de l’asymptote.

J. — Swr la possibilité attribuer des dérivées à toutes les fonctions continues qui se présentent dans les applications.

M. Boussinesq démontre : P que toute fonction continue d’une variable, et-qui est sans dérivée, diffère aussi peu que l’on veut d’une autre fonction continue, admettant un nombre quelconque désigné de dérivées continues ; 2“ que toute fonction continue de plusieurs variables, sans dérivées, diffère aussi peu qu’on veut d’une autre fonction continue, admettant des dérivées partielles du premier ordre continues, et à laquelle on peut appliquer par suite, au moins une fois, la règle classique de différentiation des fonctions composées.

90. —Démonstration de l’existence des intégrales générales, dans les équations différentielles , et de la possibilité des intégrales singulières : remarques diverses sur celles-ci et, plus généralement, sur les bifurcations et réunions d'intégrales. — Digression sur les notions d’aire et de volume.

L’auteur prouve simplement, en s’en tenant aux valeurs réelles des variahles, l’existence des intégrales générales d’un système d’équations différentielles du premier ordre, résolues par rapport aux dérivées qu’elles définissent, et la complète détermination analytique de ces intégrales, si ce n’est pour certaines des valeurs qui rendent infinies les dérivées partielles premières des seconds memires par rapport aux fonctions cliercliées. Il donne aussi des exemples, pour l’équation différentielle du premier ordre, de solutions singulières qui ont un contact du deuxième ordre avec les intégrales particulières et qui, par suite, croisent celles-ci ou ne représentent nullement une enveloppe. Il montre la convenance qu’il y aurait d’étendre la notion des courbes enveloppes à toutes les lignes qui séparent le lieu occupé par une famille de courbes du reste du plan, de manière à y comprendre celles qui ne sont pas tangentes aux enveloppées, mais sont formées par leurs points de rebroussement, propriété qu’avait remarquée M. Cournot, en 1841, dans son Traité sur la théorie des fonctions , etc., (t. Il, n“ 843) et qu’a retrouvée plus récemment M. Darboux (Comptes-rendus, 1870; t. LXXI, p. 268) ; etc.

Dans un dernier numéro, il éclaircit ou précise les notions d’aire et de volume, en montrant, par exemple, que, si l’on divise le plan en carrés infiniment petits, par deux systèmes de ^droites, le rapport du nombre de ces carrés contenus dans une courbe fermée au nombre de ceux que comprend un carré constant, choisi pour unité, est une intégrale dont la valeur ne change pas, quelles que soient la position et l’orientation de la courbe fermée par rapport aux deux systèmes jde droites.

91. Sur les dilatations linéaires éprouvées par une surface élastique que

Von déforme.

)2. — Calcul des dilatations linéaires éprouvées par les éléments matériels rectilignes appartenant à une portion infiniment petite dhme memirane élastique courte, que Von défcrrme, et démonstration tris simple du théorime de Gauss, sur la déformation des surfaces inextensibles.

M. Boussinesq considère une portion assez petite de surface courbe pour

qu’on puisse, dans tous les états de déformation de la surface, lui attribuer la formé d’un paraboloïde variable ayant pour axe une de ses normales. Il exprime, dans cette hypothèse simple, la dilatation qu’éprouve par unité de longueur, pendant les déformations, toute ligne tracée sur la surface ; et il montre enfinque l’égalité du produit des deux courbures principales dans deux portions infiniment petites de surface est une condition, non seulement nécessaire, mais encore suffisante, pour que ces deux portions de surface soient appli-. cables l’une sur l’autre sans déchirure ni duplicature.

93. — Sur les proUèmes des températures stationnaires , de la torsion et de Vécoulement uniforme lien continu , dans les prismes ou dans les tuyaux dont la section normale est un rectangle à côtés courbes ou est comprise entre deux lignes fermées.

(Journal de Malhémaliques, 1880 ; 1 . VI.)

Cet article est consacré à éclaircir, sur certains points, et à présenter sans aucun cortège de formules générales empruntées aux coordonnées curvilignes, la beUeméthode que Lamé à donnée, pour intégrer les équations du problème des températures stationnaires, dans un cylindre dont la section normale est limitée par deux côtés courbes ou par quatre se coupant à angles droits, toutes les fois que l’on connaît deux familles de lignes isothermes dont fassent partie ces côtés, ou, en d’autres termes, toutes les fois qu’on a su intégrer pour le cas simple où deux faces opposées se trouvent à deux températures constantes, tandis que les deux autres faces, lorsqu’elles existent, sont supposées imperméables à la chaleur.

94. — Coup-d'ceü sur la théorie des séries trigonométriques les plus usuelles.

Cette note, composée pour le Journal de Mathématiques pures et appliquées, contient, avec une exposition simple de la théorie du développement des fonctions périodiques én séries de termes procédant suivant les sinus et Cosinus des multiples d’un arc, des considérations relatives à la série ou formule de Fourier (pour le cas d’une fonction finie donnée arbitrairement entre les valeurs— 00 et-i-00 de sa variable), et aux précautions qu’exige son emploi, par suite de cette circonstance, que la convergence de la série est parfois assez faible pour tenir en partie à l’ordre dans lequel se succèdent ses termes, aux

modes de groupement des éléments de l’intégrale double (à limites infinies) qui y paraît, et non pas seulement à la petitesse absolue de ces termes ou de ces éléments.

Vni. — Philosophie des Sqienqes.

95. — Note sur la conciliation de la liberté morale avec le déterminisme scientifique.

(Comptes-Rendus, 19 fcmer 1811; I. LXXXIV, p. 862.)

96. — La liberté et le déterminisme scientifique : conciliation des deux principes.

97. — Conciliation du véritable déterminisme mécanique avec Vexistenee de la vie et de la liberté morale.

le Rapport approbatif lu sur ce mémoire, par’ M. Paul Janet, à l'Acndomm des Seimces morales et poliüques, le 26

suivi, p.™’l t"loi* d'un extrait'éténdu'du*'méimire m6me. — Voir aussi dans le Recueil de la Société deslciences de Lille, 1880, t. VIII, p 332 à SID, la quatrième partie d'une Etude sur divers points de la philosophie des sciences.)

Les auteurs de mécanique admettent, il y a déjà longtemps, et d’ailleurs en parfait accord avec l’expérience, que lés principes dits des quantités de mouvement et des moments s’appliquent aux êtres organisés comme aux corps bruts. Depuis la découverte de la grande loi de la conservation de l’énergie , les savants sont aussi à peu près unanimes à penser qu’elle s’observe sans restriction dans le monde de la vie. Et la tendance incontestable des esprits, tendance à laquelle se sont abandonnées les plus grandes intelligences, comme Descartes et Leibniz, est d’étendre de même à toute la nature tous les principes, généraux de la mécanique, c’est-à-dire d’admettre que les actions mutuelles des diverses parties élémentaires composant l’univers dépendent uniquement de la constitution et des situations relatives de ces parties. Si la

physique n’était pas déjà devenue, aux trois quarts, une branche de la mécanique, savoir, une mécanique moléculaire, et si la chimie n’aspirait pas ellemême à se résoudre en une mécanique atomique, on pourrait péut-être, sans contredire cette haute tendance de l’esprit humain, attribuer à la vie, sous ses diverses formes, lepouvoirdemodifierdireotementl’étatphysico-chimique des organismes qu’elle anime et d’influer, par là, sur les réactions dynamiques dés organes. Mais cette tentative n’est plus possible, dès qu’on accepte que les états physiques et chimiques eux-mêmes doivent pouvoir s’expliquer par les configurations et les mouvements des parties les plus ténues de la matière.

Or, si les équations de la mécanique, qui déterminent à chaque ipstant les accélérations de tous les points des systèmes, s’appliquent sans restriction à la matière organisée, le sens commun exige, d’autre part, que la vie, à ses divers états, soit quelque chose de plus qu’une certaine manifestation des forces enjeu dans la matière brute, et qu’elle intervienne à sa manière, qu’elle ait son rôle supérieur dans les faits, en un mot, que la physiologie ne se réduise pas à être un simple prolongement de la physique et de la chimie, mais qu’elle reste l’expression de tout un ordre distinct de sciences ou conune une dynamique irréductible à celle des corps bruts. Le sens commun demande donc que, dans les systèmes matériels appelés organismes rivants , les équations de la dynamique des mécaniciens-géomètres ne déterminent pas à, elles sawtestout l’enchaînementdesphénomènes. Voilàpourquoil’auteur, convaincu

ment fondées, a été amené à rechercher les bifurcations de voies, les indéter¬

minations partielles, que comportent parfois les intégrales des problèmes de mécanique et que nous avons rappelées plus haut (n” 71, p. 66); bifurcations dont un exemple, rencontré par Poisson, lui avait causé tant d’embarras, faute, par lui de se souvenir que les forcesdes mécaniciens ne sont pas tout, dans l’univers, et qu’on y trouve aussi des pouvoirs directeurs , ayant pour rôle

non d’imprimer des accélérations, ni, par suite, des vitesses, mais d’une certaine manière celles qu’ils empruntent aux puissances ir Et si les lois physiologiques viennent disposer de la plus grande cette indétermination, pour organiser et conserver la matière vivan les principes d’un déterminisme supérieur distinct du déterminisme chimique, le bon sens n’est pas fâché depouvoir accorder le reste au libres des êtres intelligents ; car il lui répugnerait de ne faire, en <

aucune part à la contingence et de laisser une fatalité inexorable envahir toutes les sphères.

Quoique l’état d’imperfection du calcul intégral ne nous permette d’aborder, au point de vue indiqué, que des problèmes de mécanique extrêmement simples, toutefois, si ces inductions sont fondées, on comprend que les problèmes dont il s’agit puissent déjà nous offrir, et nous aider à comprendre, certains caractères généraux de la vie, tenant à des conditions d’existence physico-chimiques sans lesquelles il lui serait impossible de se manifester. Or, c’est justement ce qui arrive. Dans toutes les questions traitées, l’état initial doit présenter quelque chose de spécial, vérifier certaines relations, pour que les bifurcations de voies se produisent ; on n’aurait aucune chance finie de les voir se réaliser, si l’on se contentait de jeter au hasard un peu de matière dans une certaine région de l’espace. L’analyse montre de plus que, si les bifurcations se pfésentent une fois, elles pourront, suivant les cas, ou ne pas se reproduire, ou se représenter un nombre indéterminé de fois pour ne plus renaître ensuite, on persister indéfiniment. Dans la plus concrète des questions abordées, qui est celle du mouvement relatif de deux atomes supposés seuls dans l’univers, l’indétermination est ramenée indéfiniment par le jeu même de la force soumise au calcul, c’est-à-dire de l’action mutuelle des deux atomes. Donc, à côté d’une probabilité infiniment faible de première réalisation, il y a une probabilité finie, sinon même la certitude, pour que les bifurcations de voies se reproduisent indéfiniment dès qu’elles se sont présentées une fois, pourvu que ce soient les mêmes atomes qui restent en présence, ou, en d’autres termes, pourvu que le milieu au sein duquel se déroulent les phénomènes ne soit pas changé. L’auteur trouverait assez naturel que ces faits d’analyse fussent comme un premier indice de deux grandes lois, celle de l’impossibilité de la génération spontanée, d’une part, et, d’autre part, oelledelatransmissiohillimitée de la vie au milieu de conditions physico-chimiques assez favorables.

Il en tire cette autre conséquence, que le géomètre peut raisonner, dans l’étude du monde inorganique, comme si les équations différentielles y déterminaient sans exception tout l’enchaînement des phénomènes. Les bifurcations de voies lui paraissent n’ouvrir, en quelque sorte, à la vie que d’imperceptibles joints, où peuvent seuls se mouvoir des êtres spéciaux, déjà bien adaptés à d’aussi difficiles conditions d’existence, c’est-à-dire, portant la marque d’une organisation qui les distingue du reste de la nature.

points intéressants de la philosophie des sciences, tels que l’interprétation de la continuité abstraite et de l’asymptotîsme dans les applications de l’analyse aux choses réelles, le rôle des frottements et la dissipation de l’énergie dans les conditions de nos expériences (où nous tendons à réaliser des états dynamiques permanents au sein d’une matière plus calme), la réversion possible des mouvements purement matériels, etc.