VI.— Théorie analytique de la chaleur, et physique

76. — Etude sur la propagation de la chaleur dans un milieu homogène.

(Thèse pour le doetorat ès-sciences mathématiques ; Paris, Qauthier-Villars ISél.)

77. — Sur un nouvel ellipsoïde, qui joue un grand rôle dans la théorie de la chaleur.

78. — Sur les spirales que décrit la chaleur, en se répandant, à partir d'un point intérieur, dans un milieu homogène non-symétrique.

79. — Etude sur les surfaces isothermes et sur les courants de chaleur, dans les milieux homogènes chauffés en un de leurs points.

(Jouroal de Mtlhémaliques, 1869 ; l. XIV, p. 265 à 291. — Voitanssi me Note dans le l. XVIII, 18TO, p. 816.)

80. — Construction générale des courants de chaleur, en un point quelconque cdun milieu athermane, homogène ou hétérogène.

(Comptes-Rendus, 2 août 1889 ; t. LXIX, p. 829.)

Tout le monde connaît les belles expériences de M. de Senarmont sur la conductibilité des cristaux pour la chaleur. Le savant minéralogiste taillait en divers sens, dans un cristal, des plaques minces, qu’il chauffait en un point central après avoir recouvert de cire une des faces. La cire, fondant, s’éloignait par capillarité du point chauffé, et dessinait autour de ce point comme centre, sous forme de bourrelet, une ellipse isotherme. De Senarmont constata qü’en replaçant idéalement toutes les plaques dans le cristal, de manière à faire coïncider les points chauffés, les ellipses devenaient concentriques et semhlahles (avec orientation pareille) aux intersections faites par leurs plans dans un même ellipsoïde ; et il regarda celui-ci comme le type

des surfaces isothermes qui se seraient produites dans le cristal entier, si l’on avait pu le chauffer en un point intérieur.

Duhamel a prouvé depuis, théoriquement, que ces inductions étaientexactes pour les corps homogènes possédant trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, les seuls qu’il ait étudiés. Mais ilrestaità voir s’il en est de même quand on ne suppose aucune symétrie de cette sorte, c’est-à-dire quand le flux de chaleur émis par conductibilité, à travers un élément plan, peut être une fonction linéaire quelconque des trois dérivées partielles de la température par rapport aux coordonnées. Il fallait aussi tenir compte des variations qu’éprouvent les coefficients de conductibilité extérieure en fonction de la température, soit à cause du changement physique d’état de la cire, soit par le faitde son retrait, afin de prouver que ces variations peuvent bien influer sur les dimensions absolues des courbes isothermes, mais non sur leur forme, ni sur leur orientation. Telles sont les questions que M. Boussinesq a résolues dans les mémoires analysés. Il y prouve que la surface trouvée par M. de Senarmont doit bien exister, d’après la théorie , et qu’elle est un ellipso’ide, mais qu’elle diffère,en général, de l’ellipsoïde représentant les surfaces isothermes produites dans le corps massif. Ce dernier elUpsoïde se trouve intérieur au premier, qu’il touche seulement aux deux extrémités d’un certain diamètre. Les plans conjugués au diamètre commun les coupent tous les deux suivant des ellipses semblables. La surface intérieure, type des surfaces isothermes du corps massif, n’est autre que l’ellipsoïde principal de Lamé. L’autre est appelé par M., Boussinesq ellipsoïde des conductibüiUs linéaires , parce que chacun de ses demi-diamètres a pour carré le coefficient de conductibilité d’une barre de même direction. Il n’a rien de commun avec un ellipsoïde des conductibilités considéré par Lamé, et auquel on ne connaît aucune application.

Les mêmes considérations qui, dans l’étiide de la double réfraction (voir p. 59 ci-dessus), ont prouvé que les cristaux des cinq premiers systèmes se. comportent comme s’ils avaient trois plans rectangulaires de symétrie de contexture , s’appliquent à la propagation de la chaleur et montrent que les cristaux du sixième système, seuls, peuvent avoir un ellipsoïde des conductibilités linéaires distinct de l’ellipso’ide principal. Ces deux ellipso’ides n’en font donc qu’un dans les cinq premiers systèmes cristallins, auxquels s’applique par conséquent l’analyse de Duhamel.

La chaleur, en se répandant soit dans la plaque, soit dans le milieu massif, à partir du point chauffé, ne se transmet en ligne droite que chez les corps

symétriques, où les deux ellipsoïdes se confondent. Dans les autres, les filets ou courants élémentaires de chaleur ont la forme de spirales, issues du point chauffé, et qui sont, de plus, parallèles aux faces de la plaque, ou , s’il s’agit d’un corps massif, enroulées sur des cônes ayant pour sommet le point chauffé et pour bases les sections de l’ellipsoïde principal par les plans ccmjugués en direction au diamètre commun des deux ellipsoïdes. M. Boussinesq déduit très-simplement la forme de ces courants de chaleur, ainsi que les angles sous lesquels ils coupent les rayons issus du point chauffé, d’une construction simple , qui relie, dans tout milieu athermane, la direction et l’intensité du courant de chaleur, produit en un endroit quelconque, à la direction qu’y ont les surfaces isothermes et aux chutes de température observées au passage de l’une de ces surfaces à l’autre.

81. — Sur diverses frofrUtés, dont jomt le mode de dtsMution d'une charge électrique à la surface d’un conducteur ellijgsoïdal.

Ges propriétés sont les suivantes : P si chaque partie de la charge est transportée, parallèlement à une même direction quelconque, de l’ellipsoïde sur une plaque plane coïncidant avec la section diamétrale conjuguée à cette direction, la charge se trouvera en équilibre sur la plaque ; 2' des plans parallèles, infiniment voisins et équidistants, découpent à la surface de l’ellipsoïde des zones électriques équivalentes ; 3“ il n’y à pas d’autre mode de répartition possible de la charge, que celui pour lequel elle est en équilibre, qui présente cette propriété , de l’équivalence des zones de même hauteur limitées par des plans parallèles de direction quelconque.

82. — Recherches sur la théorie des battements (en commun avec M. Terquem, profçsseur de physique à la Faculté des Sciences de Lille).

(Jouvnal de Physique théorique et appliquée, de M. d’Alméida ; t. IV, 1815.)

Dans la partie théorique de ce travail, M. Boussinesq avait à évaluer la haviteur du son que perçoit l’oreille, lorsqu’on lui transmet une série de vibrations dont la durée est assez peu variable, mais dont l’amplitude change entre des

limites très-étendues, et qui se succèdent par séries se reproduisant périodiquement à des intervalles rapprochés. Il a été conduit à des résultats très simples, que l’expérience confirme, en attribuant aux éléments dont se forme la hauteur du son perçu, .c’est-à-dire aux hauteurs des divers sons que l’on entendrait si chaque vibration se reproduisait indéfiniment, des coefficients d’importance proportionnels au produit de leur intensité par deur durée, produit qui doit mesurer leur effet physiologique, et en prenant ensuite la moyenne.

VIL — Analyse et Géométrie,

Méthode nouvelle pour la résolution Æ une classe importante et nombreuse d'équations transcendantes (qui se présentent fréquemment dans des questions de mécanique).

L’auteur étudie des équations dont le premier membre, qu’il s’agit d’égaler à zéro, est une fonction définie par une équation différentielle linéaire et qui, pour d'assez grandes valeurs de la variable x, tend vers l'une des formes A cos -e B), A sin («-eB), où A et B ne sont plus que lentement variables. 11 détermine, par un procédé où dominent des intégrations par parties effectuées dea: = Æ:àir = ioo, certaines expressions de B, trèsapprochées dès que x est un peu grand ; et il lui suffit ensuite d’égaler æ-i- B à un multiple, impair ou pair, de — pour obtenir les diverses racines. La méthode, appliquée aux deux équations

(. CO. .) « = O, ^ cos ^ = O ,

si importantes dans l’étude des phénomènes présentant la symétrie cylindrique autour d’un axe, conduit à l’expression approchée très-simple des

dans laquelle il faut faire suooessiYément » = 1, = 2, = 3, = 4,.... jusqu’à l’infini, et prendre les signes supérieurs pour la première équation, les signes inférieurs pour la seconde. L’erreur, de quelques millièmes seulement pour la plus petite racine, correspondant à » = 1, et (ie quelques dix-millièmes pour la suivante, devient de plus en plus insensible à mesure qu’on passe aux racines de plus en plus élevées, dont la détermination par toute autre méthode exige des calculs d’une excessive longueur et, bientôt même, impraticables. La confrontation est facile à faire pour la seconde équation, dont M. de Saint-Venant a déterminé laborieusement les neuf premières racines, avec l’aide de deux calculateurs occupés pendant plus d’un mois (Comptesrendus, 8 février 1869, t. LXVIÏÏ, p. 294).

84. — Sur un changement de variables, qui rend, intégrables certaines équations aux dérivées partielles du second ordre.

La transformation dont il s’agit ne diffère pas de celle de Laplace, circonstance qu’ignorait l’auteur. Mais, si le procédé était connu, M. Boussinesq en indique du moins un emploi nouveau, car il s’en sert pour transformer une équation à coefficients variables en une autre à coefficients constants, admettant, par suite, des intégrales en séries de termes à forme exponentielle ou trigonométrique (et il prouve qu’on arrive ainsi à ce but toutes les fois qu’une pareille transformation est possible), tandis qu’on n’avait employé jusqu’alors le procédé de Laplace qu’à chercher les intégrales sous forme finie que peut comporter l’équation aux dérivées partielles.

85. — Sur une propriété remarquable des points où les lignes de plus grande pente d'une surface ont leur plan osculateur vertical, et sur la différence qui existe généralement, àla surface de la terre, entre les lignes de faite ou de thalmg et celles le long desquelles la pente du sol est un minimum.