Sssai sur la théorie des eaux courantes

de P.ri»'"; t. XXIIl’ p. 1 à 680. — Le Repporùpprobatif, par M. de Saint-Vsnaat, eS au Compte-Rendu du 14 avril

Ce travail étendu contient l’exposition de théories qui n’avaient pu être ^ que résumées dans certains des articles et même des mémoires précédents ; et l’auteur y ajoute l’étude de beaucoup d’autres questions, d’un haut intérêt au point de vue de l’hydraulioien.

Par exemple, pour ce qui concerne le mouvement permanent, M. Boussinesq détermine les circonstances de l’écoulement, en général non uniforme, qui se produit dans des canaux sensiblement prismatiques plus ou moins longs. A cet effet, il joint à la formule du mouvement ^aduellement varié et à celle du ressaut, qui, l’une ou l’autre, s’appliquent en tous les points de ces canaux, la loi, admise implicitement par tout le monde, que le régime , y tend vers l’uniformité dès qu’on s’éloigne de chacune de leurs deux extrémités , c’est-à-dire, dès que s’atténue l’influence des conditions accidentelles accompagnant l’introduction et la sortie du liquide. Cette loi, qui permet de reconnaître si un régime graduellement varié est sous la dépendance des conditions d'amont ou de celles d’aval et, ensuite, de fixer l’emplacement des ressauts où le régime varie brusquement, est regardée par l’auteur comme une conséquence d’un principe de la stabilité du mouvement permanent, qu’on n’avait pas encore signalé, mais dont l’existence paraît incontestable. D’autres conséquences du même principe, se rattachant plus ou moins à ceUe-ci, qu’un mode d’écoulement ne devient persistant ou stable que lorsque le centre de gravité des masses fluides est le plus bas possible, lui permettent de porter quelque lumière sur la difficile question des déversoirs, libres ou noyés, et d’y lever certaines indéterminations apparentes, provenant d’une multiplicité de racines des équations algébriques qui les expriment.

Un autre problème de mouvement permanent, qui se trouve traité pour

la première fois dans ce mémoire, est l’étude du régime produit dans un canal dont le fond présente, d’amont, en aval, une suite périodique- de renflements et de creux', c’est-à-dire d’ondulations régulières, s’étendant sur toute la largeur. M. Boussinesq calcule l’amplitude et la situation des ondes de même longueur qui se forment à la surface. Il trouve que ces ondes sont peu sensibles, si la pente moyenne du fond est seulement de quelques dismiflièmes, et qu’elles tendent même à s'effacer, ou que la pente de la surface tend à devenir égale à la moyenne de celles du fond, quand la hauteur d’eau augmente, c’est-à-dire quand le cours d’eau roule un plus grand volume de liquide : mais ces mêmes ondes deviennent, au contraire, beaucoup plus hautes que les inégalités du fond, lorsque la pente moyeime de ce dernier approche de celle des torrents dits modérés (0,0036 en moyenne) ; etc. La surface est parallèle au fond, et les filets fluides le sont tous entre eux (quoique courbes), quand la pente reçoit une valeur particulière, proportionnelle au carré du rapport de la longueur d’onde à la profondeur moyenne; etc.

L’auteur traite aussi de l’influence régulatrice des cours d’eau naturels sur les lits qui les contiennent. Par exemple, entre autres circonstances concernant le mouvement dans les coudes, il calcule l’approfondissement qui, pendant les crues, se produit près de la berge concave d’un tournant de rivière, approfondissement qu’il trouve être en raison directe de la racine carrée de la courbure du coude : ce que confirment enmoyenne un grand, nombre d’observations de M. Fargue sur la Garonne.

Parmi les questions de mouvement non permanent qu’il a également résolues pour la première fois, et auxquelles i| a pu appliquer sa formule générale des écoulements graduellement variés, distinguons surtout le problème des ondes de translation, ou intumescences limitées, tant positives que négatives, propagées le long d’une eau courante, soit qu’elles descendent le courant, soit qu’elles le remontent. Non seulement l’analyse en donne simplement les vraies vitesses de propagation ; mais elle y décèle les nuances les plus délicates qu’une minutieuse observation ait fait connaître, touchant les petites anomalies apperentes que présentent ces vitesses, touchant' la déformation plus ou moins rapide des ondes et leur aplatissement habituel, touchant l’influence du frottement extérieur, de plus en plus retardatrice de la tête à la queue de l’intumescence et cause de retards croissants dans les phases des variations de niveau comparées à celles de la vitesse moyenne, etc.

L’auteur aborde également, sous le titre de régime quasi-permanent

des cours d'eau, la question de la marche de ces ondes positives ou négatives, très longues et très aplaties, qu’on appelle des crues ou des décrues. La théorie en est assez simple quand on se home, comme il le fait, au cas où les variations de régime étudiées se produisent assez lentement pour que la vitesse moyenne diffère peu, à chaque instant, de ce qu’elle serait dans un écoulementpermanent où la pente de superficie etla profondeur recevraient leurs valeurs actuelles. Cette théorie avait été ébauchée, et même constituée à une première approximation, par MM. les ingénieurs Philippe Breton, Graêff et Kleitz, qui avaient notamment évalué la vitesse avec laquelle se propage chaque valeur du débit. M. Boussinesq. passant à une deumème approximation (beaucoup plus difficile), calcule la correction qu’il faut faire subir à l’expression de la hauteur d’eau corrélative à un débit donné, pour tenir compte de la non-permanence du régime. Il reconnaît, par exemple, que la profondeur vraie est moindre, ou la vitesse plus forte, pour un certain débit, quand celui-ci est en train de croître que lorsqu’il diminue : circonstance dont on peut conclure rigoureusement, en recourant à la condition de conservation des volumes fluides, que les crues s’aplatissent peu à peu ; etc. Il explique aussi, très-simplement, la forme bombée et la forme concave que présente souvent le profil transversal d’un cours d’eau, suivant qu’il 'éprouve une crue ou une baisse rapides ; etc.

H. — Additions et éclaircissements au mémoire intitulé « Essai sur

Parmi les nombreuses questions traitées dans ces compléments au précédent mémoire, signalons ici ; . ' '

1“ Une détermination approximative des lois de l’écoulement, uniforme ou graduellement varié, dans les tuyaux et les canaux d’un calibre médiocre, par simple intercalation entre les deux cas extrêmes des écoulements bien

continus que présentent les petits tubes polis et des écoulements tumultueux, où l’agitation tourbillonnaire se développe pleinement, propres aux conduits à grandes sections. On en déduit , par exemple, que la vitesse moyenne dans les petites rigoles d’arrosage est, entre dès limites assez étendues, sensiblement proportionnelle au rayon moyen (comme l’avait déjà observé M. Bazin) et à la puissance-^ de la pente. Mais il en résulte surtout l’explication de ce fait, que, dans les cas des tuyaux de conduite ordinaires et des canaux de quelques décimètres de profondeur, les coefficients exprimant le produit de la pente par le rayon moyen et par l’inverse du carré de la vitesse varient en sens inverse de la vitesse et surtout du rayon moyen, pour ne devenir à peu près constants que lorsque ce dernier atteint une certaine grandeur ;

2“ Le calcul de la réduction de pente que produit l’endiguement continu de tout cours d’eau qui avait réglé lui-même peu à peu son lit primitif, réduction observée par M. Dausse (aujourd’hui correspondantdel’Académie) . et résultant de l’entrainement- des matières du fond qu’occasionne l’accroissement de vitesse dû à la diminution de la largeur: la nouvelle pente de régime uniforme est sensiblement proportionnelle à la largeur laissée au cours d’eau, pourvu que celle-ci reste, bien entendu, beaucoup plus grande que la profondeur ;

3“ La démonstration de ce fait, que le profil longitudinal moyen d’un cours d’eau est calculable par la formule du mouvement permanent graduellement varié, aux endroits où une série d’ondulations transversales de la surface mettent obstacle à l’existence de ce régime, comme il arrive, par exemple, à l’aval des ressauts ;

4° L’évaluation de l’influence qu’exercent les variations de la largeur, dans un canal à bords verticaux mais non parallèles (c’est-à-dire divergents ou convergents), sur la vitesse de propagation des divers éléments, soit de volume, soit d’énergie, d’une onde de translation, positive ou négative;

5° L’application approximative des lois de Poiseuille à l’écoulement du mercure dans de petits tubes en verre sous l’influence de pressions assez fortes, en la justifiant par cette considération, que le frottement réciproque du mercure et du verre croît sans doute avec la pression et doit, quand celle-ci est un peu grande, diminuer la -vitesse à la paroi au point de l’annuler presque comme s’il s’agissait d’un liquide mouillant le tube.

18. — Des partes de charge qui se produisent dans V écoulement.di un liquide, quand la section vive du fluide éprouve un aceroissenient brusque.

(Comples-Reodu», 80 septembre ISIS ; t. LXXXVII, CompUmenl précédent é l'Bssai sur U

La formule classique de Borda fait connaître, avec une certaine approximation , la perte de charge qui se produit, dans les tuyaux de conduite, aux. endroits où les- filets fluides divergent brusquement : cette perte égale la hauteur de chute correspondant à la vitesse moyenne perdue par les filets fluides. M. Belaiiger, qui a, d’une manière très plausible, déduit cette formule du principe des quantités de mouvement, a pu évaluer par la même méthode la perte de charge qu’épreuve un liquide, s’écoulant dans un canal prismatique découvert, quand il y a ressaut, c’est-à-dire quand la section fluide croît brusquement : cette perte, pour un canal rectangulaire, vaut le quotient du cube de la hauteur du ressaut par quatre fois le produit des deux profondeurs du 1) quide avant et après le relèvement. La différence des deux formules tient à ce que, dans le cas d’un tuyau ou pénètrent des filets fluides qui ne l’occupent pas d’abord tout entier, mais qu’acbève de remplir, près de l’entrée, une certaine quantité de liquide tourbillonnant, les deux sections fluides précédant et suivant l’épanouissement des filets supportent , à leur partie supérieure, des pressions différentes, et ont même aire totale (quoique la première ne soit pas en totalité une section vive ), tandis que , dans le cas du ressaut, les deux pressions considérées (s’exerçant sur le haut des deux sections) sont égales, mais les deux sections fluides différentes, et vives dans leur totalité.

Il y avait donc lieu de chercher ce qui se produit dans le cas général où les deux sections et les deux pressions, tout à la fois, diffèrent et où, de plus, les filets fluides n’occupent pas toute la section amont, comme il arrivé quand il s’agit d’un tuyau horizontal qui, plein de liquide du côté aval, est, à son extrémité amont, traversé par des filets, affluents qui y laissent une partie vide et une autre occupée par du liquide mort. C’est ce que fait M. Boussinesq. Il trouve que la perte de charge a pour expression celle que donne la formule de Borda, diminuée d’un terme positif, qui, dans la supposition simple d’une largeur à fleur d’eau sensiblement constante sur toute la surface libre, vaut le produit de la différence de niveau, existant entre,les

points les plus hauts des deux sections extrêmes, parle rapportde la différence des aires de ces deux sections au double de la plus grande, c’est-à-dire au double de la section d’aval. Il transforme ensuite cette formule en une autre à trois termes, dont un ou deux, à tour de rôle, sont nuis, et les autres essentiellement positifs, dans les trois cas importants d’un tuyau partout plein, d’un canal découvert, et d’un tuyau qui est plein sur la seconde section, en partie vide, mais sans section morte, sur la première. Ce troisième cas, bien qu’assez usuel, avait été négligé complètement par les traités d’hydraulique. Le deuxième conduit aisément à une expression de la perte de charge où n’entrent que les aires des deux sections ou de leurs parties vives, et l’élévation du niveau entre la première et la seconde : quand la section amont n’a pas de partie morte, le phénomène étudié est un simple ressaut et l’expression obtenue se confond avec celle qu'a donnée M. Belanger.

composantes respectives de la vitesse toutes les fois que cette fonction existe à une époque particulière.

20. — Etude théorique des naq/pes liquides rétractiles observées par Savart.

On oonnait les belles expériences dans lesquelles Savart lançait verticalement, de haut en bas ou de bas en haut, une veine liquide contre un petit disque circulaire horizontal : la veine s’étalait, autour de la verticale menée par le centre du disque, en upe nappe mince de révolution, qui, pour des vitesses initiales assez petites, se recourbait et venait se fermer inférieurement avant de s’ètre troublée ou réduite en gouttelettes. M. Boussinesq, .en étudiant théoriquement ce phénomène , a donné le premier exemple, unique jusqu’ici, que l’on ait d’une solution d’un véritable problème de d3mamique où soit enjeu l’action capillaire. Il forme d’abord les équations différentielles du mouvement d’une particule liquide; puis, transformant diversement la courbure moyenne de la nappe, il les intègre une première fois et obtient, d’une part, l’équation différentielle première du méridien, entre son arc et ses deux coordonnées, d’autre part, une équation finie qui donne le temps. Il reconnaît aussi qu’une certaine relation entre la vitesse initiale et les deux coordonnées doit être constamment satisfaite , pour que la nappe soit stable ou persistante. Les diverses équations ainsi trouvées suffisent pour déterminer toutes les circonstances de forme , de courbure, etc., que présente la nappe; et elles se trouvent en parfait accord avec les résultats de l’observation. Quant au calcul des dimensions absolues des nappes , il ne peut généralement se faire que de proche en proche, par intégrations numériques approximatives, et l’auteur l’effectue dans deux cas, pour lesquels les dimensions trouvées sont bien comparables à celles que l’observation donne : seulement, une confrontation exacte n’est pas possible, parce que Savart a négligé de mesurer certaines quantités que la théorie suppose connues, surtout l’angle fait avec l’horizon par la nappe au départ du plan.

M. Van der Mensbrugghe, dans un mémoire Sur une nouvelle application de l'énergie potentielle des surfaces liquides (Bulletins de l'Académie royale de Belgique , 2'”° série, t. XLVI, n” 11 ; 1878), suppose que l’extension rapide éprouvée par les couches superficielles de la nappe les refroidit considérable-

ment, au point de faire varier d’une manière sensible leur tension et, par suite, la constante de Laplaoe ou coefficient de capillarité. Il juge donc que l’auteur n’aurait pas dû admettre la constance absWue de ce coefficient (*> ; mais il se dispense de chercher ce que de'viendraient, dans l’hypothèse de sa variabilité, les équations différentielles du mouvement et, surtout, leurs intégrales, dont le calcul ne laisse pas que d’être assez délicat avec un coefficient de capillarité constant. D’ailleurs, si l’on ne se contentait pas de cette hypothèse simple, qu’ont faite tous les géomètres qui se sont occupés de la capillarité, d’autres difficultés surgiraient ; il faudrait, comme l’a montré M. Boussinesq, tenir compte d’une certaine différence qui doit exister entre les deux pressions exercées par l’air sur les deux faces de la nappe, vu que ceUe-ci tend à entraîner dans son mouvement le gaz qui l'avoisine et à faire le vide à son intérieur, du moins quand elle est fermée.