Sur Véquilibre d'élasticité des massifs pulvérulents

iComples-rendns, 29 décembre 1818; t. LXXVII, p. 1521.)

43. — Essai théorique sur l’équilibre des massifs pulvérulents , comparé à celui de massifs solides, et sur la poussée des terres sans cohésion.

Ces mémoires contiennent, outre le développement des théories résumées au numéro précédent, un essai sur les équilibres stables que peut admettre un massif sablonneux, et qui sont compris entre les deux modes d’équilibrelimite, par détente et par compression {poussée et butée des terres), rappelés ci-dessus. Il était naturel, en effet, de se demander ce qui se passe dans les massifs sablonneux alors qu’il? sont en repos ; ce qui est bien l’état dans lequel on veut les maintenir, ,et ce qui peut conduire à la connaissance des vraies poussées qu’ils exercent lorsqu’on les soutient avec des murs d’une épaisseur donnée, plus grande que l’épaisseur-limite pour laquelle un renversement commencerait à se produire. Les équilibres stables dont il s’agit, exprimés par des formiiles simples dans le cas d’un massif terminé supérieure-

ment à un talus plan, sont mis par l’auteur eu regard de ceux que pourraient présenter des masses soMes de même forme; etc. Iæ principale utilité de leur étude est de montrer que, du moins à une certaine distance d’un mur de soutènement fe’est-à-dire là où le massif doit se comporter à peu près comme s’il était latéralement indéfini), les déformations ont la même grandeur en tous les points, de sorte que tous ces points deviendront dangereux à la fois si l’épaisseur du mur diminue peu à peu jusqu’à compromettre la stabilité : ce qui confirme l’hypothèse fondamentale d’après laquelle l’état ébouleux s’établit presque simultanément dans tout le massif (en n’épargnant, tout au plus , qu’une région restreinte protégée par le frottement du mur), hypothèse que M. Levy a cru pouvoir admettre sans la discuter, mais qui n’est pas évidente, et que Rankine, sentant le besoin de la justifier, n’avait su étayer que sur uu principe obscur, très contestable, de moindre résistance, attribué à Moseley.

M. Boussinesq essaie encore de donner une théorie générale des états éiouleux et plastique , que peuvent présenter respectivement les masses inconsistantes et les corps ductiles, en regardant oes états comme des cas extrêmes de l’état élastique ordinaire de la matière ; et il explique, au moyen des formules ainsi déduites, la constance de la vitesse d’écoulement du sable par un orifice hors d’un vase beaucoup plus large que l’orifice, quelle que soit la hauteur de charge, supposée toutefois notablement supérieure aux dimensions de l’orifice.

Bornons-nous ici à reproduire les conclusions du Rapport lu, sur ce travail, par M. de TiUy, à l’Académie Royale de Belgique : « Ce mémoire renferme l’exposition des principes et des résultats les plus immédiats d’une branche nouvelle et féconde de la mécanique moléculaire ou interne. On avait réussi à représenter par des équations aux dérivées partielles l’équilibre d’élasticité ' des solides, ainsi que celui des fluides, et l’on avait même pu, dans les cas les plus simples, intégrer ces équations. Il restait à traiter le même problème pour les massifs pulvérulents ou sablonneux, intermédiaires entre les solides et les fluides, et plus difficiles à étudier, à cause même de ce caractère mixte. C’est ce qu’a fait M. Boussinesq. Il a, de plus, en rattachant la théorie de l’équilibre-limite à celle de l’équilibre d’élasticité, éclairé d’un jour nouveau les rapports qui existent entre l’état élastique ou ordinaire de la matière et cet état extrême qu’elle affecte parfois, et qu’on appelle état plastique, pour les sohdes, état ébouleux , pour les masses inconsistantes. Enfin, il a donné les lois de l’équilibre-limite des terres, dans des cas beaucoup plus généraux qu’on ne l’avait fait jusqu’ici.... »

44. — Etude, en coordonnées polaires, deVéquüibre-limUe (par déformations planes) d’une masse plastique ou pulvérulente comprimée. — Application à une masse annulaire, à un massif compris entre deux plans rigides qui se coupent.

Ce travail, quoique très-distinct par son objet du mémoire précédent, a été imprimé dans le même tome de l’Académie de Belgique, à la suite de ce mémoire , dont il pst devenu le § X (p. 134 à 156). Il a pour but la théorie de l’équilibre-limite, dans des cas où le corps déformé supporte, suivant des sens divers , de fortes pressions, en comparaison desquelles son poids est négligeable. L’auteur y arrive à des résultats simples, soit quand les déformations sont symétriques tout autour d’un axe, soit quand elles sont pareillement orientées aux divers points de chaque droite émanée de l’origine, mais diversement d’une droite à l’autre. Il y établit, par exemple, et trèsfacilement , en tant que formules approximatives, les relations simples, si remarquables, par lesquelles M. Tresca a pu, dans ses'expériences sur l’écoulement et le poinçonnage des blocs ductiles, ^représenter les pressions en jeu et les hauteurs des débouchures obtenues.

45. — Sur une manière simple de déterminer expérimentalement la résistance au glissemeut maximum, dans un solide ductile, homogène et isotrope.

Ce procédé consiste à étirer lentement une barre homogène de la matière considérée, et à diviser la traction employée à cet effet par le double de la section minima de la barre , section mesurée, soit au moment où des allongements persistants commencent à se produire, soit même plus tard et jusqu’à la rupture.

46. — Sur la méthode de Macquorn-Rankine, pour le calcul des poussées qu’exerce, à Vétat éhouleux, un massif pesant sans cohésion, limité supérieurement par une surface à profil courbe indéfini.

L’auteur expose cette méthode ingénieuse, à coordonnées mixtes (l’une rectiligne, l’autre courbe), ainsi que l’emploi qu’en a fait l’illustre savant écossais en remplaçant une des équations du problème par une autre plus simple, mais purement hypothétique, qui rend l’intégration possible. Après avoir montré le sens concret des résultats trouvés par Rankine, il fait voir comment un procédé graphique d’iutégration , que Rankine n’apidique qu’à ses formules hypothétiques, pourrait tout aussi bien servir à intégrer les équations véritables de l’équilibre-limite et même, parfois, s’étendre à des cas où le massif serait, non plus indéfini, mais soutenu d’un côté par un mur et, d’ailleurs, terminé en haut par une surface courbe quelconque , cas inabordable jusqu’à présent aux méthodes analytiques.

47. — Lois géométriques de la distribution des pressions dans un solide homogène et ductile , soumis à des déformations planes.

M. Boussinesq, adoptant pour coordonnées les deux paramètres caractéristiques des deux familles de lignes isostatiques (ou plutôt orthostatiques) produites dans le plan des déformations, exprime de suite, sous forme finie, les pressions en fonction de la dérivée de chacun de ces paramètres le long d’un chemin normal à la courbe correspondante ; et, en appelant A, A les deux dérivées ainsi définies, il montre que les lignes is.ostatiques ont pour équation AA, = 1, ce qui signifie qu’eUes découpent le plan en rectangles élémentaires équivalents. Il démontre d’ailleurs, d’une manière purement géométrique, le beau théorème de Lamé sur les surfaces ortbostatiques, applicable à l’équilibre de masses quelconques dans tous les cas où ces surfaces existent.

48. — Equation aux dérivées partieües des vitesses, dans un solide Itomogéne et ductile défoo-mé parallèlement h un plan.

Quoique les vitesses des molécules d’un milieu à l’état ébouleux ou plastique doivent être, en général, plus facilement calculables pour les déformations planes que'pour les autres, vu qu’on peut alors évaluer séparément les pressions et ne s’occuper qu'ensuite des mouvements , cependant, les

équations aux dérivées partielles qui les régissent sont assez complexes en coordonnées rectilignes. M. Boussinesq montre que l’introduction des coordonnées courbes définies par les lignes isostatiques les ramène à une seule équation linéaire, admettant (pour un corps plastique) la forme de celle des cordes vibrantes, mais avec un coefficient variable. H trouve aussi que les lignes isostatiques, dans un massif sans pesanteur à l’état ébouleux, ont l’équation différentielle A* ~ ï A‘, + “"'? = 1, où ? désigne l’angle de frot^ tement.

■ 49. — Sur l’intégration de l'équation aux dérivées partielles des cylindres isostatiqms , dans un solide homogène et ductile.

(Comptes-Rendus, 29 janvier 18^2; t. LXXIV, p. 818.)

50. — Intégration de l'équation aux dérivées partielles des cylindres isostatiques, produits à l’intérieur d’un massif ébouleux soumis à de fortes

51. — Sur la distribution plane des pressions à l'intérieur des corps isotropes dans l'état d'équilibre-limite.

(Comples-Rendiis, 16 mars 1874; t. LXXVIII, p. 757.)

52. — Intégration des équations aux dérivées partielles de cet équilibrelimite.

(Comples-Rendus, 23 mars 1874; t. LXXVIII, p. 786.)

53. — Sur les modes d’équilibre-limite les plus simples que peut présenter un massif sans cohésion fortement comprimé.

54. — Application de ces modes S équilibre-limite à Vétat ébouleux d’une masse pulvérulente, serrée entre deux plans solides qui se coupent.

(Comptes-Rendus, :

Ces articles ont pour objet le calcul général des pressions, dans une masse en équilibre-limite éprouvant des déformations planes. Vu l’équation caractéristique et donnée de cet équilibre, l’état mécanique, en chaque point, est parfaitement défini, quant à sa nature, par \&'pression moyenne (valeur moyenne de trois pressions principales exercées sur ce point), et, quant à son orientation, par la direction de la plus petite des pressions principales. L’auteur montre que les équations, indéfinies du problème sont intégrables, en séries de termes très-simples ayant la forme exponentielle ou trigonométrique, lorsqu'on prend pour fonctions inconnues les deux coordonnées æ, y de chaque point du corps, et pour variables indépem dantes deux quantités, caractérisant son état mécanique, et qui sont, l’une, l’angle que la pression principale la plus petite fait avec une direction fixe, l’autre, une certaine fonction de la pression moyenne exercée au même endroit. En d’autres termes, il faut, pour intégrer, renverser la question et se demander, non pas quel est l’état produit en chaque point, mais quel est le point où se produit un état déterminé.

IV. — Théorie des phénomènes ondulatoires , et optique. 55. — Théorie des ondes liquides périodiques.

Ce mémoire concerne l’étude des petits mouvements, à composantes pendulaires, qui se propagent à la surface libre et dans la masse d’un liquide pesant en équilibre, quand une certaine partie en est directement ébranlée par des oscillations périodiques et concordantes d’un système de corps immergés: il est donc consacré au phénomène qui a fourni le type de tous les mouvements ondulatoires. L’auteur démontre : 1° qu’à une certaine distance de la région d’ébranlement, les surfaces d’ondes (on surfaces sur toute l’étendue desquelles la phase des mouvements est à chaque instant la même) sont des cylindres verticaux ; 2“ que les ondes progressent, de l’une de ces surfaces aux suivantes , avec une célérité ou vitesse de propagation constante, à part de petites variations , très sensiblement proportionnelles à l’inverse du carré de la distance au centre de courbure de la partie considérée des

ondes ; 3“ que, si l’on fait abstraction de ces variations légères, la vitesse de propagation dont il s’agit est celle d’une houle plane de même période, et que les mouvements se font aussi comme dans une telle houle, à cela près que leur amplitude varie arbitrairement, avec continuité, d’un point à l’autre d’une même surface d’onde, mais en raison inverse de la racine carrée du rayon de courbure des ondes, le long de toute droite qui leur est perpendiculaire.

U trouve aussi que ces ondes, lorsqu’on en intercepte une partie en immergeant un obstacle dans l’eau, présentent, au-delà de l’obstacle , des franges de diffraction, analogues à celles que produit la lumière et qu’il prouve être calculables par une méthode pareüle, mais qui sont beaucoup plus grandes et, partant, plus accessibles dans tous leurs détails. Il étudie, non-seulement les circonstances qui s’y rapportent à l’amplitude des mouvements , mais , de plus , celles de la phase, dont les physiciens ne se sont pas encore occupés à propos de la diffraction des ondes lumineuses. Il trouve, par exemple, que de grands retards se produisent dans la’région abritée par l’obstacle : les ondes, en y pénétrant, s’infléchissent de plus en plus vers l’arrière à mesure que leur amplitude décroit et devient insensible, c’est-à-dire à mesure qu’on s’éloigne du bord de cette région pour s’avancer dans son intérieur.

L’auteur reconnaît encore que la vitesse de propagation grandit quand la période de vibration augmente, et que ses variations suivent une loi assez analogue à celle qui régit la dispersion de la lumière, du moins dans les petites profondeurs, où elles se trouvent aussi restreintes que le sont les différences relatives existant entre les vitesses des lumières simples diversement colorées ; etc.

56. — Mémoire sur les ondes dans les milieux isotropes déformés.

L’auteur étudie ces milieux solides, supposés indéfinis, en vue de chercher les analogies qu’ils peuvent présenter avec l’éther des cristaux biréfringents, quant à la manière dont les vibrations s’y propagent et s’y polarisent. Il détermine, pour les points éloignés d’un centre d’ébranlements périodiques,laforme des ondes qui émanent de ce centre et les circonstances que présente la direction des mouvements. La surface de Fonde qui correspond aux vibrations quasi-transversales se compose de deux nappes, se raccordant aux

extrémités de deux certaines droites (axes optiques) situées dans 'le plan des deux axes d’élasticité extrêmes et symétriquement de part et d’autre de chacun de ceux-ci. Elle prend la forme de l’onde que Fresnel a trouvée pour l’éther lumineux (supposé agir comme une sorte de solide élastique), dans deux cas remarquables, découverts par Cauchy. Le premier cas, où les vibrations se font suivant des sens perpendiculaires à ceux que Fresnel leur attribue dans la double réfraction , c’est-à-dire perpendiculaires aux projections des rayons sur les plans tangents à l’onde, se réalise pourvu que le milieu isotrope, déformé d’une manière persistante, soit redevenu libre , ou ait été soustrait définitivement aux pressions déformatrices. Le second cas, où les vibrations qpiasi-transversales se trouvent dirigées sensiblement comme le sont, d’après Fresnel, celles de l’éther lumineux dans les cristaux biréfringents, exige, au contraire, pour se produire, que les pressions déformatrices continuent à ^exercer , et qu’elles vérifient même certaines relations, très spéciales où entrent les coefficients d’élasticité acquis par le milieu ; etc.

57. — EtvÂe sur les vibrations rectilignes et sur la diffraction , dans les milieuÆ isotropes et dans Véther des cristaux.

Ce mémoire a pour objet l’étude des variations que peut éprouver d’Un point à l’autre, dans les. milieux homogènes élastiques les plus importants, l’amplitude des petits mouvements pendulaires rectilignes les plus généraux possibles, de même période, mais de phases et de directions différentes. Les intégrations s’y font d’une manière en quelque sorte géométrique, pourvu que les longueurs d’ondulation soient très petites par rapport aux dimensions des surfaces d’onde, et elles conduisent, tant pour les vibrations longitudinales que pour les vibrations transversales des lois simples, qu'il serait trop long de rappeler ici.

Le résultat principal de ce travail est de démontrer, par les équations théoriques des petits mouvements, la. légitimité du procédé dont on se sert pour les calculs relatifs aux phénomènes de diffraction et pour délimiter latéralement les rayons lumineux, procédé qui consiste à remplacer toute onde excitatrice par une infinité d’autres ondes, décrites autour de ses divers points comme centre et chez lesquelles l’amplitude n’aurait de valeurs sen-

5 que sur res rayons voisins ae la normale a l'onae excicatrice. M. Bousq prouve toutefois : 1“ qu’il faut prendre les centres de ces ondes auxis, non pas sur l’onde excitatrice, mais sur une surface parallèle, située rière, à une petite distance contenant un certain nombre de longueurs lulation; 2“ que, déplus, chacun de ces systèmes d’ondes doit apporter, s point le premier atteint de l’onde excitatrice, des mouvements en avance quart de période sur ceux qui s’y produisent en effet; 3" enfin , que ces i élémentaires, à vibrations rectilignes, ne seraient pas possibles si

angé aux résultats de la théorie ordinaire le d’ailleurs nécessaire par les physiciens les des phases. Cette méthode, et les > endent sans erreur sensible aux milieux 1 int tous les cristaux connus, ne les mêmes procédés de délimitatioi raie des ondes cesseraient d’être admissibles s’il Vagissait de vibr longitttdincdes, vu qu’alors

d’attribuer la même valeur à l’amplitude sur toute l’étendue de chaque oni élémentaire, circonstance qui rendrait divergente une certaine série, tivement positifs et négatifs, exprimée par une intégrale défin supérieure grandit pour ainsi dire indéfiniment et à laque] ion suppose une valeur déterminée.

ondes sonores ne paraissent donc paspouvoir se délimiter latéralemen en forme de rayons ou pinceaux plus ou moins étroits, comme les ond lumineuses. L’auteur explique ainsi qu’un écran n’intercepte pas le si

elle des 'ondes lumineuses.

60. — Exposition synthétique des principes de la théorie nouvelle des ondes

Exposons rapidement les principes de cette théorie, la plus simple de toutes celles qui ont été proposées et la seule , au dire de juges éminents, qui rende compte de l’ensemble des phénomènes optiques.

L’idée naturelle que nous nous formons de l’éther lumineux est celle d’un fluide dans un état de raréfaction et de division extrêmes, qui se comporterait, par rapport à chaque molécule des corps pondérables, comme font l’eau ou l’air à l’égard des solides de dimensions perceptibles qui y sont plongés; fluide dont la densité serait en quelque sorte nulle, soit en comparaison de la densité apparente de la matière pondérable, soit surtout en comparaison de la densité réelfe des moléculesou groupes atomiques qui la constituent. En effet, les géomètres ont été conduits, comme on sait, à penser que les molécules chimiques dont se compose un corps laissent entre elles des espaces beaucoup plus grands que ceux qu’eUes occupent; ce qui réduit d’autant la densité des corps par rapport à celle de leurs molécules prises à part. L’éther doit donc circuler, entre de pareilles molécules, aussi librement que l’air à travers un filet à mailles larges, et en y conservant, comme lui, la même élasticité et la même densité générale que si ces molécules pondérables n’y étaient pas plongées. Pour s’expbquer une telle constitution, il suffit de composer l’éther d’atomes disséminés, ou non groupés en molécules compactes comme celles des corps palpables, et d’admettre, par suite, que les forces qui régnent dans cette poussière d’atomes ne conservent une certaine intensité qu’à des distances au plus comparables aux dimensions d’une molécule chimique et presque nuUes en comparaison de la distance ordinaire de deux molécules : telles doivent être, du reste, les actions mêmes qui tiennent groupés ensemble, dans chaque molécule pondérable , les divers atomes qui la composent. De telles forces pourront bien donner à l’étberune élasticité relativement très-grande , mais ne subsistant que pour des vibrations et des déformations d’amplitudes excessivement petites, au-delà desquelles les limites de cette élasticité se trouveront, comme on dit, dépassées; en sorte que le milieu, soit par son élasticité, soit par son inertie, ne résistera pas beaucoup plus que le vide parfait au mouvement des corps qui le traverseront.

Supposons aotuellement que d’imperoeptibles mouvements vibratoires, excités du dehors, viennent à se propager au sein d’un pareil éther, ainsi entrecoupé çà et là de molécules pondérables. Celles-ci prendront inévitablement, et à l’instant même, une fraction finie de la quantité de mouvement transmise, sans que, pour cela, leurs déplacements aient besoin d'être, à beaucoup près, comparables à ceux de l’éther. L’auteur prouve aisément que, sauf dans le cas où ces impulsions s’accumulent de manière à produire l’éckauffement ((pâ. ne fait pas le sujetde l’examen actuel), les actions élastiques propres du corps, développées par les très-faibles déformations ainsi imprimées à l’assemblage des molécules pondérables, sont complètement négligeables devant celles de l’éther mises en jeu par ses déformations simultanées bien plus grandes. On peut donc, en optique, supposer chaque molécule pondérable isolée dans l’éther, comme si les autres n’existaient pas, et soumise uniquement aux impulsions du fluide contigu.

Dans des conditions pareilles, l’état de la molécule deviendra rapidement périodique, comme l’est celui de l’éther lui-même, et il sera dès lors une fonction déterminée de celui-ci. Comme, de plus, les dimensions d’une molécule, ou même celles d’un élément de volume qui en contient plusieurs-, et aussi les excursions lumineuses de chaque espèce de matière, sont petites en comparaison d’une longueur d’onde, les déplacements vibratoires u, v, n< (suivant trois axes rectangulaires) de tout l’éther qui entoure aux divers instants un groupe de molécules pondérables, se trouveront les mêmes, à une première approximation, pour tout cet éther.

Par suite, à ce degré d’approximation, et vu la petitesse excessive des variables (qui permet en général de donner aux fonctions la forme linéaire), les déplacements analogues, Vi, n>i, des molécules pondérables comporteront des expressions du premier degré , mu, v, m, telles que

», = A* -t- A'® -t- k"w , ®, = B® -1- BV -+- B"», î®, = C», -1- C'» -t- C"t,

A,A',A",B,.... C" désignant des coefficients très-petits qui dépendent, pour chaque molécule, de sa masse, de sa figure et de ses dimensions. Les moyennes des composantes pareilles à l’intérieur d’un élément de volume , ou ce qu’on peut appeler les déplacements moyens de la matière pondérable, auront évidemment la même forme ; en sorte que, si ce sont ceux-là que représentent les formules ci-dessus, et si p désigne la dedsité de l’éther , p, celle du corps , les inerties, changées, de signe, de toute la matière comprise dans l’élément vaudront, suivant les trois axes et par unité de volume.

I d^u , d^v ,, ûî*«) \

Et l’on aura les équations indéfinies du mouvement vibratoire, en égalant ces expressions aux composantes totales des forces élastiques de l’éther, composantes qui sont, avec les notations de Lamé, familières à tous les géomètres,

En effet, chaque molécule pondérable, n’étant soumise qu’aux impulsions de l’éther ambiant, alourdit celui-ci de toute la valeur de son inertie propre, sans modifier d’ailleurs son ressort ; d’où il suit bien que les équations du mouvement se forment comme dans le problème d’une corde élastique vibrante, autour de laquelle est emoulé un fil massif, non tendu, entraîné avec elle. Seulement, les excursions de la matière pondérable ne sont ici qu’une fraction infiniment petite de celles de l’éther, fraction qui peut même varier, dans les divers sens, suivant la forme des molécules ou groupes atomiques et leur faoüité correspondante à se laisser mouvoir.

Quand le corps est isotrope, c’est-à-dire pareillement constitué dans toutes les directions, sa matière se déplace, par raison de symétrie, suivant le même sens que l’éther vibrant, et les expressions des déplacements moyens des molécules se réduisent à Am, A®, Aro. Les mouvements se font donc comme s’il n’y avait point de matière pondérable, mais que la densité de l’éther eût été portée de p à p -i- p, A. Ainsi s’explique l’hypothèse de Fresnel, devenue classique, qui attribue à l’éther d’un corps la même élasticité qu’à l’éther fibre, mais une densité plus grande: opinion qu’il convient d’abandonner et qui n’était qu’une manière de tenir compte de la participation de la matière pondérable au mouvement.

Après les milieux isotropes, viennent ceux qui admettent en chaque point trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, dans chacun desquels , la matière pondérable exécutera ses vibrations quand celles de l’éther y seront elles-mêmes contenues. Alors, M ,, ® ,, ro, devant s’annuler respectivement dès que u, ou®,ouî® s’annulent, leurs expressions se réduisent à Am, B®, Ci®. Par suite, l’éther se comporte comme si, étant seul, il avait les trois densités p -4- Pj A, p -I- p,B, p -t- PiC, pour les mouvements effectués respectivement dans les sens des trois axes. Ces différences, provenant de ce que les molécules

auront des formes qui donneront plus de prise à leur entraînement par l’éther suivant'tel sens que suivant tel autre, sont justement tout ce qu’il faut, efrien que ce qu’il faut, pour qu’une analyse simple, dans le cas des degrés assez faibles de biréfringence que présente la nature, conduise à l’onde de Presnel, avec des vibrations dirigées comme le voulait Fresnel, à cela près, qu’au lieu d’être rigoureusement transversales, elles sont quasi-transversales comme le préfèrent les physiciens.

A une approximation plus élevée, il faut tenir compte de ce que la longueur d’onde peut n’être pas excessivement grande par rapport aux dimensions des molécules des corps, surtout des molécules intégrantes des sobdes, et encore moins par rapport aux arêtes d’unparallélipipède élémentaire, employé pour obtenir les équations du mouvement, et qui doit contenir un certain nombre de molécules pour qu’on n’ait à introduire, dans les formules, que les déplacements moyens ou normaux de la matière pondérable existant en chaque endroit. Donc, tous les atomes d’éther qui entourent et meuvent un pareil ensemble de molécules ne doivent pas être censés exactement, à une même phase de leur vibration. Alors, pour définir l’état actuel de l’éther dans tout le champ considéré, beaucoup plus grand peut-être que l’amplitude des oscillations mêmes, il faut se donner, non seulement les valeurs des petits déplacements u,v,m en un point du champ, mais aussi, au même point, leurs dérivées partielles successives (également très petites) par rapport aux coordonnées d’équilibre x, y, z .Les déplacements, w,, des molécules,

fonctions de l’état considéré, auront donc, en outre de leurs termes principaux en M, ®, «) trouvés tout-à-l’heure, d’autres termes, contenant linéairement oes dérivées

Des considérations d’isotropie perme liront d’ailleurs de simplifier notablement ceux-ci ; car tous les corps transparents connus sont assez peu hétérotropes, pour que des termes d’une influence déjà minime puissent se calculer comme si la constitution de la matière y était la môme par rapport à toutes les positions possibles d’un système d’axes rectangles qui tourné arbitrairement autour de l’origine. Or, oes termes, par les petits changements qu’ils introduisent dans l’expression de l’inertie de la matière pondérable suivant chaque axe, donnent, le plus simplement possible, l’explication de la

dispersion et de la polarisation rotatoire, avec lenrs lois expérimentales reconnues.

L’auteur des mémoires analysés se dispense donc de recourir à la considération d’équations aux dérivées partielles, linéaires mais à coefficients périodiques en x, y, z, sur lesquelles d’autres essais de théorie ont fondé leurs explications des phénomènes de dispersion et de polarisation rotatoire, l’un d’eux même celle delà double réfraction. Il évite par conséquent, lui seul, d’employer la méthode hardie, imphquant des hypothèses non justifiées, par laquelle Cauchy a'tenté d’intégrer ces équations, méthode qui, au moins dans ses applications effectives avec développements en série, paraît conduire à des résultats contradictoires, suivant qu’un coefficient périodique, la densité p, y affecte les seconds membres des équations (où sont les dérivéessuivant que c’est son inverse — (développable en série au même titre, mais pas plus, que le coefficient lui-même) qui affecte le premier membre. M. Boussinesq avait reconnu, dès 1869, cette difficulté grave, que M. de Saint-Venant a signalée aux physiciens géomètres dans son mémoire Sur les différentes manières de présenter la théorie des ondes lumineuses, publié en 1872 aux Annales de chimie et de physique (4™ série, t. xxv).

Après l’étude des phénomènes produits à l’intérieur des milieux homogènes transparents vient celle, non moins importante, des faits qui se passent à la surface de séparation de deux milieux. Il faut absolument pour les expliquer, comme l’a montré Cauchy, poser des conditions de continuité exprimant que, de part et d’autre de la surface, les déplacements u, ®, w de l’éther, ainsi que leurs dérivées premières, - ’ -j — -, suivant le sens normal, ont mêmes valeurs. Or, ces conditions sont évidemment satisfaites dans le système de M. Boussinesq. Car, d’abord, l’éther formant un milieu continu, dont les corps ne changent sensiblement ni l’élasticité, ni la densité, les déplacements u,v,my varient graduellement partout. En outre, si l'on considère un mince feuiUet matériel, pris à la .surface de séparation avec ses deux faces respectivement dans l’un et l’autre milieu, et d’une épaisseur très-inférieure à une longueur d’onde (quoique comprenant toutes les couches de transition), l’équilibre dynamique de ce feuillet exige que les pressions élastiques exercées de part et d’autre soient égales, comme il arrive, du reste, dans toutes les questions ■ analogues où ily a des pressions à considérer. Or, vu la constance del’élastioité

de l’éther et la continuité de u, v, m de part et d’autre sur toute la surface, cette égalité revient précisément à celle des dérivées de «f, ®, k suivant la normale, dans les deux milieux.

61. — Sur les lois qui régissent, à une première approximation (c'est-à-dire abstraction faite des pouvoirs dispersifet rotatoire), les ondes lumineuses propagées dans un corps homogène et transparent d'une contexture quelconque.'

Cette question, à peu près inabordable dans toute autre théorie par suite de la complication qu’elle y présenterait, ne conduit qu’à des calculs assez simples dans celle de M. Boussinesq, à cause de son hypothèse fondamentale d’une élasticité et d’une densité de l’éther constantes. Il y démontre ; 1" que la surface de l’onde, chez tout corps, transparent, n’a jamais plus de deux axes optiques, et que les rayons lumineux compris dans le plan de ces axes ou, sensiblement, dans une zone de quelques degrés de part et d’autre, sont régis par les lois de Fresnel ; 2° que, pour les cristaux des cinq premiers systèmes, où il y a un axe minéralogique normal au plan des autres et où une rotation, autour de cet axe principal, de 180” au plus, amène le cristal dans une position analogue à la première, le corps se comporte comme s’il admettait trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, ce qui conduit aux lois de double réfraction connues ; 3° que, dans le cas le plus général possible (mais avec faible biréfringence), U y a un ellipsoïde d'élasticité, dont chaque demi-diamètre donne, par son inverse, la vitesse de propagation des vibrations ayant sa direction. Seulement, les deux systèmes possibles de vibrations , pour l’onde plane qui coupe l’ellipsoïde suivant une ellipse quelconque, ne sont plus rectangulaires, ni orientés suivant les axes de l’ellipse ; mais leurs directions se trouvent, toutes les deux, également inclinées sur ces axes respectifs, d’un angle qui, nul pour les ondes ayant leur normale dans le plan des deux axes extrêmes de l’ellipsoïde, grandit, jusqu’à une Kmite plus ou moins grande (d’après la constitution du milieu), à mesure que cette normale se rapproche de l’axe moyen ; etc.

&%.—Addition au mémoireintituU « Théorie nouvelle des ondes lumineuses ».

(Journal de Mitkémaüques, 1868 ; t. XIII; p. 425 à 438.)

63. — Sur la vitesse de la lumière dans les corps en mouvement.

(Complee-Rendus, 24 juin 1812 1 t. LXXIV, p. 1513, el Journal de Malhémaliques, 1813 ; t. XVllI, p. 388.)

64. — Sur le calcul des phénomènes lumineux produits à l’intérieur des milieux transparents qu'anime une translation rapide, dans le cas où l’observateur farticipe lui-même à cette translation.

Ces recherches sont consacrées à trois ijuestions qu’on n'avait pu traiter dans aucune autre théorie de la lumière.

La première a pour objet le calcul de la puissance réfraotive et du pouvoir rotatoire des mélanges transparents (les dissolutions salines ou les mélanges gazeux, par exemple). Chaque molécule pondérable étant regardée comme indépendante des autres dans le mode d’explication analysé, les inerties des diverses molécules comprises dans un élément de volume s’ajoutent simplement, et l’on trouve de suite, conformément à l’expérience, quelapuissanceréfractive et le pouvoir rotatoire des mélanges s’obtiennent par l’addition des quantités pareilles relatives auX composants, lesquelles sont elles-mêmes proportionnelles aux densités de ceux-ci dans le mélange. Toutefois, on fait abstraction du pouvoir dispersif, et Ton suppose qu’il s’agisse de simples mélanges, non de combinaisons chimiques altérant la constitution des molécules.

La deuxième question, d’une grande importance, est l’étude des ondes lumineuses dans un corps animé d’une translation rafide. L’auteur, admeL tant que Téther peut circuler librement entre les molécules du corps comme à travers un filet à larges mailles, suppose qu’il n’est pas entraîné d'une manière appréciable, c’est-à-dire avec une vitesse comparable à celle du corps lui-même. Mais, à la translation des molécules se superpose, par le fait de la lumière ou des impulsions périodiques et alternatives qui les atteignent, l’imperceptible mouvement vibratoire que Téther contigu leur communiquerait si elles étaient en repos , mouvement à Tunissan de Téther et représenté

par les déplacements déjà exprimés plus haut en fonction de ceux,

U, V, H', de l’éther. La vitesse vibratoire et l’accélération vibratoire d’une molécule pondérable s’obtiendront toujours én substituant, dans ces expressions qui sont linéaires , k u, v, m leur dérivées premières et secondes par rapport au temps'; seulement, comme ici la molécule atteint successivement un éther toujours nouveau, et que c'est en accord avec cet éther qu’elle vibre , les dérivées, de u, v, m dont il s’agit s’évalueront, dans ces formules de «i, ®i, JT), en faisant croître à la fois t ie dt eh x, y, «Mes produits respectifs de dt par les trois composantes de la vitesse translatoire donnée, qu’on peut supposer constante pendant toute la durée du passage d’une onde lumineuse à côté de la molécule. De là, des expressions des inerties vibratoires de la matière pondérable un peu moins simples que celles qu’on aurait si le corps était en repos, et qu’on trouve pouvoir se déduire de cellesci en concevant la densité du corps multipliée fictivement par le carré — , où v désigne la composante de sa vitesse de translation sui¬

vant la normale aux ondes et u la vitesse de propagation. L’on obtient enfin, pour calculer cette dernière, c’est-à-dire pour calculer la vitesse effective de la lumière dans l’éther que traverse le corps, une expression, s’accordant, non-seulement avec la, célèbre formule approchée, que Fresnel tira par induetion d’une expérience d’Arago et que de belles observations de M. Fizeau ont confirmée, mais, même, avec une légère correction, relative aux pouvoirs dispersifs, que de délicates expériences de K. Mascart ont fait introduire dans cette formule (postérieurement à l’époque où M. Boussinesq avait publié tous les principes de cette analyse), correction consistant à exprimer que la vitesse de la lumière dépend à fort peu près, .non pas de la période réelle des vibrations lumineuses, mais de leur période apparente pour un observateur entraîné par le corps.

La troisième question concerne la polarisation rotatoire spécialeque présente un corps transparent, naturellement isotrope-symétrique, quand on le place ' entre les deux pôles d’un aimant. L’auteur y arrive, par une analyse simple, à toutes les lois expérimentales du phénomène ; mais ü a besoin d’une nouvelle hypothèse, nécessaire et suffisante. Elle consiste à admettre que les expressions des déplacements Ui, Vi, wi de la matière pondérable, déjà fonctions de ceux, u,v,n>, de l’éther, peuvent le devenir aussi des vitesses de ce dernier et acquérir, par conséquent, des termes linéaires, ; d’ailleurs, le genre

d’isotropie (autour d’uu axe) propre au champ magnéticjue réduit à uu seul ou à n’avoir du moins qu’un seul coefficient. Il nous faudra probahlement attendre d’avoir acquis une idée nette des phénomènes électriques et magnétiques, pour rechercher comment leur intervention expliquerait cette influence des vitesses vibratoires de l’éther.