V. — Mécanique générale et thermodynamique

65. — Action réciproque de deux molécules , dans un solide isotrope un peu dérangé de son état primitif d'équilibré.

66.— Recherches sur les principes de la mécanique, sur la constitution moléculaire des corps et sur une nourelle théorie des gaz parfaits.

./,Sù"i,1878;'t.XVliî“p®805 àS80.)“ P ■ . TP

L’article et le mémoire cités se rattachent à cette catégorie de recherches, hors du domaine directement accessible à l’expérience, où n’ont pas craint de s’engager tous les géomètres-physiciens qui, denosjours, se sont efforcés d’éclaircir les grandes questions de la thermodynamique, et même tous ceux qui ont essayé de se rendre géométriquement compte de faits physiques se dérobant dans leurs détaüs à nos observations, quoique perceptibles dans certains de leurs effets d’ensemble. L’auteur a tenté d’y expliquer mécaniquement les phénomènes fondamentaux de la solidité, de la fluidité, de l’état gazeux, ainsi que le passage de l’un de ces états à un autre et Réchauffement ou le refroidissement des corps. Il espère avoir rattaché ces phénomènes à des conceptions aussi simples que possible et toutes concordantes. Pour abréger, citons seulement, entre un grand nombre d’autres résultats :

1“ La manière dont l’auteur déduit toutes les lois générales de la mécanique du principe des forces vives, combiné avec cet autre principe, que les divers pointsmatériels d’un système isolé ont leurs accélérations parfaitement déterminées en fonction de leurs situations relatives actuelles ;

2“ La distinction, qu’il croit avoir établie nettement le premier, entre le

travail total des actions molécnlaires exercées, de l’extérieur, à travers un élément de la surface d’un corps, et le travail de la pression obtenue en composant ces forces comme si elles étaient appliquées au centre de gravité de l’élément plan. En effet, ce centre n’éprouvant que le déplacement moyen ou perceptible des points d’application véritables, le travail de la pression ne comprend que la partie des travaux des forces considérées qui correspond au mouvement visible ou d’ensemble ; en sorte qu’il laisse de côté le travail des mêmes actions pour le mouvement calorifique superposé au mouvement apparent, travail connu des physiciens comme étant la chaleur entrée dans le corps par l’élément plan, et que les auteurs de thermodynamique ajoutent sans en donner la signification mécanique précise. M. Boussinesq remarque donc que lesou résultantes dynamométriquement mesurables des forces moléculaires, tout en étant très propres à représenter ces forces dans les calculs des quantités de mouvement et même des moments, ne le sont plus, dans les calculs de travail ou d’énergie, lorsqu’il faut tenir compte des échanges de chaleur ; réfiexion importante, sans laquelle il n’est pas possible de s’expliquer d’une manière précise le premier grand principe de la thermodynamique , qui est celui de l’équivalence de la chaleur et dü travail.

67. — Construction géométrique des pressions exercées en un point quelconque ddun corps.

(Comptes-Hendus, n décembre 1816; t. LXXXIII, p. 1168.)

68. — Sur la construction géométrique des pressions que supportent les divers éléments plans se croisant en un même point d’un corps et sur celle des déformations qui se produisent autour d'un tel point. .

L’auteur, après avoir défalqué de toutes les pressions qui s'exercent en un même pointd’uncorpsunecomposante normale égale àla demi-somme des deux pressions principales extrêmes, ramène à une construction plane la représentation de toutes ces forces, pour laquelle l'ellipsoïde d?élasticité de Lamé exigeait V emploi des trois dimensions; et il peut alors, sans calcul, démontrer plusieurs résultats, touchant les plus grandes composantes tangentielles de pression, touchant les pressions les plus inclinées sur la

normale à. l’élément plan qu’elles sollicitent, etc. U applique une construction plane analogue à l’étude des dilatations et des glissements qu’éprouvent les diverses lignes matérielles se croisant en tout point d’un milieu, déformé d’une manière continue quelconque.

69. — Sur la théorie du potentiel, et sur la différentiation des intégrales . définies dans les cas oit la fonction sous le signe somme devient infinie.

(Comples-rendus, 10 février 1819 ; t. LXXXVIII, p. 2T1.)

70. — Sur la manière de présenter la théorie des potentiels dl attraction, dans l’hypothèse, généralement admise, de la discontinuité de la matière.

Ces articles ont été faits pour répondre à une forte objection, consistant en ce que la tbéorie classique du potentiel, édifiée, dans tous les cours de mécanique rationnelle, d’après l’hypotbèse delà continuité de la matière, paraît n’avoir plus de sens, et ne plus correspondre à rien de réel, dès qu’on l’applique à l’intérieur de corps composés de molécules distinctes, comme le sont tous ceux de la nature suivant l’opinion unanime des hommes de science.

M. Boussinesq remarque que le but ordinaire de l’emploi des potentiels d’attraction est de servir au calcul de la pesanteur, c’est-à-dire des forces, agissant à des distances perceptibles, qui sont inversement proportionnelles aux carrés de ces distances, et non au calcul des actions moléculaires exercées aux distances imperceptibles, forces très-importantes aussi, mais qui ne suivent pas la loi'de Newton. En conséquence, il appelle potentiel relatif à une masse donnée, pour un point (x, y, z) de l’espace, la somme dos éléments de cette masse respectivement divisés par leurs distances r au point {x, y, z), étendue à tous les éléments qui sont en dehors d’une sphère décrite , autour de ce point (x, y, z) comme centre, avec un rayon constant, beaucoup plus petit que les dimensions des corps, mais considérable par rapport à la distance de deux molécules voisines. L’exclusion des termes à'petit dénominateur r, relatifs aux éléments de masse très-voisins du point considéré, est, comme on sait, sans importance pour une matière continue : on pourrait, dans l’hypothèse de la oontimùté des corps, ajouter sans inconvénient tous ces

termes, quoiqu’ils ne correspondent (par leur dérivée) à aucune force réelle ; et c’est ce que font les auteurs de mécanique. Mais il n’en est plus de même dans la supposition d’une matière composée d’atomes disséminés ; car, alors, ces termes à petit dénominateur r, énormément chantgeanls pour d'imperceptibles déplacements du point (œ, y,..»), empêchent la somme de varier graduellement dans tou te région finie occupée par la matière; en sorte que le potentiel ne reste utilisable, pour l’étude du problème de la pesanteur, etc., et ne conserve son sens concret, qu’autant qu’on les exclut.

La différentiation d’un potentiel ainsi défini est d’ailleurs facile et naturelle. Le point (x, y, z), eu se déplaçant infiniment peu, emporte avec lui la petite sphère, qui occupe à son avant quelques éléments nouveaux de volume et qui en perd autant à son arrière. Comme il correspond à-ceux-ci des. éléments nouveaux gagnés par l’intégrale, de même qu’aux précédents, des . éléments perdus , la dérivée de la fonction doit comprendre, en outre de ce que donne la différentiation sous le signe somme et qui provient des variations des éléments qui lui sont communs dans ses deux états, des termes aux limites , exprimant ce qu’apportent ou ce qu’enlèvent les éléments gagnés ou perdus. Ces termes se trouvent être en tout, dans les dérivées premières du potentiel, de l’ordre du rayon de la petite sphère et négligeables. Mais ils valent — P 1®® t™i® dérivées secondes prises deux fois par rapport à X, ou deux fois par rapport à y, ou deux fois par rapport à p désignant la densité à l’intérieur et autour de la petite sphère : circonstance qui rend, conformément au théorème de Poisson, la somme de ces trois dérivées secondes égale à — 4 t: p.

Un savant professeur de mécanique, juge d’une haute compétence, M. Gilbert, s’est exprimé, au sujet de cette méthode, dans les termes suivants (dont il autorise la reproduction ici) : « A mon sens, il n'y a pas à douter que 06 ne soit là la vraie démonstration du théorème de Poisson...; tout ce que Clausius, Gauss, Dirichlet, etc. ont écrit là-dessus peut être fort élégant, mais n’atteint pas le fond de la question, comme le fait cette démonstration , si simple et si directe ».

71. — Des solutions singulières qui se présentent dans le problème du mouvement curviligne d'un point sous l’action d’une force centrale.

On enseigne, depuis Leibniz, dans les cours de mécanique, que toute la suite des états d’un système de points est complètement déterminée par les équations différentielles de leur mouvement, jointes à la connaissance de l’état initial, quoique cette opinion n’ait jamais été fondée que sur des aperçus assez vagues et sur l’absence d’exemples connus où elle se trouvât en défaut. Or, dès 1806, Poisson fut très-surpris, en se posant le problème du mouvement d’un point sur une ligne fixe et où l’accélération serait proportionnelle à certaines puissances positives de l’espace, de trouver que le mobile, déposé à l’origine des espaces sans vitesse initiale, pouvait aussi bien, d’après l’équation, rester indéfiniment à cette origine que la quitter au bout d'un temps quelconque : Varrêt est représenté par une solution singulière de l’équation, tandis que le départ et le mouvement sont exprimés par l’intégrale générale. Ce paradoxe, sur lequel Poisson appela toute l’attention des géomètres,,paraissait oublié des professeurs de mécanique et même des analystes, lorsqueM. Boussinesq, qui l’ignorait entièrement, fut conduit à penser qu’il existe des mouvements dont la suite n’est pas réglée par leurs équations différentielles seafes, et où les intégrales admettent, par suite, des bifurcations, des raccordements plus ou moins multiples, permettant de temps à autre des changements de voie. Et il trouva d’abord toute une classe d’intégrales singulières représentant des points d’arrêt, dans le genre de celui de Poisson, mais avec une variété bien plus grande, en ce sens que l’indétermination peut ou doit même (suivant les exemples choisis) se renouveler pendant toute la suite des temps, en une foule d’eudroits et d’une foule de manières, tandis qu’elle se présentait une fois seulement et en un seul point dans l’exemple de Poisson. De plus, les raccordements sont susceptibles d’y être ménagés avèc une continuité aussi parfaite qu’on le désire, vu que le contact des intégrales générales avec les intégrales singulières peut y être, non-seulement du second ordre, comme l’exige la nature de l’équation différentielle, mais d’un ordre supérieur quelconque et même infini. En outre, M. Boussinesq observa qu’un grand nombre de solutions quasisingulières, à raccordements asymptotiques ou ne joignant, en toute rigueur abstraite, les intégrales particulières que pour des valeurs infinies de la variable t , sont pratiquement équivalentes aux solutions singulières proprement dites.

Mais toutes ces solutions singulières, proprement dites ou asymptotes, ne représentaient que des points d’arrêt, et les bifurcations ne se produisaient, en quelque sorte, qu’à la faveur du repos, à des moments où la

vitesse était nulle. Il y avait donc lieu de chercher d’autres exemples, où l’indétermination surviendrait pendant le mouvement même. L’auteur les a trouvés dans le cas d’un mobile que sollicite une force dirigée vers un point fixe et fonction de la distance à ce point. Comme le principe des aires y ramène la détermination du mouvement le long du rayon vecteur au problème d’un mouvement rectiligne dans lequel l’accélération dépendrait seulement de la distance à l’origine et de la constante dès airés donnée, tous les points d’arrêt des solutions précédentes peuvent être transportés dans la question actuelle, et ils y deviennent des cercles, vu la rotation qui les emporte autour du point fixe. Le mobile, arrivé sur ces cercles , peut, à volonté, ou les quitter pour s’engager sur une trajectoire particulière, ou s’y maintenir pendant un temps arbitraire en y avançant d’un mouvement uniforme. M. Boussinesq applique d’ailleurs ce résultat au mouvement relatif du système que forment deux atomes soumis à leur action mutuelle, et il prouve que toute expression de cette force, propre à expliquer les deux ordres des phénomènes physiques et chimiques, entraîne l’existence d’au moins une trajectoire singulière, avec cette circonstance que, si la constante des aires n’est pas trop grande, le mobile' viendra indéfiniment s’y replacer après l’avoir quittée, ou que l’indétermination se reproduira sans fin.

Dans tous ces exemples, où , comme dans la nature, les accélérations ne dépendent que des positions relatives actuelles , et non des mtesses, l’état initial doit vérifier une certaine relation pour que les bifurcations se produisent , en sorte que les cas où elles se présentent ont quelque chose d’exceptionnel, M. Boussinesq montre qu’il en serait autrement si les accélérations étaient fonction aussi des -vitesses.

En résumé, le principe de la détermination complète de la suite des mouvements par leurs équations différentielles n’est plus admissible, comme principe universel ; et, par une conséquence rigoureuse , les forces des géomètres , je veux dire ces causes de mouvement que l’on se représente comme ayant le rôle précis et exclusif de produire des accélérations , cessent d’être suffisantes en mécanique. Elles demandent à être complétées , au moins logiquement, par l’adjonction de causes d’une autre espèce, de principes directeurs, dont la fonction serait de régler le choix entre les voies diverses que peut ouvrir à un-moment donné, devant un système matériel, le jeu

toutes ces causes de mouvement, soit forces, soit principes directeurs, inutile de dire qu’il reste complètement inconnu.

Mais est-ce seulement en mécanique rationnelle, et comme création pure de l’esprit, qu’il y a lieu d’introduire l’idée des principes'directeurs, ou bien la nature lui a-t-elle ménagé d’importantes applications, dans certains ordres singuliers de faits que le bon sens se refuse à placer sous la dépendance exclusive des lois mathématiques ordinaires ? Il sera parlé plus loin (p. 79) d’un travail où l’auteur a cru pouvoir se poser cette question.

72.— Sur les mouvements quasi-oirculaires d’mpoint soumis kV attraction d'un centre fixe.

(Comples-Heiidus, 9j\iiUet 1871; t. LXXXV, p. 65.)

72. — Théorie des mouvements quasi-circulaires d'un point pesant sur une surface de révolution creuse à axe vertical.

74. — Des petits mouvements d'un point pesant sur une surface fixe, décrite autour (Hun axe de révolution vertical.

75. — Théorie du mouvement quasi-circulaire d'un point , attiré par un centre fixe, et des oscillations d!Un corps pesant sur une surface creuse de révolution à axe vertical.

Ces articles sont consacrés à l’étude du mouvement d’un point, dans des circonstances où le principe des aires permet de ramener les questions au problème simple de mouvements rectilignes d’une amplitude restreinte .-et dont l’accélération se trouverait ne dépendre que de la coordonnée actuelle du mobile. Entre autres résultats, l’auteur y démontre;

1° Que, dans de telles oscillations rectilignes, le milieu de la trajectoire ne coïncide généralement plus avec la situation d’équilibre, ni avec la moyenne des positions occupées successivement par le mobile, dès la deu-

xième approximation, où l’on ne néglige pins le carré des déplacements, et que, à une troisième approximation, la durée de la période d’oscillation est elle-même changée;

2° Qu’un mobile, attiré vers un centre fixe par une force fonction de la distance à ce centre, ne peut décrire des orbites quasi-circulaires toutes fermées qu’autant que l’attraction, ou pour mieux dire, la tendance vers le point fixe, est, ou proportionnelle à la distance, ou inversement proportionnelle à son carré ;

■ 3“ Qu’il n’existe pas de surface polie de révolution, à axe vertical, sur laquelle un point pesant puisse décrire rigoureusement des orbites quasicirculaires toutes fermées, mais que l’ellipsoïde dont l’axe polaire est la moitié de l’axe équatorial approche, infiniment plus que les autres surfaces, de jouir de cette propriété ;

4“ Que, dans le cas de petites oscillations quelconques d’un point pesant sur une surface concave de révolution à axe vertical, la trajectoire peut être regardée comme une ellipse, en projection horizontale, même à une deuxième approximation, où l’on ne néglige que les puissances des excursions supérieures à la quatrième : mais cette ellipse est animée, autour de son centre, d’un mouvement de rotation, sensiblement uniforme, proportiennel à l’aire de l’ellipse et à un coefficient, positif ou négatif, dépendant de la forme de la surface (résultat que l’on connaissait pour le pendule conique, où la surface est une sphère) ; en outre, le mouvement relatif du mobile sur son ellipse ne se fait plus pendulairement, en projection suivant les axes de l’ellipse ;

5“ Le coefficient exprimant le rapport de la vitesse angulaire de l’orbite à son aire ne s’annule que pour l’eUipsoïde dont l’axe vertical polaire est moitié de l’axe équatorial (ou pour toute surface ayant, en son fond, un contact du quatrième ordre avec cet ellipsoïde), et le mouvement suivant les axes est alors pendulaire, quoique la durée de l’oscillation dépende des ampli-

6“ La durée de l’oscillation, ou de la révolution du point sur son orbite moSi'te, n’est constante, au degré d’approximation considéré, que pour les surfaces à méridien cycloïdal et pour celles qui ont avec elles un contact du quatrième ordre; et elle cesse de l’être à une approximation plus élevée ; de même, à cette approximation plus élevée, il n’y a plus de surface , ni de courbe, sur lesquelles le mouvement d’un point pesant puisse être pendulaire en projection horizontale; etc.