SOUS-DIRECTEUR DES ÉTUDES SCIENTIFIQUES A L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

C'est les principes des Mathématiques et la façon de les exposer qui m'ont surtout préoccupé; je me suis particulièrement appliqué à méditer les fondements de l'Analyse, j'ai essayé d'en approfondir les principes; j'ai tourné mes efforts vers l'enseignement, la coordination et la divulgation des vérités acquises, bien plus que je n'ai cherché à en découvrir de nouvelles. D'ailleurs, ma carrière s'est trouvée singulièrement conforme à mes goûts, et je n'ai pas eu à désirer qu'il y fût changé quelque chose.

Après avoir suppléé, pendant cinq années, M. Bouquet dans la chaire de Mécanique physique et expérimentale, j'ai été nommé, en 1881, maître de conférences à l'Ecole Normale. Là, mes fonctions mêmes m'obligeaient à réfléchir sur les principes, à chercher avec mes élèves la meilleure manière de les présenter : je me suis efforcé de leur montrer les difficultés qu'on y rencontre. Je suis persuadé que ceux qui enseignent doivent avoir pensé longuement à ces difficultés, si même ils ne doivent pas les développer et les résoudre devant des auditeurs trop jeunes ou trop pressés d'arriver au but. D'un autre côté, la clarté des principes facilite, abrège et assure le travail de

recherche chez ceux qui en sont capables, et le temps passé à se pénétrer de cette clarté n'est pas perdu pour eux. Si quelques-uns de mes anciens élèves estiment trop haut les services que j'ai essayé de leur rendre et Tinflucnce que j'ai eue sur leur pensée, je ne puis, tout en faisant la part de l'amitié qu'ils n'ont cessé de me témoigner, croire qu'ils se trompent tout à fait : j'ai confiance dans leur loyauté, comme j'admire leur talent.

Il y a vingt-cinq ans, M. Darboux a bien voulu me demander de collaborer avec lui et avec M. Hoùel à la rédaction du Bulletin dis Sciences maihèmaliques ; je m'honore de cette longue collaboration, à laquelle M. Picard s'est associé récemment : elle a absorbé une bonne partie de mon temps et de mon travail.

La production scientifique est aujourd'hui rapide et étendue : aucun savant ne peut avoir à sa disposition immédiate toutes les publications relatives à la science dont il s'occupe, et son temps ne suffirait pas à les lire attentivement. Il importe de signaler ces publications et les principaux résultats qu'elles contiennent : en parcourant l'analyse des principaux Livres et Mémoires, le travailleur peut se tenir au courant des découvertes essentielles et savoir quels travaux il devra consulter ou étudier, parce qu'ils intéressent particulièrement ses propres recherches. Être utile de cette façon et dans ce sens, tel est le but et la raison d'être du Bulletin; je me suis efforcé de regarder ce but, de faire connaître les œuvres plutôt que de les juger, d'en parler enfin avec la déférence que méritent ceux qui contribuent à accroître le domaine scientifique.

Je parlerai tout d'abord, dans ce qui suit, de celles de mes publications où se trouvent touchées quelques questions intéressant les principes; j'analyserai ensuite divers Mémoires ou Notes que j'ai publiés dans les Annales scientifiques de l'École Normale, dans les Comptes rendus, dans le Bulletin des Sciences mathématiques : je reviendrai sur ma collaboration à ce dernier Recueil, en insistant sur les articles qui m'ont paru avoir quelque portée générale; je signalerai, en terminant, plusieurs articles, d'un caractère philosophique, que j'ai publiés dans d'autres Revues.

Introduction à la Théorie des fonctions d'une variable.

Paris, Ilermann, 1886.

Les Leçons que j'ai dû faire à l'Ecole Normale supérieure, lorsque j'ai eu riionneiir d'y succéder à M. Darboux, en i88r, m'ont conduit h écrire ce Livre. Plusieurs mathématiciens illustres s'étaient, pendant une bonne partie du xix*^ siècle, grandement préoccupés de reviser les principes de l'Analyse, et de les établir avec une entière rigueur. Ce travail de critique était nécessité par les faits mêmes que l'on avait rencontrés en Analyse : il me semblait convenable de faire pénétrer dans l'enseignement ceux des résultais de cette critique qui me paraissaient être essentiels et vraiment élémentaires. En cela, d'ailleurs, je suivais l'exemple de M. Darboux, dont j'ai, à plusieurs reprises, utilisé et les leçons à l'Ecole, et les conversations ('), sans parler du Mémoire capital Sur les fondions discontinues (-). Mon but, en écrivant V Introduction à la théorie des fonctions d une variable, était de montrer que l'Analyse tout entière pouvait se développer en partant de la seule idée du nombre entier : avec le nombre entier, il est assez facile d'engendrer les nombres rationnels (positifs ou négatifs), je ne m'y suis pas arrêté; j'ai insisté au contraire longuement sur les nombres irrationnels, sans la considération desquels les notions de limite, de somme d'une série, de produit infini, de fonction continue, de dérivée, d'intégrale restent quelque peu confuses : j'ai exposé deux méthodes pour introduire les nombres irrationnels et légitimer les opérations faites sur ces nombres : l'une, irréprochable au point de

(') Je signalerai en parliculier la démonstralion de ce fait qu'une fonction continue atteint son maximum, et l'application de cette proposition à la démonstration classique (d'après Ossian Bonnet) de la formule (*)/(« -i- //) =/(a) -+-/(/'(« -H 9/()(n°' \l\o, 141), puis, dans un autre ordre d'idées, les n'' 65, 67, 68 de l'Introduction des Éléments de La ttiéorie des fonctions elliptiques relatifs au nombre e, à la fonction e-^, et aux fonctions circulaires.

(2) Annales scientifiques de l'Ecole Normale supérieure, 1^ série, T. IV, p. 67.

(*) M. Andoyer, alors qu'il était élève à l'Ecole Normale, m'a fait observer que la démonstration de cette formule ne supposait pas l'existence de la dérivée de la fonction f{jc) pour les valeurs extrêmes a et a + h.

vue logique, mais un peu formelle, est due à M. Méray ('); l'autre, sur laquelle j'ai insisté davantage, coïncide avec celle qu'avait donnée, en 1872, M. Dedekind dans le Mémoire intitulé Stetigkeit mid irrationale Zahlen. Elle se rattache très naturellement à quelques-unes des notions sur les ensembles que l'on doit à M. G. Cantor, notions qui étaient alors assez nouvelles en France, dont j'ai parlé avec quelque timidité, et dont l'importance dans l'exposition des principes de l'Analyse est maintenant éprouvée.

L'idée de nombre une fois complétée, les propositions classiques relatives à la notion de limite et à toutes celles qui en sortent prennent un sens parfaitement clair et précis; je n'ai eu qu'à utiliser des résultats acquis, à les repenser un peu profondément, à les disposer dans un ordre didactique : il n'y avait à cela aucune difficulté et, à le faire, je n'ai éprouvé que du plaisir : la joie de celui qui trouve la vérité n'est pas tout à fait inconnue à celui qui l'expose.

J'ai surtout utilisé le Cours d'Analyse de Gauchy, les Fundamenti perla Teorîca délie Funzioni di Variahdi reali de M. Dini, le Lehrbuch der Analysis de M. Lipschitz (-), le Mémoire d'Abel sur la série du binôme, les Mémoires de Dirichlet et de Riemann sur les séries trigonométriques, les premiers Mémoires de M. G. Cantor sur la Théorie des ensembles, quelques Leçons ou Mémoires de Weierstrass, le Mémoire Sur la Théorie générale des séries d'O. Bonnet ( ^), les Mémoires de M. Darboux Sur les fonctions discontinues et Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable ( ^).

En exposant les propositions fondamentales relatives aux séries et produits infinis, je me suis borné au cas d'une variable réelle. Toutefois, les démonstrations sont faites de façon à s'étendre immé-

(') Nouveau Précis cl' Aitaljse infinitésimale {x^-^i). Leçons nouvelles sur V Analyse, t. I, 1894. C'est aussi le point de départ de Heine \Die Eleniente der Functionenlehre, ( Crelle, t. 74, p. 172)].

(2) J'aurais pu tirer aussi parti du Calcolo differenziale, etc... de MM. Genocchi et Peano ( 1884) avec lesquels je me suis rencontré sur quelques points.

(^) Mémoires couronnés... publiés par V Académie de Belgique, t. XXIIf.

{'*) Journal de Liouville, 3'^ série, t. XI, p. 295. — Je ne cite ici que les Livres ou Mémoires utilisés pour les questions de principe. Sur un point de détail (p. 35o), je pourrais signaler un emprunt fait au Traite d' Ancdjse de M. Laurent.

diatement au cas d'une variable complexe. Pour ce qui est des fonctions, des dérivées et des intégrales, je me suis Lorné aux variables réelles; j'ai l'intention de traiter des variables complexes dans la seconde édition, que je prépare actuellement.

J'ai poussé le scrupule jusqu'à m'abstenir de toute interprétation géométrique; ce scrupule serait, à coup sûr, déplacé dans un enseignement élémentaire; il était, à ce que je crois, légitime, à cause du I)ut que je me proposais : montrer comment on peut fonder l'Analyse sur la seule idée de nombre.

Éléments de la Théorie des fonctions elliptiques.

i'aris, Gaulhier-Villars, .8.j-5, ,.Sy6. .898, rgo,. En collaboration avec M. MorA".

Nous corrigeons en ce moment, M. Molk et moi, les épreuves du second fascicule du dernier Volume de cet Ouvrage, dont le premier Volume a paru en i8f)3.

Nous avons d'abord réuni les propositions de la Théorie des séries et des produits infinis dont nous comptions faire un usage continuel Les iJo premières pages du premier Volume complètent en quelque sorte mon Inlroduclion à la ihéone des fonctions d'une variable; nous avons laisse de côté les propositions concernant les intéorales prises entre des limites imaginaires, uniquementparce que ces propositions sont, en France, enseignées partout, et qu'il nous semblait inutile (1 en reprendre l'exposition. Nous avons pris pour point de départ les fonctions /7, ^, l de Weierstrass définies par des séries ou des produits infinis à double entrée, mais sans donner pour cela à ces fonctions un rôle prépondérant; nous avons mis tous nos soins à bien expliquer

les diverses notations, en particulier celles de Jacobi et de Ch.Hermite et a montrer comment on pouvait passer des unes aux autres. Nous avons développé d'abord celles des propriétés des fonctions elliptiques qui se déduisent naturellement, par voie d'identité, des définitions analytiques que nous avions adoptées.

^ Le second Volume est consacré presque en entier aux fondions^. Nous avons particulièrement insisté sur le problème de la transforniation linéaire:, on sait que ce problème, dont toute la difficulté

repose sur la détermination d'un signe, a été complètement résolu par Cil. Hermite dans quelques pages admirables, imprimées dans le Journal de Liouville ('). Ce n'est pas toutefois la méthode de Ch. Hermite que nous avons suivie dans notre second Volume (-), parce qu'elle ne rentrait pas dans la suite d'idées où nous étions placés. Nous avons établi directement les formules relatives à la fonction h(T) de M. Dedekind (^) sous la forme donnée par M. Weber dans ses Klliplische Funclioneri (p. loo). La démonstration de M. Weber, très remarquable par sa grande concision, est une vérification ; la voie que nous avons suivie, plus longue sans doute, conduit naturellement au but, en partant des relations mêmes que M. Dedekind avait établies ("), et que M. Molk a eu la pensée d'utiliser: elles permettent, quand on se donne les entiers a, h, c, d liés par la relation ad—hc=^i,

d'obtenir h (- — 7^ j au moyen de li(':). En transformant ces formules

de manière à y introduire le symbole de Legendrc-Euler, nous sommes parvenus aux formules cherchées, sans avoir d'ailleurs à i'aire intervenir la signification arithmétique de ce symbole.

C) 2" série, T. m.

(-) Elle se trouvera toutefois exposée, avec tous les préliminaires iudispensables, à la fia du dernier Volume. Celui-ci se terminera en effet par une lettre que Ch. Ilerniitc m'a écrite quelques semaines avant sa mort, et où il donne une démonstration des formules relatives à la transformation linéaire des fonctions

^<^)=^-''nHHJ^' *'^)=nT

formules qu'il avait données sans explications dans le t. XLYI des Comptes rendus (p. 588 et 71 j). L'illustre géomètre s'appuyanl dans sa lettre sur les formules mêmes de la transformation linéaire des fonctions S;, telles qu'il les avait établies dans le Journal de Liouville, il nous a paru opportun, afin que sa pensée fût mieux comprise, d'établir ces formules d'après sa méthode et sous la forme précise qu'il avait obtenue.

(3) T représente le rapport des périodes; M. Dedekind désigne celle fonction par r, (t). On a

(*) Ricmanits fFerke. 2"= édil. Nachlass XXVII.

La fin du second Volume est consacrée à celles des propriétés des fonctions sn,cn, dn(etdes fonctions analogues) qui se déduisent naturellement des propriétés antérieurement établies des fonctions o- our.

Au début du troisième Volume, nous avons réuni les tbéorèmes généraux (Liouville, Hermite, etc.) concernant les fonctions doublement périodiques de première, de seconde et de troisième (^) espèce et les applications de ces théorèmes à la démonstration des propriétés des fonctions particulières qui avaient été précédemment introduites. Nous avons ensuite traité de l'intégration des fonctions doublement périodiques.

Cette intégration, une fois la fonction doublement périodique décomposée en éléments simples, ne présente, comme l'on sait, aucune difficulté, sauf, peut-être, pour l'évaluation des intégrales de la forme

le long d'un cbemin donné, parce qu'il est alors indispensable de préciser le multiple de 2-^ qui s'introduit, à cause du logaritbme. Cette question ne peut être évitée dans le calcul des intégrales elliptiques de troisième espèce; nous avons indiqué deux méthodes pour lever l'indétermination, l'une fondée sur l'emploi des séries trigonométriques; l'autre, qui ne s'applique que dans le cas où q est réel, positif et plus petit que un, résulte facilement de l'étude de la figure que l'on obtient en faisant la transformation conforme w=^,(ç) du rec-

tangle dont les sommets sont les points ~~ ~ ' (T. 111, Chap. VI).

Cette méthode s'applique par exemple dans le cas du pendule sphériquc ou du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, comme nous le montrons dans le fascicule qui est sous presse.

Jusque-là nous avions considéré les fonctions doublement périodiques comme données au moyen des périodes, ou, s'il s'agit des

(') A propos des fonctions de troisième espèce, il convient de signaler (n" 380) un emprunt fait aux EUiptische Funcùnnen (p. 4o) de M. Wcber. La démonstration d'une propriété de la théorie des substitutions qui se trouve au n^ 131 est tirée du môme Ouvrage (p. 73).

fonctions de Jacobi, au moyen du rapport r: des périodes. Nous avons consacré un Chapitre (T. 111, Ch. Yll) à la solution et aux conséquences de la solution des deux problèmes suivants, dont le premier se ramène aisément au second.

Quand on se donne les nombres, y.j, Y3 ou x, trouver tous les couples de nombres à rapport imaginaire to,, CO3 ou tous les nombres imaginaires't dans lesquels le coefficient de i" est positif, qui vérifient respectivement les équations

^2(^-^1,^3) = y-2, 03(^1» ^''3) = y3. ou

Il est à peine utile de dire que, dans les premiers membres de ces équations, g., (w,, CO3 ), g^ (co,, CO3) ou k- (t^ représentent les fonctions de co,, W3 ou de t qui ont été définies dans les Chapitres antérieurs. Nous croyons avoir exposé d'une façon simple et naturelle la solution de ce problème classique, de manière à bien faire saisir, d'une part, les propriétés essentielles de la fonction t considérée comme une fonction de x, d'autre part les meilleures méthodes pour le calcul numérique. Nous avons tiré pour cela grand parti de mon Mémoire Siœ une équalion différenlidle linéaire du second ordre, dont il sera question plus loin.

Nous nous sommes occupés ensuite des fonctions inverses de su?/, pu, . . ., en particulier du problème qui consiste à déterminer la valeur de u quand on se donne snw, sn'w ou pu, pu. Le problème est alors déterminé à des multiples près des périodes 2 K, -liK' ou 2to,, 2 w.j ; on trouve dans le Formulaire de M. Schwarz des séries très convergentes pour résoudre ce dernier problème; nous avons insisté sur la démonstration de ces formules, sur leur sens et leur usage, puis (Chap. IX, t. IV) sur la façon de définir, dans le cas où g., et ^3 sont réels, u comme une fonction univoque de j, parla formule r = pu, en introduisant des coupures convenables dans le plan qui sert à représenter la variable y, coupures formées de lignes droites quand les racines de l'équation

sont réelles, de lignes droites et d'arcs de cercle quand deux de ces

racines sont imaginaires conjuguées; on arrive à ce résultat d'une part en étudiant la représentation conforme y = pu de la moitié du rectangle, ou du losange, des périodes de la fonction p (^l\to^,(My),

suivant que w,, -^ sont réels ou que co,, co., sont des imaginaires conjuguées (n"' 591,594); d'autre part (Note du Tableau des formules, t. IV, p. I J9), en partant de la série même qui permet le calcul de 11, connaissant pu. La première méthode s'applique très facilement à la définition précise de la fonction inverse desnz/, lorsque ^^ est réel, positif et plus petit que un. Nous n'avons pas abordé le cas où ^o et g\ sont imaginaires; mais dans le cas où les invariants sont réels, les explications que nous avons données permettent de calculer, sans aucune ambiguïté, les intégrales du type

prises le long d'un chemin donné quelconque. Au reste, cela a été pour nous un souci continuel que de ne laisser aucune ambiguïté dans la signification des formules ou des opérations.

Le dernier fascicule, qui est sous presse, contiendra le développement de quelques applications classiques, les notions essentielles relatives à la division des périodes et à la théorie de la transformation, enfin la lettre de CIi. Hermite, dont j'ai dit quelques mots dans ce qui précède.

Le Formulaire de M. Sclnvarz (') nous a été grandement utile. La plupart des propositions et formules qui y sont contenues se trouvent démontrées dans notre Ouvrage, auquel nous avons joint aussi un Tableau de formules; soutenus en cela par l'inépuisable complaisance de JM. Gautbier-Villars, nous nous sommes efforcés de rendre ce Tableau aussi pratique que possible. Il se trouve divisé en deux parties : l'une termine le Tome II, l'autre est à la fin du fascicule du Tome l\ qui a déjà paru.

(') Formules et propositions pour l'emploi des fo/f étions elliptiques, d' après des Lcro/is et des Notes manuscrites de M. R. TFeierstrass, traduction de M. Padc.

Deux Leçons de Cinématique.

Paris, Gaulliier-Villars, 1886(1).

J'ai cherché d'aljord à exposer les propositions fondamentales de la théorie des vecteurs, qui sont les préliminaires indispensables de la Cinématique, de la Statique et de la Dynamique, de manière qu'elles pussent entrer dans un enseignement élémentaire, et que leur généralité fût aperçue clairement. J'ai insisté de mon mieux sur la détermination des signes et la disposition des éléments géométriques.

Dans la seconde Partie, j'ai appliqué ces propositions à la démonstration des propriétés classiques du mouvement d'un plan qui glisse sur un plan ou d'un corps solide qui tourne autour d'un point fixe : expression de l'accélération d'un point; expression du rayon de courbure de la trajectoire d'un point; la seconde expression est déduite simplement de la première, en sorte que la démonstration ne comporte aucune ambiguïté de signe.

Leçons d'Arithmétique théorique et pratique.

A. Colin (1894).

C'est un livre d'enseignement, qui fait partie de la collection publiée sous la direction de M. Darboux.

Je me suis efforcé de faire pénétrer un peu de philosophie dans l'exposition des principes, mais en tenant con)pte de l'état d'esprit de ceux à qui ce Livre était destiné et en écartant les discussions subtiles qui intéressent plus la Philosophie proprement dite que l'Arithmétique. Avant d'exposer la numération, qui implique en réalité la connaissance des quatre opérations fondamentales, je me suis elTorcé de faire bien saisir, sur des exemples concrets, le sens de ces opérations; de même pour les fractions : après en avoir expliqué l'origine concrète, j'en ai exposé la théorie abstraite, ainsi qu'avait

(') Publié aussi dans les Annales de l'École Normale.

déjà failli. Méray, en les regardant comme des couples de nombres entiers. A propos du système métrique, j'ai expliqué, d'une façon élémentaire, les propositions fondamentales relatives à la mesure des grandeurs, et j'ai repris ce sujet, après la théorie des nombres irrationnels, d'une façon plus élevée, en adoptant un point de départ que m'avait suggéré ^I. Darboux ('). J'ai terminé ce Livre par un exposé sommaire des éléments de la Théorie des nombres, rédigé avec l'intention de faire comprendre aux élèves qu'il y a là une véritable science et non pas une réunion de théorèmes plus ou moins curieux.

Enfin, j'ai introduit çà et là quelques renseignements historiques, que je dois tous à mon frère, M. Paul Tannery, bien connu par ses nombreux travaux d'Histoire et de Philosophie.

Introduction à l'étude de la Théorie des nombres et de l'Algèbre supérieure, par Emile Borel et Jules Drach, d'après des Conférences faites à l'École Normale supérieure par M. Jules Tannery.

Paris, Nony, i8(jl.

Je ne signale ce Livre que pour répéter ce que j'ai dit dans la Préface, à savoir qu'il est l'œuvre de M^M. Borel et Drach, non la mienne; les Leçons que j'ai faites à l'École Normale en ont été l'occasion, non l'origine. La partie qui concerne l'Algèbre, en particulier, est l'œuvre de M. Drach. La Note I, oi;i l'on montre comment on peut reconnaître si un polynôme donné est divisible par un nombre entier quelconque, et trouver inversement tous les polynômes divisibles par un nombre donné, appartient exclusivement à M. Borel.

(1) Ce n'est pas la seule fois que j'aie ulilisé les conseils de M. Darboux; je me contente de signaler le n" 242, relatif à la rcclierclie de la fraction génératrice d'une fraction décimale périodique.

Ifi —