I -+- X IX IX^ 2X
que j'ai communiquée à Weierstrass, avait d'ailleurs été signalée dès 1876 par M. E. Schrôder ( ' ).
Sur les intégrales eulériennes.
{Comptes rendus, t. XGIV, p. 1698; i88"2.)
C'est l'application aux deux séries obtenues en développant suivant
[') Zeitschrift fur Math, und Ph., 22* année, p. 184.
les puissances de x les deux fonctions
cIjc
d'une proposition due à M. Appeil et d'après laquelle, si les deux séries à coefficients positifs ^u^x'\ V c„ a?" sont divergentes pour
^ = I , convergentes pour j ar | <; i et si le rapport — tend, pour n infini, vers une limite, le rapport
tend vers la même limite quand x s'approche de un par valeurs réelles croissantes. On arrive ainsi à la proposition suivante: si l'on pose, avec M. Prym,
-, t I 1 II
z is-f-i i.2:;-|-2
on a, pour les valeurs réelles de s, la relation
Si mes souvenirs sont exacts, un développement plus général avait été obtenu antérieurement par M. Genocchi, dans un Mémoire dont il m'est impossible de retrouver le titre.
Sur la suite de Schwab.
{Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. V, p. 484; J88i.)
Dans le volume consacré par Cremona et Beltrami ( ' ) à la mémoire de Chelini, M. Borchardt a traité la question suivante : Étant donnés deux nombres positifs a, b, on fait
trouver la limite de la suite indéfinie
a, b, ai, t>i, «2, b.2, ....
J'ai observé qu'on arrivait immédiatement au résultat, par les formules élémentaires de la Trigonométrie, en posant
a =z 6 cos a I o < a < ou
a =1 è ch a (o <; a),
suivant que a était plus petit ou plus grand que b; on trouve ainsi,
pour la
second.
pour la limite cherchée, dans le premier cas, dans le
Sur les substitutions linéaires par lesquelles une forme quadratique ternaire se reproduit elle-même.
(Bulletin, T* série, l. XI, p. '221; 1877.)
Le point de départ de ce petit Travail est dû à Cli. Hermite, comme aussi la plupart des formules qui y sont établies et que l'Auteur avait données sans démonstration.
(') Voir Bulletin, même Volume, p. 4^5.
Le problème consiste à trouver les substitutions linéaires exprimante, y, z en X, Y, Z qui changent la forme quadratique
f{x,y,z) — ax'^+ a' y^ -h a" z- -h 2 by z -h 1 b' z ûc + 2 b" jcy
en/(X,Y, Z). La solution, qui avait été indiquée par Hermite dans ses conférences à l'École Normale, consistait à remarquer que le problème revient à trouver les substitutions linéaires exprimant u, v, w, au moyen de U, V, W, de façon que l'on ait identiquement
« U + p V 4- IV W = o, en supposant
« = .r — X , (' 1=^ >' — Y , iv := z — Z,
on déduit de là immédiatement les substitutions cherchées, propres ou impropres. Les premières sont données par la résolution des équations
2 (.r - X) = V (/; +/; ) - fx (/: +/^),
2 {y - Y) = À (/: -f-Zz ) - V (/;. +/i), 2iz-z)^ix (/;. -4-/0 -- >. (./;. +/v),
A,fj.,v étant des paramètres arbitraires, ou par la résolution des équations équivalentes
où les paramètres a', u.',v' sont liés aux paramètres X,|j-,v par les relations
dans lesquelles F(A, [x, v) est la forme adjointe à/(X, p., v). Les substitutions impropres s'obtiennent par des formules analogues; au rjste, elles se déduisent des substitutions propres par le changement de X, Y, Z en —X, —Y, — Z. La double forme sous laquelle sont obtenues les substitutions propres facilite la résolution par rapport
aux variables ce, y, z et l'on parvient ainsi aux formules d'Hermite
^ [i + F (À, //, V )] --^ X [ 1 - F ( À , p., V )] + ( v/; - IX fi ) + 2 n À',
ou
/.;.[! + F (/, IX, V )] r=-/x [. - F (?,, [x, vj + 4 (v' Y - ix' Z) + 4 AU/,
dans lesquelles A est le discriminant de la forme/(a7, j,s) et II est mis à la place deX^c -h \i,y -hvs=:XX + [jLY-hvZ.
En composant deux substitutions du groupe déterminées respectivement par les paramètres (X, (j., v), (X', [x', v), on obtient une substitution du groupe dont les paramètres l,m,n s'expriment rationnellement au moyen de X, [jl, v, X, [j.', v' : ces expressions, données par Ch. Hermite, résultent simplement, comme je l'ai montré, des formules précédentes.
Je dois faire observer que la plupart des résultats déduits dans ce petit Travail d'une façon très élémentaire avaient été démontrés implicitement ou explicitement par Laguerre dans son Mémoire Sur le calcul des systèmes linéaires^ inséré dans le LXIP Cahier du Journal de VÉcole Polytechnique {Œuvres, t. I, p. 2/j3 et suivantes).
Note relative aux formes binaires du troisième degré.
{Bulletin, 2" série, t. I, p. 9.60; 1877.)
C'est la solution d'une question que Ch. Hermite avait bien voulu m'indiquer.
On obtient la condition pour que l'équation du troisième degré en X
\{a^x^ -l- 3 a, a?^ + Sa, j: H- «3) -I- a\^ x^ -i- 3 a', x^ -\- Z a\ x -\- a, =: o
ait ses racines égales en égalant à zéro un polynôme du quatrième degré en X, polynôme dont j'ai calculé les invariants i ely; en posant
a' ir: 2 (au a', — à^ a,), b' ^^ a^ a\ — a\ a^,
a" = 2 (0,03 — a'j aj), b" ■= a, a'^ — a^ a^,
et en désignant par A le discriminant de la forme quadratique ternaire dont a, a', a", i h , i b' , i b" 's^oni les coefficients, ces invariants s'expriment par les formules
(^i = {a + b)[i2 ^ + {a + bf] 36y=: — [54A^+ i8A(a + ^^)^ + (a + ^)«],
en sorte que le discriminant i^ — Gj- du polynôme du quatrième degré en 7. se met sous la forme
le facteur entre crochets n'est autre que le résultant des deux équations
(7o^^ + 3 «1 j?- + 3 «oX -h a^ =: o, a'^ x^ + 3 a', .j;^ + 3 a^ x -h à^ rr: o.
Ce résultat avait d'ailleurs été obtenu par Clebsch, au moyen de la notation symbolique.
Sur les fonctions symétriques des différences des racines d'une équation.
{Comptes rendus, t. XCVIII. p. ^\■i\'■, 1884.)
Sylvester venait de démontrer que les fonctions symétriques des différences des racines de l'équation
( I ) z" -h nul z"-^ + «(/«— I ) «2 ~'*~^ + ••• -i- n {n — i) ... 2. i. a,, — o
étaient des fonctions entières des sommes So, S3, ..., S,^ des carrés, des cubes, ..., des «■'^•"«^ puissances des racines de l'équation
j'ai montré comment on pouvait obtenir explicitement ces fonctions en posant d'une part
S,- + «1 s, -.1 + ... 4- «/! Si H- icti — o ( i zz: 1 , 2 . . . , co) ; T. 4
puis, d'autre part.
on a alors, en effet, identiquement
4/(.r) cp (.r) -t- o'(.r) =0,
d'où résultent, en égalant à o les coetricients des puissances de ^, les relations entre les S et les C; or, les fonctions symétriques entières des différences des racines de l'équation (i) sont des fonctions symétriques entières des différences des racines de l'équation
^'^'' j -\- n{n— i) {n— 2) CsZ^'-^ +. ..-i-n{n—i)...i.C„=o,
que l'on obtient en faisant dans Téquation (i) la transformation Z = ::+«,, ...; elles s'expriment donc en fonction entière de
Co, C3, . .., C„, et par suite do S2, S3, ..., S,,.
Sur le plan oscillateur aux cubiques gauches.
{Bulletin, \'' série, t. XI, p. 283 ; 1876.)
En supposant que les coordonnées xi d'un point de la cubique s'expriment au moyen des paramètres /, s par des équations de la
forme
jci = Gi f^ + 3 h, ts- + 3 Ci ts"- + di s^ (<■ = 1 , 2, 3, 4),
l'équation du plan osculateurau point de coordonnées ^;(^= i' ^,3, 4) s'obtient aisément sous la forme
Ih
di
Ck
eu
qui met en évidence diverses relations entre la théorie des cubiques gauches et celle des complexes linéaires, relations établies par M. Appell dans sa Thèse. Dans la même Note j'indique une génération d'une cubique gauche définie par certaines conditions géométriques.
Sur une surface de révolution du quatrième degré dont les lignes géodésiques sont algébriques.
( Bulletin de la Société philomathiqae de Paris, %" série, t. IV, n° 2, p. Sj. — Bulletin des Sciences inathématùjiies, -i* série, t. XVI; 189^.)
M. Darboux, dans la Note XV de la Mécanique de Despeyious, a montré que toutes les surfaces de révolution pour lesquelles x, y, z s'expriment au moyen des variables u et 0 par les formules
^=1 lî ces u ces 0, j =: H cos u siu 0,
R / \l[^\i- -\- f {ii)Y — •s'ni^ u du
ont leurs lignes géodésiques fermées pourvu que a soit un nombre rationnel et que/(«) soit une fonction impaire de u. J'ai observé que - est évidemment une fonction algébrique de sin u, si l'on pose
!-«•= -5 f {u) ^= i'iw II .
On obtient ainsi la surface de révolution définie par les é([ualions
cr = y cos u cos 0,
/ = 7 cos II Slll 0,
. u f . Il ll\
c = 2 a sni y soi - + cos -j ?
OU par l'équation
l'équation différentielle d'une ligne géodésique se met aisément sous
la forme
d^ cos a 2 H- sin //
du cos u y/eos' u — cos^ a
en désignant para l'angle sous lequel cette ligne coupe le parallèle maximum.
En intégrant, on trouve que la ligne géodésique peut être définie par l'une ou l'autre des équations
. ,, . v/sin^a — siri-// 2 siii // — sin"-a (i -!- siii //)
Slll {() — y.)= î ^^ ^^ ,
sui-a ces// (i — Slll «)
cosa sin^a(i + sin //) — 2sin-//
cos 0 — y.)=z -T^^ -. ^ ,
Slll- a cos// (1 — sin//)
qui mettent en évidence son caractère algébrique. Au reste, la projection de cette courbe sur son pian de symétrie a pour équation
!iaji- {a — z)^ tjuiga siiia — {a- -{- 2az — z-)a- — 2 {a- — z-)-.
