BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

Le Bulletin comprend, comme Ton sait, deux Parties, l'une consacrée aux ouvrages publiés séparément, l'autre aux publications périodiques. J'ai pris une part notable à la rédaction de cette seconde Partie, mais je me bornerai à signaler l'analyse détaillée que j'ai donnée des premiers Mémoires de M. G. Cantor (*), dont l'importance m'avait été signalée il y a très longtemps par M. Mittag-Leftler et dont ce dernier venait de publier dans les Jeta Mathematica une traduction française; l'analyse que j'en ai faite a pu contribuer à faire connaître en France les idées de M. G. Cantor, dont l'importance n'est plus contestée.

Quant aux comptes rendus que j'ai publiés dans la première Partie, je me contenterai de citer les titres d'un certain nombre de Livres que j'ai analysés. Les renvois se rapportent tous à la première partie de la deuxième série du Bulletin : les cbitTi'cs lomains indiquent le tome, 1 es chiffres ordinaires concernent la pagination.

J'ai fait suivre cette liste de quelques citations: j'ai uniquement cité des passages qui m'ont paru avoir quelque intérêt général, pliilosophique ou littéraire.

Cayley. — An elemoiitary Trealise on elli|)lic Fiinctions, I, gS.

DiM. — Su alcune Funzioni che in lulto un inlervallo non hanno mai derivata, I, 283.

Reulaux. — Cinématique, I, 36i.

KœmGSBERGER. — Zur Gesclùchte der Théorie der elliplischen Functiouen, III, 8g.

LipscHiTz. — Lehrbuch der Analysis: Erster lîand, IV, 385.

Schilling. — Sur la surface minima de cin(|uième classe, IV, 3g5.

(1)2" série, t. VlII, p. 162.

DiM. ~ Série di Fourier e altre rappresentazioni analitiche délie funzioni di una variabile reale, V, 12.

Hermite. — Cours professé pendant le deuxième semestre de l'année 1881 , VI, 169.

HôLDER. — lîeitrage zur Potentialtheorie, VII, 63.

KœxiGSBiîRGER. — Allgemeinc Untersuchungen aus der Théorie der DifTel'cMitialgleichungen, Vil, 5.

SciiwARz. — Beweis des Salzes, dass die Kugel kleinere Oberflache besilzl, als Jeder andere Korper gleiches Volumens, IX, 25.

Hermite. — Sur quelques applications des fonctions elliptiques, XI, 27.

Halphen. — Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications; XI, ■i[) ; XII, 253.

Jordan. — Cours d'Analyse à l'École Polytechnique, t. IH, XI, 262.

Harnack. — Die Grundlagcn der Théorie des logarithmischen Potenliales inid der eindeutigen Potenlialfunktion in der Ebene, XII, 77.

Bertrand. — Calcul des probabilités, XIII, 25.

ScHœNFLiEss. — Géométrie der Bewegung, XIII, 157.

ScuwARz. — Gosammelte mathematiscbe Abhandlungen, XIV, 248.

Weber. — Elliptische Funclionen, XV, io5.

IMcARD. — Traité d'Analyse, t. I ; XVI, 81.

Husserl. — Philosophie der Arilhmetik, XNT, 239.

Baillald. — Cours d'Astronomie, première Partie, XVII, 217.

DuHEM. — Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, XVII, 221.

Meray. — Leçons nouvelles siu^ l'Analyse infinitésimale et ses applications géométriques, t. I, XVllI, 80.

Kronecker. — Vorlesungen liber Mathematik, XVIII, 221.

ScHLusiNGER. — Hautlbucli der Théorie der linearen Difïerenlialgleichungen, t. I, XIX, 201.

Weber. — Lehrbuch der Algebra, t. I et II. XIX, 161 ; XXI, 98.

Krause. — Theoiie der doppeltperiodischen Funclionen einer veranderlichen Grosse, t. I et II; XX, i32; XXI, 280.

Raffy. — Leçons sur les applications géométriques de l'Analyse, XXI, 56.

Markoff. — Differenzenrechnung, XXI, 187.

Blrkiiardt. — Einleilung in die Théorie der analytischen Functionen, XXI, 199.

Netto. — Vorlesungen iiber Algebra, t. I et II; XXI, 121; XXIV, i34.

Appelé et Lacour. — Principes de la Ihéorie des fonctions elliptiques et applications, XXI, 5i.

Whitehead. — A Treatise on universal Algebra. Wiih Applications, XXII, 97.

Blrali-Forti. — Introduction à la Géométrie différentielle suivant la méthode de Grassmann, XXII, 281.

BoREL. — Leçons sur la théorie des fonctions, XXH, 242.

D'OcAGNE. — Traité de Nomographie, XXIII, 172.

Kleix und SoMMERFELD. — Ucber die Théorie des Kreisels, XXII, 33, 3i i.

BoREL. — Leçons sur les fonctions entières, XXIV, 120.

Rubio. — Verhandlungen der ersten inlernationalen Mathematikcr-Kongresses in Zurich, XXIV, 129.

BuRKHARDT. — Eliiptische Functionen, XXIV, i45. .

ExRiQUES. — Questioni riguardanti la Geometria elementare, XXIV, 168.

Andoyer. — Leçons sur la théorie des formes et la Géométrie analytique supérieure, XXIV, 220.

ScHœ.NFLiEss. — Die Entwickelung des Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, XXIV, 239.

RoucHÉ elLÉVY. — Analyse infinitésimale à l'usage des ingénieurs, XXV, 8.

Webek. — Die partiellen Dilferential-Gleichungen der Mathemalischen- Physik nach Riemann's Vorlesungen in vierten Auflage, neu bearbeitet von H. Weber, XXV, 33.

Foucault. — La Psycho-physique, XXN , ici.

Sur le Calcul des probabilités de M. Bertrand, XIII, 20.

Les personnes peu versées dans les Mathématiques s'étonneni d'habitude quand elles entendent parier de l'élégance d'une démonstration ou d'un calcul. Les mathématiciens de profession, eux aussi, s'émerveilleraient sans doute qu'on osât louer ce qu'il y a de fin et de spirituel dans un Livre de Malhémaliques. Il faut pourtant s'y résoudre cette fois ; au reste, l'étonnemenl diminue quand on pense au nom de l'Auteur. Il convient aussi d'ajouter que la finesse n'est pas absente de tous les écrils malhémaliques, bien que d'ordinaire on se plaise davantage à y admirer la vigueur avec laquelle les déductions y sont poursuivies : elle est nécessaire dès que l'on touche aux principes et que l'on veut regarder les choses en elles-mêmes. « Il n'est (fuestion que d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir bonne, car les principes sont si déliés, et en si grand nombre qu'il est presque impossible qu'il n'en échappe. Or l'omission d'un principe mène à l'erreur; ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur les principes connus. » Celte phrase de Pascal s'applique parfaitement au Calcul des probabilités; il faut avoir la vue bien nette pour s'en occuper, pour ne point faire d'omissions dans les énumérations, et distinguer des choses qui se ressemblent singulièrement, plus que ne font d'habitude la vérité et l'erreur.

Ceux qui ont la vue bonne aiment à l'exercer: c'est peut-être là une des raisons qui ont amené le Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences à traiter de ce calcul, qu'il regrette de voir aussi délaissé qu'il est. Ce n'est pas la seule, assurément; il y a là souvent, entre deux équations, belle matière à

raillerie. Les lecteurs de M. Berlraïul ne regretteront pas qu'il s'y complaise et qu'il crève les prétentions de ceux qui voudraient porter le flambeau de l' Algèbre là où il n'a que faire: parfois môme, la fantaisie se donne carrière : c'est merveille alors. Le pauvre homme moyen de Ouetelet n'est pas épargné; écoutez la fin de son portrait: «Dans le corps de l'homme mojen, l'auteur belge place une àme moyenne. Il faut, pour résumer les qualités morales, fondre vingt mille caractères en un seul. L'homme type sera donc sans passions et sans vices, ni fou, ni sage, ni ignorant, ni savant, souvent assoupi: c'est la moyenne entre la veille et le sommeil; ne répondant ni oui, ni non; médiocre en toui. Après avoir mangé pendant trentehuit ans la ration moyenne d'un soldat bien portant, il mourrait, non de vieillesse, mais d'une maladie moyenne que la Statistique révélerait pour lui. » N'est-ce pas achevé ? Cela, à la vériié, est tiré de la Préface, oi^i la verve de l'écrivain se déploie à l'aise; mais souvent elle perce ailleurs.

Ce n'est pas tout: plus d'un problème classique du Calcul des probabilités conduit à des résullats fort paradoxaux, et Ton soupçonne la joie qu'a eue l'Auteur à se jouer parmi ces paradoxes, à percer à jour ceux qui n'ont point de solidité, et à bien mettre en lumière la part de vérité que contiennent les autres. Enfin le Calcul des prohabiiilés permet de poser et de résoudre des problèmes bien « plaisants et délectables » et l'Auteur ne s'est pas refusé ce plaisir. On trouvera dans son Livre jusqu'à des solutions politiques, que M. Bertrand, il est vrai, a la modestie de ne pas préconiser. Voulez-vous, par exemple, dans un pays de suffrage universel, oîi les deux partis opposés sont presque numériquement égaux, avoir une Chambre bien homogène? Supposons dix millions d'électeurs, 45ooooo d'une opinion, 55ooooo de l'autre. Le problème semble difficile. Eh bien, groupez les électeurs par vingt mille, tirés au sort dans les dix millions; que chaque groupe élise un député; sur les cinq cents députés nommés de cette façon, pas un n'appartiendra à la minorité; ou plutôt, s'il en entre un à la Chambre, le parti de la minorité devra s'estimer beaucoup plus heureux qu'un joueur qui tirerait, l'un après l'autre, deux quines à la loterie. N'y a-t-il pas là un beau projet, une bonne loi électorale bien Juste que, sans les difficultés d'application, on ferait aisément accepter par d'honnêtes libéraux, soucieux d'enlever au pouvoir central la possibilité de fausser le vote par le remaniement des circonscriptions?

En lisant la Préface du Livre de M. Bertrand, intitulée Les lois du hasard, on ne peut s'empêcher de penser à cette inoubliable Introduction que Laplace a mise en tête de la Théorie analytique des probabilités. Quel contraste! Ce ne sont plus ces magnifiques périodes, légèrement solennelles, où Laplace expose les principes d'une philosophie un peu trop sûre d'ellemême, et déroule les conséquences d'une science admirable, mais parfois trop confiante dans sa portée: ce sont des anecdotes, des petits faits probants.

des petites phrases nettes, précises, courtes, pressées, dont chacune semble comprimée par la pensée qui va suivre, et qui a hâte de sortir; point de principes hasardeux: une critique toujours éveillée, et comme joyeuse d'avoir à s'exercer....

Sur hv.?, Leçons nouvelles de M. Méray, XVIII, 80.

M. Méray est, à coup sûr, un des mathématiciens qui honorent notre pays. La publication d'un grand Ouvrage de lui sur l'Analyse infinitésimale ne peut manquer d'être accueillie avec faveur et avec intérêt ])ar le monde savant, et les lecteurs seront heureux de retrouver, cette fois avec les développements et les compléments qu'ils souhaitaient, les idées systématiques émises par l'Auteur dans son Précis cV Analyse in/initésimale. M. Mévay à consacré de longs et fructueux efforts à édifier sa théorie des fonctions; il a apporté, sur des points essentiels et difficiles, d'importantes contributions; c'est avec une fierté légitime qu'il reproduit, en tête de ses Leçons nouvelles, les titres et les dates de ses nombreuses publications. Depuis 1868, M. Méray était en possession de ses idées fondamentales sur le rôle essentiel que doivent jouer, dans la théorie des fonctions, les séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives des variables. Ces idées, depuis 1869, ont été le fond et la substance de son enseignement. Elles sont aujourd'hui dominantes, et M. Méray a le droit de s'en réjouir, si même il n'a pas été le seul à en assurer le triomphe; on sait assez qu'elles ont été développées ailleurs par un géomètre illustre qui s'est acquis une gloire incontestée, non seulement dans l'organisation de la théorie générale, mais aussi par les progrès considérables qu'il a réalisés dans l'étude approfondie de ces fonctions particulières, pour lesquelles il semble que la théorie générale soit faite.

Chez M. Méray, l'idée du développement en série de Taylor est en quelque sorte primordiale et exclusive; pour lui, en dehors d'un pareil développement, il n'y a point de fonction. C'est un point sur lequel il revient continuellement et avec quelque passion. Il fait bon marché de tout le reste. Les fonctions analytiques, comme on dit aujourd'hui, suffisent à tout et se suffisent à elles-mêmes. En dehors d'elles, les règles générales ne s'appliquent pas, ou s'appliquent mal, et l'on ne ^trouvera rien qui soit vraiment utile, vraiment intéressant. On doit donc, dans l'enseignement, tout sacrifier aux fonctions analytiques. Que leur rôle soit actuellement prépondérant, personne ne pense à le contester; qu'elles puissent suffire d'ici longtemps, le plus souvent, aux applications des Mathématiques, à la Mécanique, à l'Astronomie, à la Physique, on n'en saurait douter non plus, et le passé nous répond de l'avenir.

Cependant, n'y a-t-il pas quelque excès à vouloir bannir toute autre spéculation ? Pour ce qui est de la Science pure, il convient peut-être de la laisser se constituer librement, suivant le génie propre de ceux qui en ont la curiosité. En fait, quoique l'Analyse ait la prétention d'être la science de Va priori, c'est en quelque sorte d'une façon contingente et, en tous cas, impossible à prévoir que les questions se posent et que les solutions se découvrent; c'est l'observation seule et l'expérience qui montrent l'importance et la valeur des idées qu'on y introduit. Le développement d'une fonction en série de puissances entières est, après tout, un mode particulier d'existence de celte fonction : comment justifier a priori le caractère primordial de ce mode d'existence? C'est l'expérience seule qui a révélé son importance. M. Méray a réalisé cette expérience; c'est un service éminent; mais d'autres expériences, qui ne se grouperont pas autour des mêmes lois, ne sont-elles pas légitimes, et, par exemple, les séries entières elles-mêmes ne posent-elles pas, sur le cercle de convergence, la question des développements en série trigonométrique ? N'y a-t-il pas là un mode d'existence d'une nature tout autre, et ce modo d'existence n'intervient-il pas, lui aussi, dans les applications aux problèmes posés par les sciences de la nature ?

Pour ce qui est des applications, il s'agit d'arriver, par les moj^ens les plus simples pour notre intelligence, à des solutions aussi approcliées que possible. A la vérité, il y a des gens qui croient que la chose en soi est une fonction analyti([ue; mais je n'ai heureusement aucune raison pour prêter cette opinion à M. Méray ; il est encore i)ermis de penser que nous n'atteindrons jamais la chose en soi, et que le progrès des sciences de la réalité consiste dans la constitution de schémas qui s'adaptent de mieux en mieux à la façon dont nous nous représentons les choses : la valeur de ces schémas, toute relative à nous, est double: elle est dans l'exactitude avec laquelle ils réalisent cette représentation et dans leur simplicité. Les fonctions analytiques se présentent actuellement comme ayant une simplicité incomparable, et c'est ce qui fait leur importance ; j'ai entendu dire, il est vrai, que cette simplicité tenait à ce que noire cerveau était lui-même composé de fonctions analytiques. Je n'attribue pas non plus cette opinion à M. Méray : il est encore permis de suspendre son jugement sur ce sujet, et les esprits timorés peuvent, sans absurdité, craindre que, après avoir étudié des fonctions analytiques simples, on en rencontre de fort compliquées, qui ne s'adaptent aux choses que difficilement, avec de grands efforts : s'il arrivait qu'il en fût ainsi, et si d'autres fonctions nous fournissaient des formules plus simples, on n'hésiterait pas, sans doute, à les adopter, quelle que fût leur origine. C'est la future histoire des progrès de la Science qui seule pourrait nous dire ce qui en est, et personne ne sait l'histoire future de ces progrès. Quoi qu'il en soit, ceux qui ont une foi robuste sont aussi ceux qui contribuent le plus à ces progrès, et l'on serait mal venu à reprocher la sienne à M. Méray, d'autant que la religion

— Sodés fonctions analytiques n'est pas près d'être épuisée : tout an plus peut-on regretter qu'il mette tant d'ardeur à décourager et à poursuivre les hérétiques. 11 y a longtemps qu'on a dit que les hérésies étaient nécessaires.

Sa doctrine, en tout cas, se tient fort bien, elle est pure de tout mélange ; l'idée de nombre lui suffit, et M. Méray a grand soin d'écarter toute considération étrangère; il convient de dire un peu plus: tout en fondant uniquement, comme il fait, l'Analyse sur celte seule idée, on peut avoir bâte de faire intervenir ces fonctions particulières qui ont une représentation géométrique simple, et s'aider, sans le dire, de cette représentation. Cette marche détournée n'est pas la sienne; il écarte tout ce qui est transcendant; il ne veut point d'autre clarté que la clarté de l'Algèbre élémentaire, qui, sans doute, est incomparable. S'il parle des variables imaginaires, il bannit l'argument, dont il n'a que faire et qui sent sa Géométrie. Voici un Volume de (|uatre cents pages qui commence à la notion de nombre entier, qui se termine par des propositions générales sur les équations aux dérivées partielles ; l'Auteur n'y a parlé d'aucune fonction particulière; on n'y rencontre ni la fonction exponentielle, ni les fonctions circulaires. Cela est trop particulier et viendra plus tard, comme une application inlime des théorèmes généraux: il ne faut pas troubler l'ordre et l'enchaînement de ces théorèmes qui se déroulent majestueusement. Nous ne toucherons terre que plus tard; nous restons ici dans la sérénité des principes. J'insiste sur ce goût de M. Méray pour les généralités, car il est vraiment caractéristique. C'est toujours à ridée générale qu'il court, il ne s'attarde jamais à particulariser; si une proposition et une démonstration s'appliquent à des systèmes de fonctions et de variables, c'est à ce système de fonctions et de variables qu'il s'attaquera de suite, sans traîner sur le cas d'une fonction et d'une variable. Il s'exprime d'ailleurs très exactement quand il dit que l'intelligence de son Ouvrage « n'exige presque pas autre chose que la pratique du calcul algébrique élémentaire, avec la connaissance approfondie des équations du premier degré » : le presque pas autre chose, c'est la force d'abstraction nécessaire poiu- rester longtemps dans la région des principes généraux, et ce n'est pas rien, si claire que soit cette région, et si lumineux que soit le chemin par lequel M. Méray nous y conduit.

Il faut s'habituer peu à peu à cette région élevée, à l'air subtil qu'on y respire, et ne vouloir y monter que lentement. A coup sûr, M. Méray ne conseillerait à personne de commencer l'étude de ses Leçons sans autre bagage « que la pratique du calcul algébrique élémentaire et la connaissance approfondie des équations simultanées des équations du premier degré », bien que, assurément, au point de vue de la pure logique, ce bagage soit suffisant. Comme pour les autres sciences, l'enseignement des Mathématiques doit procéder du particulier au général; il faut étudier des types

caractéristiques pour bien comprendre les lois de Tespèce, il faut voir le général en lui-même, mais aussi dans le particulier....

Sur la publication des Œuvres de Grassmann, XIX, it\^.

Grassmann appartient au petit groupe d'hommes dont la pensée n'a été bien comprise qu'après eux, et qui étaient destinés à une gloire posthume. Il y aura, sans doute, toujours des hommes qui ne seront point compris de leur vivant; mais ils peuvent se consoler en relisant l'histoire des illustres méconnus, d'autant plus sûrement qu'en renvoyant la réalisation de leurs espérances à un temps qu'ils ne verront pas, ils sont certains de ne pas connaître de déception. C'est ainsi que l'injustice qui a frappé quelques grands hommes sert à adoucir beaucoup d'amertumes

Sur les Leclures de M. Klein, XX, 299.

S'il n'était pas nécessaire d'être mathématicien pour comprendre ce que sont les Mathématiques, pour avoir quelque idée des prohlèmes qu'elles résolvent et qu'elles posent, du domaine qu'elles ont conquis, et des vastes territoires où elles pénètrent, il faudrait conseiller à tous de lire ces douze conférences, si riches de faits et de suggestion, si variées dans leurs sujets, mêlant l'histoire de la Science, les vues philosophiques, les aperçus ingénieux, les théorèmes précis, les généralisations hardies, les conseils pédagogiques, abordant tour à tour les branches les plus variées de la Science, l'Arithmétique, l'Algèbre, la haute Analyse, la Géométrie. Je ne sais s'il est juste de faire à la Géométrie une place à part dans cette énumération : car, avec M. Klein, la Géométrie, ou plutôt l'intuition géométrique, est partout.... Un réseau de points, figuré dans un plan et regardé comme il faut, nous donne une représentation concrète des nombres idéaux de M. Kummer; la considération de la figure formée par trois arcs de cercle sur une sphère vient éclairer les propriétés les plus cachées des fonctions hypergéom étriqués; l'icosaèdre régulier donne un corps aux recherches sur la résolution de l'équation du cinquième degré; à ce propos, voici la conception si profonde de Galois qui s'élargit: son groupe de permutations est remplacé par un groupe de substitutions linéaires et le problème de la résolution des équations, ou plutôt de leur réduction à des formes normales, est posé en des termes nouveaux. Après avoir parlé du caractère transcendant du nombre e, M. Klein imaginera que le plan soit recouvert par tous les points dont les coordonnées sont des nombres algébriques, et il observera que, si pressés les uns contre les autres que soient ces points, la courbe qui a pour équa-

tion y = e-* ne passe que par un seul d'entre eux; s'il s'agit des fonctions elliptiques, hyperelliptiques ou abéliennes, on ne s'étonne pas sans doute, tout en admirant leur richesse et leur beauté, de voir surgir les interprétations géométriques; mais M. Klein poussera la coquetterie jusqu'à prendre dans la Géométrie même un exemple de ce qui ne peut être ni figuré, ni imaginé: une courbe sans tangentes.... Pour lui, les êtres mathématiques ne sont pas des abstractions; il les voit et il les fait voir, qui se jouent tantôt dans les espaces non euclidiens, tantôt dans cet espace vulgaire dont se contentent quelques géomètres, qui ne veulent pas sans doute que l'espace n'existe que dans notre pensée. Le don de voir, qui lui a été départi si généreusement, M. Klein le rapporte avec modestie à la race teutonique, dont la puissance naturelle d'intuition serait un attribut prééminent; mais ne pousse-t-il pas la modestie trop loin lorsqu'il oppose à l'attribut de sa race la puissance logique et critique des Latins et des Israélites ? Qui le croirait, s'il se refusait à lui-même cette puissance? Et n'oublie-t-il pas un peu que lorsqu'il s'est amusé à classer les mathématiciens en logiciens, en formels et en intuitifs, ce n'est pas parmi les représentants des races latine et hébraïque qu'il a trouvé le type du logicien, d'ailleurs très illustre, caractéristique et bien choisi?

Dans ces Lectures, dont le but était de faire connaître à ses auditeurs l'état des Mathématiques modernes, les questions les plus actuelles, M. Klein est naturellement amené à parler souvent de ses propres recherches; personne ne s'en plaindra et, à vrai dire, le tableau eût été trop incomplet s'il les avait passées sous silence; il fait d'ailleurs une large part à ses nombreux élèves, dont plusieurs sont déjà des maîtres illustres; on sait que, pour lui, un élève est un collaborateur, et qu'il associe généreusement à ses propres recherches ses auditeurs de Gœttingue. Mais il ne s'enferme pas dans l'École dont il est le maître, et il a su trouver pour M. Sophus Lie une flatterie singulièrement délicate. C'est deux Lectures entières qu'il consacre au grand géomètre norvégien, tout en déclarant d'abord qu'il entend n'en considérer le génie qu' « à l'état naissant ». A la vérité, le monument qu'a élevé M. Sophus Lie ne fora pas oublier son Mémoire Ueber Complexe insbesondere Linienund Kug-eln-Complexe. Ce Mémoive, dont M. Klein expose quelques résultats essentiels, lui donne l'occasion de rappeler son propre Programme d'Erlangen, où il a expliqué comment chaque système de Géométrie est caractérisé par son groupe, et d'opposer en quelque sorte, l'un à l'autre, les groupes de ces deux Géométries des sphères qu'ont fondées M. Lie d'une part, M. Darboux de l'autre. Une fois, dans le cours de ses Lectures, il abandonnera les Mathématiques pures pour parler des Mathématiques appliquées el des sciences objectives ; là même ses préoccupations habituelles le ressaisissent un instant et il ne peut s'empêcher de rappeler en passant comment la considération des courants électriques sur les surfaces fermées vient i7/«5^/-e/-

les théories de Riemann; mais ce n'est qu'un a parte : il classe les diverses sciences appliquées d'après la quotité de chiffres qui figurent dans les nombres qu'elles considèrent : ainsi l'Astronomie emploie des nombres de sept chiffres; la Chimie n'emploie guère que des nombres de deux ou trois chiffres. M. Klein insiste sur le caractère toujours provisoire des nombres, des lois et des formules que l'on trouve dans les sciences expérimentales; il émet l'idée ingénieuse que, puisque ces sciences ne peuvent se servir que de formules approchées, il doit être possihle de constituer, à l'usage de ceux qui s'y livrent, une Mathématique abrégée.

Je ne sais si j'ai pu donner quelque idée de la variété et de l'intérêt des sujets que M. Klein développe, indique, touche d'une main légère, ou approfondit : il y aurait une insupportable prétention à vouloir analyser une par une les Lectures, oi^i l'on a toujours affaire à trois maîtres à la fois, au moins : un géomètre, un philosophe, un artiste. Lequel faudrait-il louer davantage? Je ne sais, et si on le demandait à M. Klein, et qu'il ptit répondre, ne serait-il pas embarrassé de le faire? S'il ressemblait à d'autres, il préférerait sans doute celui des trois qui est le moins développé; mais encore une fois, lequel ?...

Sur la nouvelle édition des OEinres de Galois, XXII, 7.

. . . M. Picard cite, avec les éloges qu'il mérite, le travail biographique que M. Paul Dupuy a publié en 1896 dans les Annales de r École Normale supérieure. Si Galois n'entra qu'à contre-cœur dans celte Ecole, s'il en fut chassé au bout d'un an, il en reste, malgré tout, une des plus grandes gloires et la Maison qu'il a traversée lui doit des honneurs, par cela seul qu'il y a passé : elle s'est rappelé Galois, quand elle a fêté son centenaire, et Sophus Lie a parlé de lui comme il convenait, en savant; mais il restait à écrire la vie de Galois.

C'est ce qu'a fait M. Dupuy, et je crois bien que M. Picard a raison quand il dit que son travail est définitif. 11 était grand temps qu'il fût accompli. M. Dupuy a pu consulter ceux des contemporains de Galois qui survivent et se souviennent de lui, il a pu recueillir des membres de sa famille les renseignements les plus précieux; on lui a confié l'inestimable portrait que MM. Gauthier-Villars ont reproduit en tête de ses Œuvres; avec la passion et la patience d'un érudit, il a feuilleté les journaux du temps, les registres d'écrou de Sainte-Pélagie, les registres d'entrée à l'hôpital.... Grâce aux souvenirs de ceux qui avaient connu Galois, grâce à ses patientes recherches, il a su faire revivre un peu ce merveilleux génie et l'étrange milieu révolutionnaire oiî il s'est agité pendant de si courtes années ; il a pu enfin nous faire comprendre ces défauts de caractère que l'on reproche justement

à Galois, mais qui, dès qu'on les comprend, ne découragent plus la sy pathie. Aussi faut-il savoir gré à M. P. Dupuy de l'œuvre pieuse qu'il a menée à bonne fin.

Quant à l'admiration qui est due à Galois, les soixante pages où tiennent sesOËiH'res mathématiques suffisent à lui assurer une durée égale à celle de la Science.

Sur un tivre de M. Januschke, XXII, 7.

... M. Januschke a pour son sujet un certain enthousiasme, qui n'est pas pour déplaire; il est persuadé que l'étude de la Physique est excellente pour former Vesprit et le cœur; cette étude aussi rendra la vie plus douce aux hommes, en leur faisant connaître et aimer cette Nature qui causait tant de terreurs à leurs superstitieux ancêtres. Voilà une opinion qui est rassurante pour l'avenir, et qui a le mérite d'encourager dès à présent ceux qui la partagent.

M. Januschke a emprunté une curieuse épigraphe à R. Mayer : c'est une déclaration de guerre à ce qui reste des dieux de la Grèce, réfugiés dans les fluides impondérables; c'est là, il faut l'avouer, un triste déguisement pour ces radieuses divinités, plus triste encore que ceux qu'avait rêvés la fantaisie de Henri Heine; ces lamentables idoles sont maintenant détrônées parle principe de la Conservation de l'Énergie. Si ce principe devient une religion, il convient, peut-être, de lui pardonner le mystère dont il reste enveloppé ; tous les termes, à vrai dire, n'en sont pas d'une parfaite clarté ; SI les forces, dont la notion est assurément un résidu métaphysique, n'y figurent pas immédiatement, il est difficile de dire ce que c'est que les masses, à moins de se résoudre à les regarder « comme des coefficients qu'il est commode d'introduire dans les calculs (•) », ce que c'est que l'énergie |)otentielle, à moins de la regarder comme une fonction des coordonnées, ce qui est peut-être insuffisant. Mais M. Januschke ne se perd pas dans ces questions théologiques. C'est la pratique du culte qu'il veuf enseigner; le principe de la Conservation de l'Énergie est posé comme une induction résultant des découvertes de Galilée; quelques exemples concrets, simples et bien choisis permettent d'en donner quelque habitude au lecteur. Disons de suite que l'Auteur a grand soin, dans toutes les parties de son Livre, de donner d'intéressants détails historiques sur les découvertes scientifiques et l'évolution des idées qui s'y rattachent; c'est là une excellente méthode, qui marque d'ailleurs les tendances philosophiques de M. Januschke, assez

(') PoiXCARÉ, Les idées de Hertz sur la Mécanique {Revue générale des Seieuees, jo septembre 1897J.

nellement inclinées vers le positivisme. S'il est vrai que l'Auteur incline dans ce sens, pourquoi énonce-t-il cette proposition : « L'énergie totale de l'Univers est constante » ? Elle semble bien supposer, pour avoir un sens, que l'Univers soit fini, et cette hypothèse-là dépasse la Science positive. Celle-ci est essentiellement limitée dans le temps et dans l'espace, à des choses voisines de nous, à moins que nous ne prétendions substituer un Univers de définition à celui dont l'induction nous permet de pénétrer une faible partie....