Astronomie pratique (pour mémoire, voir plus loin

Ces Travaux se rapportent à doux ordres d’idées très distincts. Chargé pendant six ans du Service des chronomètres, l’auteur s’est trouvé en relations, d'une part avec les horlogers, d’autre part avec les officiers de marine.

Il a donc dû d’abord se préoccuper des défectuosités du mécanisme de ces instruments, des causes de perturbation qui faussent leurs indications et des moyens d’y remédier par la construction; il a cherché ensuite à dégager les méthodes les plus propres à utiliser

que le rayon et la masse du spiral sont moindres, ce qui explique la difficulté de régler les spiraux en or que d’autres considérations fendraient à faire préférer, et l’utilité de réduire le rayon.

Isochronisme du spiral cylindrique sans courbes terminales. — Phillips a démontré rigoureusement que le spiral muni des courbes théoriques qu’il a indiquées est le seul qui satisfasse à la condition analytique d'isochronisme, savoir que le moment de l’action qu’il exerce sur le balancier est proportionnel h l'angle dont celui-ci est écarté de sa position d’équilibre. Il a montré également que la forme circulaire des courbes, autrement dit la forme d’une hélice cylindrique sans courbes terminales, ne satisfait pas à cette condition. C’est, du reste, ce que vérifie l'expérience faite avec la balance élastique. D’autre part, de nombreux horlogers affirmaient qu’on peut obtenir l’isochronisme avec un spiral de ce type; ils se fondaient pour cela sur le célébré théorème découvert expérimentalement par Pierre Leroy, le fondateur de la Chronométrie de précision, à savoir que, « dans tout ressort d’une étendue suffisante, » il y a une certaine longueur où toutes les vibrations, grandes et » petites, sont isochrones ».

Il y avait là une apparence de contradiction entre la théorie et l’expérience, et il était nécessaire d’en découvrir la cause, tant dans l'intérêt de la Science que dans celui des horlogers, que cette difficulté aurait pu rendre défiants à l’égard de la théorie de Phillips, à laquelle pourtant l'horlogerie a dû scs progrès les plus considérables et les mieux constatés. La théorie de la résistance des matériaux, qui, comme M. Resal l’a fait voir, donne les mêmes résultats que la théorie mathématique de l’élasticité dans le cas des flexions circulaires, nous a permis de résoudre complètement la question, en démontrant et généralisant le théorème de Pierre Leroy, et montrant que dans des circonstances bien déterminées on peut réaliser un mouvement vibratoire isochrone sans que le moment de l'action éprouvée par le balancier soit proportionnel à l’angle d’écart. Voici sommairement la

L’équation d’équilibre du balancier dans le cas général donne le moment moteur sous forme d’une somme de deux termes, le premier proportionnel à l’angle dont le balancier est écarté de sa position

d’équilibre, le second contenant les pressions latérales de l'axe et les coordonnées du centre de gravité du spiral. Ce dernier disparaît par l’emploi des spiraux Phillips, mais non autrement. Dans le cas du spiral exactement cylindrique, on peut exprimer les coordonnées d’un point du spiral déformé et la longueur de l’arc au moyen de trois intégrales qui ne sont généralement'pas calculables, mais qu’on peut évaluer avec une approximation suffisante en supposant que les pressions latérales sont faibles et que le centre de gravité du spiral s’écarte peu de l’axe du balancier. On arrive alors à avoir pour équation du mouvementdu balancier une équation différentielle du deuxième ordre, dans laquelle le coefficient de l’amplitude est une constante augmentée d’une fonction périodique de l’amplitude a et de l’angle p = zmt + g du spiral. Cette fonction ayant des valeurs très petites, l’équation s’intégre par les séries, ou mieux par la méthode de la variation des constantes arbitraires, et la durée do l’oscillation s’exprime au moyen de fonctions de la famille des fonctions de liesse). qui peuvent se développer en séries convergentes suivant les puissances paires de l’amplitude. La perturbation est constante et indépendante de l’amplitude quand le spiral a un nombre entier de tours =fc -, ce qui donne dans chaque spire deux points d’isochronisme.

Mais la substitution de cette valeur dans l’équation différentielle ne rend pas constant le coefficient de l’amplitude : donc ici l’isochronisme a lieu sans que le couple moteur soit proportionnel à l’angle d’écart.

La solution est pratiquement suffisante pour les balanciers légers et peu déformables avec spiraux de faible rayon. En introduisant dans l’expression de la perturbation ci-dessus l’effet de l’élasticité du balancier et de l’inertie du spiral, représentés par un terme proportionnel au carré de l’amplitude, on voit qu’on ne peut plus rendre la durée rigoureusement indépendante de l’amplitude, mais qu’on peut trouver une valeur de p telle que cette durée ait la même valeur aux amplitudes extrêmes qu’on veut expérimenter, et qu’alors elle varie peu pour les amplitudes intermédiaires.

lîn continuant la discussion du problème et ayant égard aux valeurs des fonctions, on arrive k montrer que toutes les limites d’amplitudes

ne sont pas favorables pour expérimenter l’isochronisme, et que les meilleures amplitudes pour ces expériences sont celles de 460° et 3i5°. Ce fait, ignoré des horlogers, et que la théorie seule a fait découvrir, explique certains insuccès qui avaient été signalés et indique en même temps le moyen d’y remédier.

L’ensemble de ces résultats a été soumis à des vérifications expérimentales qui les confirment de tout point. La position des points d’isochronisme avec le balancier ordinaire est exactement celle qu’une longue expérience a indiquée a M. Berthoud : le déplacement des points d’isochronisme quand le balancier devient plus léger et moins déformable a été vérifié par Vissière.

Influence des résistances. - Les recherches théoriques antérieurement faites s’accordaient à prouver que le frottement ordinaire n’altère pas l’isochronisme supposé obtenu. Elles montraient également qu’on peut faire abstraction de la résistance de l’air dans les cas où celle-ci est proportionnelle soit à la vitesse, soit au carré de la vitesse. Mais le premier résultat ne pouvait s’étendre sans démonstration aux spiraux sans courbés, car ici les pressions latérales ne sont plus constantes. D’ailleurs la formule qui exprime la résistance de l’air en fonction de la vitesse n’est pas bien certaine : ce point appelait également une étude complémentaire.

En introduisant dans l’équation du mouvement le frottement dû à la pression variable et intégrant par la même méthode de variation des constantes, on trouve que les demi-oscillations ascendante et descendante ne sont plus égales, mais que leurs altérations, qui sont fonctions de l’amplitude, se détruisent et que finalement l’isochronisme n’est pas affecté par les frottements latéraux. Ce résultat a été vérifié expérimentalement par M. Berthoud, qui a adapté à un chronomètre deux spiraux égaux et opposés, détruisant les frottements latéraux, et a trouvé les points d’isochronisme par la même règle.

Quant à la résistance de l’air, on peut démontrer que, quelle que soit sa forme, pourvu qu’elle puisse être représentée par un polynôme ne renfermant que les puissances entières de la vitesse, son influence sur 1 isochronisme est négligeable. Il suffit pour cela d’écrire au deuxième membre de l’équation une fonction entière de degré quel-

ratures données en déplaçant l’écrou sur la vis, puis annuler l’erreur à la température moyenne en faisant varier l’inclinaison de la vis. La discussion géométrique a donné aussi la forme la plus convenable à attribuer aux masses compensatrices pour obtenir le maximum d’effet avec un poids donné. Le chronomètre 5 ii Winnerl a été réglé en calculant au moyen des marches observées les corrections que devaient recevoir les éléments, et la compensation obtenue a été aussi parfaite qu’on pouvait le désirer : le plus grand écart des marches à des températures variant entre o° et 3o° n’a pas dépassé oSyfi; tandis qu’habituellement l’erreur secondaire atteint i? et 3 S , surtout quand le spiral est bien isochrone.

La théorie a mis en évidence un autre avantage de ce balancier. En partant des formules de la résistance des matériaux nous avons calculé la déformation élastique qu’il subit sons l’influence du mouvement de rotation; on a trouvé ainsi que la perturbation de l’isochronisme est réduite au quart de ce qu’elle est avec le balancier circulaire.

Ce résultat était d’une grande importance, parce qu’il constitue une propriété générale des lames bimétalliques planes, et qu’il montre la manière de disposer le balancier pour pouvoir, sans sacrifier l’isochronisme pratique, appliquer les formes de spiraux de Phillips. L’expérience montra, conformément à la théorie, que le même spiral, qui avec un balancier circulaire avançait de 2’ aux petits arcs, retardait de o*,5 avec le nouveau balancier.

Celte dernière circonstance est défavorable à la compensation ; il est probable qu’avec un spiral qui aurait eu une avance de o\5 aux petits arcs, la compensation eût encore été plus parfaite; malheureusement la mort de Winnerl a empêché la continuation de ces essais.

Applications du chronomètre à la Physique. — Le chronomètre est un instrument de mesure d’une précision comparable aux plus délicats appareils de Physique. Phillips avait montré comment il peut servir, par exemple, à la détermination des coefficients d’élasticité de divers métaux, en faisant des spiraux avec ces substances et observant les durées d’oscillation d’un même balancier avec ces différents spiraux.

Nous avons fait voir comment le même principe permet de déterminer la variation du coefficient d’élasticité avec la température. Repre-

Les chronomètres embarqués subissent, comme ceux qui sont observés à terre, l’influence régulière du temps et'de la température. Cette influence, variable d’un chronomètre à l’autre, est très sensiblement constante pour une montre donnée; il est possible de la représenter par une formule ou une courbe et d’éliminer par là la majeure partie des erreurs. Les instruments en usage dans la marine française ont généralement leurs marches représentées par une formule parabolique dont les coefficients ont une inégale importance. Le terme dépendant du temps ne peut pas être calculé d’avance avec une grande certitude, mais si l’on s’en tient à des périodes d’un an au plus, ses coefficients peuvent être généralement déterminés après coup avec assez de précision pour le calcul des longitudes. Les termes dépendant de la température ont, au contraire, des coefficients constants dans les conditions normales d’emploi des chronomètres; ils peuvent être déterminés à l’avance, surtout la constante appelée température de réglage; un chronomètre suit la variation de température aussi fidèlement qu’un thermomètre.

Les autres causes de perturbation ne peuvent être évaluées numériquement à l'avance; mais elles ne sont pas capricieuses et il en est peu auxquelles on ne puisse assigner une origine nettement définie. L’effet des mouvements ordinaires du navire est peu important, mais les trépidations et les chocs dus au moteur ont un effet bien net, variable d’une montre à l’autre, constant pour une même montre. L’acceleration des chronomètres neufs peut être prévue comme sens, non comme grandeur. L’humidité atmosphérique produit généralement du retard, mais n’a que peu d’action sur un chronomètre bien clos et bien placé. L’épaississement des lubrifiants par l’effet du temps produit, des effets d’accélération qui introduisent dans la formule des marches un terme fonction du temps. La résistance des milieux n’a pas d’effet sensible sur la marche, non plus que les frottements ordinaires.

On a tiré de l’étude de ces perturbations des indications très précises sur les conditions dans lesquelles les montres doivent être installées à bord ; sur les moyens d’établir la formule des marches, enfin sur le degré de précision que peuvent donner les longitudes.

La conclusion qui ressort surtout nettement de ces études, c’est que l’important dans la construction des chronomètres n’est pas de rendre les erreurs très petites à un moment donné, ce qui né s’acquiert sou-

lion universelle de 1889, et qui était présidée par M. le Vice-Amiral de Jonquières, M. Caspari a pris une part active à la préparation de cette réunion. Nommé ensuite secrétaire du Congrès, que Phillips présidait, il a présenté un Rapport sur les perturbations et le réglage; puis il a été chargé de diriger la publication des Procès-verbaux et du Compte rendu des travaux.

Dans la séance de clôture le Congrès vota un ordre du jour proposé parM. Rozé et ainsi conçu:

... « Nous ne pouvons nous séparer sans adresser nos remerciements à MM. les membres du Bureau, et plus particulièrement à M. Caspari, qui, avec le dévouement le plus méritoire, sans compter son temps ni ses peines, a assumé, comme secrétaire, les soins de la préparation etde l’organisation : nous avons tous pu constater le succès remarquable de l’œuvre accomplie.

» Je propose donc d’adresser par acclamation à MM. les membres du Bureau, à M. Caspari, l’expression de toute notre gratitude. »