ET FONCTIONS PARTICULIÈRES

Théorie générale des fonctions. Intégrale de Cauchy (59, 75).

1. On peut, commeTonsait, se placer à trois points de vue différents pour étudier la théorie des fonctions analytiques; à ces trois méthodes sont attachés respectivement les noms de Cauchy, de Riemann, de Weierstrass et Méray. Le point de vue de Cauchy est généralement adopté en France dans l'enseignement, quoique le point de départ soit resté jusqu'ici un peu vague. Dans cette méthode, le théorème sur l'intégrale définie prise le long d'un contour fermé joue un rôle fondamental. Les nombreuses démonstrations proposées pour ce théorème supposaient toutes plus ou moins explicitement la continuité de la dérivée. J'avais donné moi-même en 1884 (59) une démonstration nouvelle qui paraissait exiger cette condition. Mais j'ai reconnu depuis qu'il suffit d'ajouter très peu de chose au raisonnement pour que la continuité de la dérivée n'intervienne plus (75). Cela permet de dé- G. I

barrasser l'exposition de la méthode de Cauchy de restrictions inutiles. Pour pouvoir édifier la théorie des fonctions analytiques, en restant au point de vue de Cauchy, il suffît de supposer la continuité def(^z) et V existence de la dérivée f\z).

Plusieurs géomètres avaient déjà essayé vainement de reconnaître si la continuité de la dérivée était une hypothèse nécessaire (*).

Prolongement analytique. Espaces lacunaires (i, ^6, 77, 79).

2. La notion des fonctions analytiques à espaces lacunaires, c'està-dire qui ne peuvent être prolongées parle procédé habituel de cheminement en dehors de certaines régions du plan, est aujourd'hui familière à tous les mathématiciens. Il y a vingt ans, on ne connaissait, en fait de fonctions possédant celte propriété singulière, que les fonctions modulaires et les fonctions plus générales que M. Schwarz avait déduites de la série hypergéométrique; ces diverses fonctions admettent pour espace lacunaire la région du plan extérieure à un cercle. Un de mes premiers Travaux avait précisément pour objet de former des fonctions analytiques, ne pouvant être prolongées en dehors d'une région du plan limitée par une courbe de forme arbitraire. Après avoir publié la démonstration dans une Note présentée à l'Académie des Sciences (^), j'ai eu le regret de constater que le même théorème venait d'être publié, quelques mois auparavant, par M. Poincaré, dans un Recueil qui m'était alors complètement inconnu, les Acta Societatis F(p/i/îi(7CB (Helsingfors). Je suis revenu depuis sur le même sujet (77, 79), soit pour préciser certains points de la démonstration et répondre à des objections qui avaient été faites, soit pour examiner en détail des cas particuliers.

L'existence de fonctions à espaces lacunaires conduit à se demander s'il ne serait pas possible de généraliser la méthode du prolongement analytique, de façon à étendre le domaine naturel d'existence d'une fonction de cette espèce. Les recherches récentes de M. Borel ont

(») OsGOOD, Bulletin ofthe American Mat/iematical Societ/, Vol. V, n" 2, p. 84-87. (*) Comptes rendus, t. GXVIII, p. 193.

donné à ce problème un très grand intérêt. En me plaçant à un point de vue indiqué par M. Picard j'ai cherché ce que donnerait l'introduction d'une nouvelle variable complexe, et j'ai montré que le problème, si l'on ne s'impose pas de conditions supplémentaires, devient complètement indéterminé (46).

Singularités des fonctions uniformes. Théorème de Hittag-Leffler (G).

3. Après avoir établi l'existence de fonctions uniformes pouvant avoir des singularités de nature quelconque, points singuliers, lignes singulières essentielles, espaces lacunaires, j'ai cherché naturellement à étendre à ces fonctions les théorèmes célèbres de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler sur les fonctions uniformes ne possédant que des points singuliers. C'est l'emploi des développements en série donnés par M. Appell, pour les fonctions holomorphes en dehors d'un contour formé d'arcs de cercle, qui m'a fourni le moyen le plus simple d*y parvenir. Lorsque la fonction considérée ne possède qu'un nombre fini n de singularités, elle est la somme de n fonctions dont chacune ne possède quune seule singularité; c'est la généralisation de la formule de AVeicrstrass qui donne l'expression générale d'une fonction uniforme ayant n points singuliers.

Lorsque la fonction possède une infinité de singularités, on peut les partager en deux classes, les singularités isolées et les singularités limites, et le théorème de M. Mittag-Lefflcr se généralise comme il suit : I** Étant donnée une suite de singularités isolées S/, où l'indice i varie de o à -f-oo, ayant pour limites d'autres singularités S', et une suite de fonctions //(a?), telles que //(a?) n'admette que la singularité S,, il existe une fonction uniforme F(a7), n'ayant pas d'autres singularités que S/ et S', telle que la différence Y{x) — //(^) soit holomorphe à l'intérieur d'un contour fermé ne renfermant pas d'autre singularité que S,; 2" la forme la plus générale d'une fonction F(.r),

admettant les singularités S, et S', est F(a?) = ^/(a?) 4-F,(j7),

où // admet la seule singularité S, en dehors des S', et où F, (a?) n'admet que les singularités S'.

Coupures des fonctions représentées par des intégrales définies (7, 57, OO).

4. Au même ordre d'idées se rattachent des recherches sur les singularités des fonctions analytiques représentées par des intégrales définies, simples ou multiples. Dans un Mémoire du Journal de Borchardt (t. 91), M. Hermite avait démontré un théorème très important sur la différence des valeurs que prend une intégrale définie d'une certaine forme en deux points infiniment voisins, pris de part et d'autre d'une coupure. Le résultat se présentant sous forme d'un résidu, il était naturel de tenter de le rattacher au théorème de Cauchy. J'ai montré en effet que la formule de M. Hermite pouvait se déduire aisément du théorème général de Cauchy (57). Je me suis servi depuis de cette méthode pour établir les propriétés de l'intégrale normale de troisième espèce, considérée comme fonction du paramètre (103, p. 333-337), ainsi que dans Tétude d'une classe de fonctions représentées par des intégrales définies, sur lesquelles je reviendrai plus loin (n*^ 12).

A la fin du Mémoire que je viens de citer, M. Hermite avait envisagé des fonctions ^(s), représentées par des intégrales doubles, qui jouissent d'une propriété singulière. La définition de la fonction *(5) par une intégrale double devient complètement illusoire pour une certaine région R du plan de la variable complexe z. 11 y avait lieu d'examiner si cette région R ne serait pas, pour la fonction 4>(«), un espace lacunaire, résultat qui aurait eu un grand intérêt, s'il s'était trouvé exact. J'ai démontré (7, 60) qu'il n'en est rien : ta région^ n! est pas un espace lacunaire, au sens propre du mot. Il existe une fonction analytique de z qui coïncide avec ^(s) à l'extérieur de R, et que Ton peut prolonger, par le procédé habituel, à l'intérieur de cette région, tant que la variable n'atteint pas certaines valeurs isolées les unes des autres. Mais, lorsque le chemin décrit par:? traverse la région R, cette fonction subit des modifications profondes dont l'étude détaillée forme le principal objet d'un de mes Mémoires. J'ai déduit de cette étude le moyen de construire une intégrale double, n'ayant de sens qu'à l'intérieur de certaines portions du plan, séparées par des bandes de lar- ^euv finie, et représentant des fonctions absolument distinctes dans

(7) CCS diverses régions. Les résultats curieux, obtenus d'abord par Weierslrass, puis par d'autres géomètres, avaient appelé l'attention sur les expressions analytiques, qui jouissent de cette propriété paradoxale.

Intégrales pseudo-elliptiques (11,85).

5. Les travaux dont je vais parler maintenant sont relatifs à des catégories particuliferes de fonctions analytiques. Je citerai d'abord un théorème général (H), permettant de reconnaître dans certains cas qu'une intégrale' elliptique est pseudo-elliptique : Soit ¥(x) une /onction doublement périodique, qui est multipliée par un facteur o égal à une racine /i"*"* de r unité lorsque x augmente de la n}""^^ partie d'une

période; l'intégrale j F(x') dx est égale à une/onction doublement périodique y augmentée d*une somme de logarithmes de /onctions doublement périodiques, multipliés par des /acteurs constants.

J'ai étudié ensuite en détail (85) le cas particulier où n = 2, w = — I. A toute substitution linéaire de période 3, permutant deux à deux les racines de l'équation du quatrième ordre R(^) = o, le théorème précédent fait correspondre un type d'intégrales pseudoelliptiques. Lorsqu'il existe des substitutions de période 3 ou 4» permutant les racines de R(^), elles donnent lieu également à de nouvelles intégrales pseudo elliptiques. Dans cette catégorie rentre une intégrale célèbre étudiée par Euler (*), Clausen, et d'autres encore. En associant les diverses substitutions précédentes, on obtient encore des types plus généraux d'intégrales pseudo-elliptiques. Quelquesunes de ces propositions ont été étudiées depuis dans un Article de M.Hermite(^).

Intégrales hyperelliptiques (16, 8^).

G. On doit à MM. Weierstrass, Picard, Poincaré, des propositions importantes sur la réduction du nombre des périodes dans une inlé-

(*) Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. H, p. 644 6t 645. (*) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. [I; 1888.

(8) grale abélienne. Ces difTérents géomètres se sont placés surtout au point de vue transcendant. En étudiant algébriquement le problème de la réduction d'une intégrale hyperelliptique à une intégrale hyperelliptique de genre moindre, j'ai obtenu un certain nombre de résultats dont je citerai les principaux : i® Les seules substitutions rationnelles conduisant d'une intégrale hyperelliptique à une intégrale hyperelliptique du même genre sont les substitutions linéaires; 2^ il existe une infinité de substitutions rationnelles conduisant d'une intégrale elliptique à une intégrale hyperelliptique de genre donné; au contraire, il n'existe qu'un nombre ^m de substitutions rationnelles conduisant d'une intégrale hyperelliptique de genre /i>i à une intégrale hyperelliptique de genre q >/?; 3" les coefficients d'un type réductible, de genre 9, ramené à une forme normale, dépendent au plus de q paramètres arbitraires.

M. Picard avait démontré {Bullelin de la Société mathématique ^ t. XI )

^ dx, où K(x) est un

polynôme du cinquième ou du sixième degré, possédant seulement deux périodes, il en existe une seconde de la même forme, jouissant de la même propriété; ces deux intégrales peuvent se ramener à des intégrales elliptiques par des substitutions rationnelles de même degré D. Lorsque D = 2, les racines de R(a7) sont deux à deux en involution, et les deux intégrales réductibles peuvent se ramener à une forme simple indiquée par Jacobi (Journal de Crelle, t. 8). Dans le cas où D = 3, on ne connaissait qu'un type particulier, découvert par M. Hermite. J'ai obtenu la forme générale des intégrales hyperelliptiques de genre 2, qui sont réductibles, par une substitution du troisième degré, aux intégrales elliptiques. Ces deux intégrales peuvent se ramener à une forme canonique simple, dépendant de deux paramètres arbitraires essentiellement distincts. Ce cas de réduction a été étudié depuis par >LM. Brioschi (*), Burkhardt (»), 0. Bolza (').

(*) Annales de l'École Normale supérieure, a* série, t. VIII, p. 227. (*) Mathematische Annàlen^ Bd XXXVI, p. 4io.

(') Mathematische Annalen, Bd L, p. 3i4'

Intégrales abéliennes. Inversion (10, 30, 32, 71, 80).

7. On suppose ordinairemeni, (hnns la théorie des intégrales abéliennes, que les points de discontinuilé sont distinels des points de ramification. Je me suis proposé de reeliercher les fonctions que Ton doit prendre pour remplacer l'intégrale normale de seconde espèce lorsque le pôle vient coïncider avec un point de ramificalion. Ces fonctions s'expriment encore au moyen des fonctions©, et leurs propriétés résultent de ce mode d'expression. Elles jouent absolument le même rôle que les intégrales normales de seconde espèce, où le pôle est un point ordinaire, soit dans le théorème de Riemann-Roch, soit dans la théorie génénile des fonctions uniformes d'un point analytique, lin particulier, elles interviennent dans l'expression des fonctions rationnelles qui sont les dérivées des intégrales de première espèce.

[In autre problème, relatif aux intégrales abéliennes, a fait l'objet d'un autre Article. Kiant donnée une courbe algébrique ¥(x, y) = o, de genre/?, on doit à Abel une proposition importante, relative aux

intégrales / R(^, v) dx qui s'expriment par des logarithmes. La fonc-

tion rationnelle R(jr, y) étant donnée, le problème qui consiste à reconnaître si l'intégrale précédente s'exprime elfectivement par un nombre fini de logarithmes est extrêmement difficile. En essayant de préciser en quoi consiste la difficulté de ce problème, j'ai montré (32) qu'il se décompose naturellement en deux autres dont le premier est d'une nature exclusivement arithmétique; quant au second, il est du nombre de ceux dont on ne peut espérer obtenir la solution par des opérations dont la fin soit assurée, au moins dans le cas général.

Dans une Noie intéressante, publiée récemment {Comptes rendus, t. CXXX, p. loî), M. Ptaszycki, se plaçant précisément au point de vue que j'avais indiqué, a montré comment la question était liée à la périodicité ou à la non-périodicité d'une certaine suite de fonctions qu'il apprend à former; ce qui explique et généralise en même temps un beau théorème découvert par Abel.

Depuis les célèbres Travaux de Jacobi sur l'inversion des intégrales de première espèce, le problème avait été étendu par différents géo-

mètres (*) au cas où I*on ajoute aux p intégrales de première espèce un certain nombre d'intégrales présentant des points de discontinuité sur la surface de Riemann. Le résultat le plus complet élait dû à M. Appell, mais le cas le plus général, où l'on adjoint aux/? intégrales de première espèce q intégrales abéliennes kv absolument quelconques, restait encore à traiter. J'ai montré que le problème ainsi généralisé se ramenait au problème d'inversion de Jacobi, suivi de la résolution d'un certain nombre d'équations, où les inconnues ne figurent sous aucun autre signe transcendant que le logarithme. On retrouve ainsi, bien entendu, tous les résultats déjà connus et un grand nombre d'autres résultats intéressants. Par exemple, si les intégrales w n'admettent aucun point singulier logarithmique, les fonctions obtenues par l'inversion n'admettent jamais qu'un nombre fini de systèmes de valeurs pour chaque système de valeurs des variables indépendantes. Je citerai seulement deux autres Articles (71, 80) relatifs à la ménie théorie. Dans l'un, je montre comment on peut établir directement que l'inversion ordinaire des intégrales de première espèce conduit à des fonctions uniformes sans avoir recours à la théorie générale des équations difl'érentielles. Le second Article est relatif à une propriété d'un nombre r, qui joue un rôle important dans la théorie des courbes algébriques.

( ') UoSKNUAiN, Savants étrangers, t. XI; Clkbscii, Journal (le Crclle, l. iSi: Clkbscii ol GoRDVN, Abels' chcn Fuitctionrn : Elliot^ Annales de l'École \ormale, a* série, I. \l : xVppixl, Journal (le Math(^matiqncs\ î* série, t. I.

SÉRIES HYPIîRGÉOMÉTRIQllES. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Séries hypergéométriques de Gauss (50).

8. Mon premier Travail, qui m'a servi de Thèse de doctorat, a eu pour ohjet l'étude de Téquation célèbre

qui admet pour intégrale la série hypergéométrique de Gauss. J'ai pris comme point de départ les résultats obtenus par Jacobi et publiés, après sa mort, dans le Tome 56 du Journal de Crelle; l'illustre géomètre indique six intégrales définies qui fournissent, par des transformations faciles, toutes les intégrales trouvées par Gauss et Kummer. Pour tirer de la méthode de Jacobi tout le parti possible, j'ai dû d'abord étudier en détail les propriétés des fonctions représentées par ces intégrales définies, propriétés qui peuvent se résumer ainsi : Chacune d'elles est finie, continue et uniforme, pourvu que le chemin suivi par la variable soit assujetti à ne pas franchir certaines portjpns de l'axe des quantités réelles; elle peut être représentée de quatre manières différentes, au moyen de séries hypergéométriques ordinaires, dans certaines régions du plan. Entre trois de ces six intégrales, il existe une relation linéaire et homogène a coefficients constants. Ces relations ont été données en partie par Gauss et Kummer pour les valeurs réelles de la variable. Par l'application du théorème de Cauchy aux intégrales définies de Jacobi, prises le long d'un contour convenable, j'établis ces relations pour des valeurs quelconques de la variable. La connaissance de ces relations permet de résoudre entièrement le problème de l'intégration posé en ces termes :

Étant donne un chemin continu qui part d'un point A du pian des x et qui aboutit à un point B; étant donnée, en outre y une solution de

( ïO

réquation hyper géométrique qui convienne à la région où se trouve le point A, et supposant que la variable suive le chemin donné y déterminer lu solution à laquelle on arrive au point B.

Après avoir montré quelles modifications il convient de faire subir aux formules générales, lorsque l'un des nombres y, a — p, y "" °^ "" P «îst un nombre entier, je retrouve, comme application, les théorèmes de M. Fuchs sur les périodes K, K', considérées comme fondions du module ^^ et les beaux résultats de M. Schwarz sur les cas d'intégration algébrique. Ces derniers résultats sont établis par une voie tout élémentaire, grâce à une représentation géométrique que l'on s'accorde à trouver remarquablement simple.

Dans la seconde partie du Mémoire, je me suis proposé de trouver tous les cas où un produit tel que

peut être remplacé par un produit analogue et équivalent, relatif à une nouvelle variable/, x étant une fonction algébrique de /. Gauss, et surtout Kummer, avaient donné un p;rand nombre de formules de cette forme. Leg méthodes qui les y avaient conduits ne paraissaient pas susceptibles de beaucoup d'extension, maisGauss avait exprimé la conviction qu'on pourrait un jour obtenir un grand nombre de formules de même nature, mais plus cachées, en partant d'un point de vue plus élevé ('). Ce principe supérieur, soupçonné et peut-être entrevu par Gauss, a été mis en évidence par Riemann dans son célèbre Mémoire sur la série hypergéométrique(^). C'est, en effet, en adoptant le point de vue de lliemann que j'ai réussi à déterminer toutes les transformations, en très grand nombre, dont Gauss avait prévu l'existence. Si l'on écarte les cas où l'équation hypergéométrique s'intègre au moyen de fonctions élémentaires ou au moyen de quadratures, i7 n existe quun nombre fini de pareilles transformations ; elles sont au plus

(») « Mullo vero plures siae dubio adhuc lalent, easque ipsas quas hic tradeinus fortasse ex allioribus principiis in posterum derivarc liccbit. » [OEuvrcs complètes^ l. III, p. i?.4-i'25.)

(») Beitrage zur Théorie dcr diirch Gauss' che Reihe F(a, ,3, 7, .r) darstellbaren Functîoncn. [OEiwrcs complètes, p. 62.)

du sixième degré par rapport à chacune des variables. J'ai déterminé (l'abord les transformations rationnelles; elles se distinguent en deux classes, suivant qu'il existe une ou deux relations entre les éléments a, p, y. Pour obtenir les transformations rationnelles, aucun nouveau calcul n'est nécessaire; j'ai prouvé, en effet, (\\\ on les obtient toutes en combinant les transformations rationnelles.

Séries hypergéométriques d'ordre supérieur à une seule variable

9. L'étude approfondie que je venais de faire de la série hypergéométrique de Gauss me conduisait tout naturellement à essayer d'étendre à des fonctions plus générales les remarquables propriétés de cette série. Plusieurs voies s'offraient pour cela, que j'ai suivies successivement. Une des plus séduisantes était la voie ouverte par Riemann, dans le Mémoire auquel je viens de faire allusion. On sait que, dans ce Mémoire, Riemann définit les fonctions de Gauss au moyen de leurs trois points critiques et des exposants de discontinuité, entre lesquels est assignée une relation convenable.

Je me suis proposé de donner une définition analogue à celle de Riemann pour les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur k

une seule variable; j'appelle ainsi les séries entières Vw„a?'S où le

rapport — — est une fonction rationnelle du rang n qui tend vers

l'unité lorsque n augmente indéfiniment. Pour aborder ce problème, il m'a fallu généraliser une des propositions fondamentales de M. Fuchs sur la théorie des équations linéaires a intégrales régulières. La proposition que j'ai obtenue fait connaître la forme générale des coefficients d'une équation linéaire dans le domaine d'un point j? = a, lorsqu'elle admet une intégrale holomorphe dans ce domaine, les valeurs de cette intégrale et de ses y» — i premières dérivées pouvant être prises arbitrairement pour x = a. Ce théorème, intéressant en lui-même, car il renferme toute la théorie des équations à intégrales régulières, m'a été très utile par la suite dans plusieurs recherches.

Une fois ce théorème établi, j'ai pu montrer qn' une fonction y est complètement déterminée par les conditions suivantes : i ^ Chaque branche

<le la fonction est holomorplie p<Hir toute valeur de x^ diflerenle de 0,1, oc; 2** entre /n- i déterminations de la fonction, il existe une relation linéaire et homogène à coefficients constants; 3*^ enfin, dans le domaine de chacun des points critiques o, 1 , oo, il existe n branches d'une forme spéciale que je précise. En particulier, dans le domaine du point 0- = o, il existe une branche holomorphe, qui s'exprime par une sérié hypergéométrique d'ordre supérieur. L'analogie parait donc complète avec la théorie de Riemann; il y a cependant un fait nouveau (|ue Tétude de la série de Gauss ne permettait pas de prévoir, c'est le rôle tout particulier que joue le point critiquer? = 1. Ce qui caractérise ce point critique, c'est qu'il existe dans le voisinage n — i branches (le la fonction, linéairement distinctes, qui sont holomorphes. On est donc obligé de renoncer à la symétrie entre les différents points critiques pour pouvoir étendre la définition de Riemann aux séries hypergéométriques d'ordre supérieur. Cette dissymétrie entre les trois points singuliers rend, en quelque sorte, intuitives les analogies et les différences avec la série hypergéométrique ordinaire ; on n'a plus six substitutions linéaires ne faisant qu'échanger les points critiques,

comme dans le cas de la série de Gauss, mais une seule a? = -•

Les <liverses branches de la fonction v sont des intégrales d'une équation diflerenlielle linéaire d'ordre w, dont les coefficients dépendent de 2/1 — 1 nombres arbitraires a,, a^, ...,«;,, 6<, ..., h^^^. Les intégrales de cette équation sont représentées par des intégrales définies multiples, et j'ai fait remarquer en passant qu'on pourrait se servir de ce mode de représentation pour obtenir les relations linéaires entre (/iH-i) intégrales (*). liais si l'on veut seulement les substitutions fondamentales du groupe do l'équation, on peut les obtenir par un calcul beaucoup plus simple que j'ai achevé. La connaissance de ces substitutions permet de traiter différents problèmes, par exemple do répondre complètement aux questions suivantes, dont les cas les plus simples avaient été traités par Clausen (^) : Dans quels cas le carré dune série hypergéométrique ordinaire^ ou le produit de deux pareilles séries

(ï) Le calcul a été cfTeclué par M. G. Périer dans sa Thèse de doctoral, pour n = 3. ( -) Journal de C relie, t. 3.

esl-il une série hyper géométrique d'ordre supérieur? On peut aussi s'en servir pour former toutes les équations liypergéométriques admettant un groupe donné de substitutions, pourvu que ce groupe soit dérivé de deux substitutions fondamentales, dont Tune doit satisfaire à une condition particulière. La recherche des cas où une fonction hypergéométrique d'ordre n est une fonction algébrique serait donc complètement résolue, si Ton connaissait tous les groupes d'ordre fini de substitutions linéaires à n variables.

Les Travaux de MM. Jordan, Klein, Valentiner nous ont fait connaître tous les groupes à trois variables; il n'y aurait donc, en appliquant ma méthode, aucune difficulté à énumérertous les cas où l'équation hypergéométrique du troisième ordre s'intègre algébriquement, comme l'a fait M. Schwarz pour la série hypergéométrique de Gauss.

Laissant ce calcul à qui voudra bien Tentreprendre, j'ai appelé seulement l'attention sur les équations hypergéométriques, en nombre infini^ qui correspondent au groupe de lOS substitutions, découvert par M. Klein (*), reproduisant la forme ternaire ^rJiCa -h ^j-rg -h r'Jx^. Quelques-uncsdeces équations avaient déjù été indiquées parBrioschi etHalphen (^). Une surtoutavait vivement attiré Tattention d'Halphen ; elle se rattache à la transformation des fonctions elliptiques, et son existence avait été signalée par M. Klein, qui avait renoncé à la former, Elle a été déduite par Halphen de sa théorie des invariants; le procédé que J'emploie la donne immédiatement, ainsi qu'une infinité d'autres admettant le même groupe.

Fonctions analogues aux séries hypergéométriques (19, 5^).

10. Les recherches contenues dans les Mémoires précédents étaient encore susceptibles de généralisations étendues. Dans un Mémoire ultérieur (54), j'ai eu pour but de montrer comment l'extension du problème de Riemann aux équations linéaires d'ordre supérieur était un problème indéterminé, comportant un nombre indéfini de solutions,

( ' ) Mathenuilische Annalcn, Bd XIV.

(*) Mathematische Annnlen, Bd XXIV, p. 4Gv>.

Voir aussi : Notice sur les Travaux mathématiques de G, -H, Halphen, p. 34-

dont les équations hypergéoniélriques que j'avais étudiées, ainsi que les équations de MM. Hermite et Pochanrimer, n'étaient en quelque sorte que les deux fermes extrêmes. Il existe en effet une infinité d'équations linéaires dont les intégrales peuvent être définies a la façon de la série de Gauss; j'ai donné le moyen de calculer effectivement les coefficients de ces équations, et montré comment elles se classaient nalurellement en grandes familles, le nombre de ces familles croissant indéfiniment avec l'ordre de l'équation.

(Ws équations possèdent une propriété remarquable : on peut (/éierrniner leur groupe de subslitulions par des calculs algébriques. Celte propriété les distingue nettement des équations linéaires les plus générales; on sait, en etTet, que les coefficients des substitutions fondamentales du groupe d'une équation linéaire sont en général des fonctions //'anAce/j(/a/2^^5 des coefficients. Pour montrer que ma méthode n'a pas seulement un intérêt théorique, je l'ai appliquées une équation du quatrième ordre, dont j'ai obtenu le groupe par un calcul de quelques lignes.

Séries hypergéométriques à deux variables (% 3, 21). ^

il. Une autre voie qui s'off'rait pour généraliser la série de Gauss consistait à rechercher des fonctions de deux variables jouissant de propriétés analogues. Cette voie avait été parcourue avec un remarquable succès par M. Appell et M. Picard. D'une part, M. Appell avait étudié quatre séries entières de deux variables F,, Fa, F3, F», présentant avec la série de Gauss la plus grande analogie, et montré que cette analogie n'était pas purement formelle. D'autre pari, M. Picard, se plaçant à un point de vue bien diff'érent, avait étendu le problème de Riemann aux fonctions de deux variables indépendantes et montré qu'en posant convenablement le problème, on retrouvait précisément la série ¥^ de M. Appell.

Cette série F^ satisfait à trois équations linéaires aux dérivées partielles

i /• — ap -\- bq -h cZy {'>') \ s T=:aip -h biq ■\- CiZ,

dont les coefficients rappellent par leur forme ceux de Téquation (i). J'ai montré qu'on peut faire l'étude de ce système par une méthode absolument pareille à celle dont je m'étais servi pour l'étude de l'équation (i). Ce système admet soixante intégrales qui s'expriment au moyen de la série F|. Ces intégrales sont représentées aussi par des intégrales définies tout à fait pareilles à celles de Jacobi, et ce mode de représentation permet encore d'obtenir les relations linéaires qui existent entre quatre intégrales. Les calculs ont été développés depuis par M. Levavasseur dans sa Thèse de doctorat.

Soient w,, (Oj, co, trois intégrales linéairement distinctes du système (2); si l'on pose

ces relations définissent 07 et j comme fonctions de u et de v. M. Picard a montré que» dans certains cas, on obtenait ainsi des fonctions hyperfuchsiennes. J'ai étudié en détail (21) un cas particulier de dégénérescence où l'inversion précédente conduit à des fonctions quadruplement périodiques de deux variables.

En ce qui concerne les fonctions F^ et F3 de M. Appell, j'ai montré qu'elles étaient susceptibles, comme la fonction F,, d'être définies par leurs points de discontinuité et la façon dont elles se comportent dans le voisinage de chacun d'eux. La question se présentait d'une façon plus compliquée que pour la série F^ , car les points singuliers ont un rôle dissymétrique, comme dans le cas des séries hypergéométriques d'ordre supérieur à une seule variable.

Intégration des équations linéaires par des intégrales définies

12. La facilité avec laquelle la théorie de l'équation de Gauss se déduisait de l'étude des intégrales de Jacobi permettait de penser qu'il serait facile d'étudier de la même façon des catégories beaucoup plus étendues d'équations linéaires. Soit V une fonction analytique des

deux variables indépendantes x et w, telle que le rapport y -j- soit une G. 3

fonction uniforme, et qui, lorsque x est supposé constant, n'admet qu'un nombre fini de valeurs singulières pour u. A toute fonction V jouissant de ces propriétés on peut associer une équation différentielle linéaire que Ton peut intégrer par des intégrales définies de la forme

f y du,

les limites g" et h étant prises d'une façon convenable, et chacune de ces expressions s'appliquant à certaines régions du plan. On voit ainsi s'offrir un nombre illimité d'équations linéaires, pour lesquelles on peut faire une théorie exactement pareille k celle de l'équation de Gauss. L'étude des intégrales de la forme considérée donne à la fois les points critiques, la nature des solutions dans le domaine des points critiques, et les relations linéaires entre les diverses solutions; c'est une véritable intégration, au sens moderne du mot.

Ces résultats peuvent encore être généralisés, en augmentant soit le nombre des variables indépendantes, soit le nombre des intégrations. Une théorie générale de tous les cas particuliers qui peuvent se présenter aurait été pénible et difficilement intelligible. Je me suis borné à traiter en détail deux cas particuliers, où intervenaient justement des séries hypergéométriques du troisième ordre et les séries F, et F3 à deux variables, que j'avais déjà eu l'occasion d'étudier. La méthode suivie met en évidence un fait déjà reconnu par M. Appell, à savoir que les séries Fo et F3 se ramènent l'une à l'autre.

Plusieurs mathématiciens russes ont poursuivi depuis lors des généralisations analogues, dans diverses directions.

Équation de Kummer (12, 20, 63, 73, 71).

13. C'est encore l'étude d'une question, se posant naturellement à propos de la série de Gauss, qui m'a conduit aux recherches suivantes. Le problème de la transformation des séries hypergéométriques a été posé dans toute sa généralité par M. Kummer; dans un Mémoire bien connu (*), il a démontré que la question se ramenait à la recherche

( " ) Journal de C relie, t. 1 5.

( '9) des intégrales algébriques d^une équation difTérentielIe du troisième ordre, dépendant de six coefficients arbitraires X, p, v, V, [x' v', à laquelle son nom est resté attaché. J'avais déjà, dans la seconde partie de ma Thèse de doctorat, obtenu toutes les intégrales rationnelles de cette équation, quand on regarde Tun au moins des nombres X, [jl, v comme arbitraire. Reprenant ensuite la question en me plaçant dans le cas le plus général, je suis parvenu à obtenir toutes les intégrales rationnelles de cette équation quand on ne fait aucune hypothèse sur X, pi, v. Voici, en quelques mots, la marche suivie : J'établis d'abord qu'il ne pouvait exister d'autres intégrales rationnelles, différentes des intégrales déjà connues, à moins que X, |jl, v ne soient des parties aliquotes de l'unité. Ces conditions étant remplies, j'ai montré ensuite qu'une fonction rationnelle 9(<), pour être une intégrale de l'équation de Kummer, doit satisfaire aux deux conditions suivantes :

I® Pour toute valeur de b, différente de Oy i , ao, les racines de V équation f^{t)=zh doivent être racines simples;

a® Les racines des trois équations ç(/) = o, ?(0 ^^ ^» ?(0 =^ ^> 9^^ ne sont ni o, ni i , ni oo, doivent être racines multiples, du même degré de multiplicité pour chacune d'elles.

Le problème d'Algèbre auquel on est ainsi ramené offre une analogie évidente avec le problème de Jacobi, qui domine toute la théorie de la transformation des fonctions elliptiques. Ce nouveau problème est lié lui-même à un système de relations arithmétiques, qui expriment uniquement que les trois équations ç(/) = o, (p(/) = i, (p(/)==Qo ont le même nombre de racines et que le genre de la relation x = o(t) est égal à zéro. C'est la discussion de ce système qui m'a conduit à une solution complète du problème ; j'en résumerai les résul tats brièvement.

Si la somme X -h (jh- v e^/ supérieure à l'unité, il existe une inanité de systèmes de valeurs pour X', (x', v' telles que l'équation de Kummer admette une intégrale rationnelle.

Les séries hypergéométriques correspondantes sont des fonctions algébriques de la variable, et les valeurs de X', p.', v' sont fournies par le Tableau de M. Schwarz. Depuis la publication de mon Travail,

( 2o) M. Otto Fischer s'est occupé en détail, dans sa Thèse inaugurale, du calcul des coefficients.

Si la somme X -h (jl -f- v est égale à r unité, il existe encore une infinité d* intégrales rationnelles, mais on n a plus quun nombre fini de systèmes de valeurs pour X', jjl', v'.

On retomhe d'ailleurs sur un cas spécial du problème de la transformation des fonctions elliptiques.

Enfin, si la somme X -h (x -t- v ^5/ inférieure à V unité. Un existe quun nombre fini d'intégrales rationnelles, dont j'ai donné le Tableau complet. Dans ce cas, le problème est lié à la transformation des fonctions fuchsiennes, dont la théorie venait d'être créée par M. Poincaré. Les intégrales que j'ai obtenues fournissent des exemples de relations algébriques entre des fonctions fuchsiennes qui ne se ramènent pas aux fonctions modulaires.

On pouvait penser que la méthode, qui m'avait réussi si complètement pour la recherche des intégrales rationnelles, s'appliquerait aussi avec succès à l'étude des intégrales algébriques. C'est ce qu'a essayé de faire M. Erwin Pappcrilz dans son Habilitationschrift (*); je suis revenu moi-même sur le sujet (63), surtout afin de mettre en évidence la différence essentielle entre les deux problèmes. En effet, dans le cas des intégrales algébriques, il faut ajouter aux relations arithmétiques des relations d'une nature beaucoup plus complexe, qui s'expriment par l'égalité des modules de deux surfaces de Riemann. Ces relations se trouvent satisfaites identiquement quand il s'agît d'intégrales rationnelles, mais il n'en est pas de même en général. On peut cependant tirer parti des relations arithmétiques, car il suffît d'un nombre y?/îi d'essais, par des opérations élémentaires, pour reconnaître si, à un système de solutions des équations arithmétiques, correspond une intégrale algébrique de l'équation de Kummer. On peut d'ailleurs diminuer le nombre des essais à l'aide de diverses remarques, parmi lesquelles je me bornerai à indiquer la suivante : Etant donnée une équation linéaire du second ordre à coefficients rationnels, si l'inversion du quotient de deux intégrales particulières donne une fonction

(>) Leipzig, 1886.

analytique de :; qui n^admet qu'un nombre fini de valeurs pour chaque valeur de z, l'équation proposée se déduit, par une substitution rationnelle, d'une équation de même forme où l'inversion du quotient de deux intégrales donne naissance à une fonction uniforme.

Transformations rationnelles des équations différentielles linéaires

14. La méthode suivie pour déterminer les intégrales rationnelles de l'équation de Kummer s'étendait sans difficulté à l'étude des transformations rationnelles des équations différentielles linéaires possédant un nombre quelconque de points critiques. Pour fixer les idées, je me suis borné à traiter en détail le cas d'une équation du second ordre. Le problème se pose alors comme il suit :

Étant donnée une équation linéaire du second ordre, à coefficients rationnels^ ayant p points singuliers (non apparents), trouver une fonction rationnelle o(t) telle que, en faisant le changement de variable j7 =: ç(^) et multipliant les intégrales par une fonction convenable de /, la nouvelle équation ait seulement q points singuliers (non apparents).

Il se présente encore ici un système d'équations arithmétiques dont la discussion est le nœud du problème. Cette discussion conduit d'abord aux résultats suivants, relativement aux deux nombres entiers p et q :

Lorsque p est supérieur à quatre, on a forcément q^p; si q =p, la substitution est linéaire.

Lorsque /? = 4 » on aura aussi q^k\ si q =^ t\, la transformation est une transformation de Jacobi.

Cette dernière proposition rapproche les intégrales rationnelles de l'équation de Kummer des transformations rationnelles elliptiques; ce sont, en effet, les seules transformalions qui n'augmentent pas nécessairement le nombre des points critiques.

En ce qui concerne le nombre des transformations possibles, les conclusions sont différentes, suivant le signe de la quantité

= P-^-lp

j'appelle ' la différence des exposants de discontinuité de l'équation

primitive dans le domaine du point critique ic = a,, cette différence étant supposée commensurable et réduite à sa plus simple expression. Si A est négatif ou nul, l'équation primitive appartient à un type algébrique ou elliptique; il existe une infinité de transformations rationnelles conduisant de r équation primitive à une équation ayant un nombre déterminé de points singuliers. En dehors de ces cas particuliers, au nombre de huit, toutes les substitutions rationnelles conduisant d'une équation qui a p points critiques à une équation qui en a 9, appai^ tiennent à un nombre limité de types distincts.

On peut tirer parti de ces recherches pour ramener à des calculs algébriques le problème suivant : Une équaiion linéaire du second ordre étant donnée, reconnaître si l'intégrale générale est une fonction algébrique de la variable. Je me suis servi des mêmes principes dans Fétude des cas de réduction d'une intégrale hyperelliptique (n** 6).

Réduction des équations linéaires (8, 15, 76, 82).

15. Dans un de mes premiers Articles (76), j'ai montré que l'intégration d'une équation linéaire du second ordre peut être effectuée par des différentiations et des éliminations, quand on connaît une relation entre deux intégrales de celte équation; il n'y a exception que dans deux cas particuliers où l'intégration exige une quadrature. Lorsque les coefficients de l'équation proposée sont des fonctions algébriques de la variable, et que la relation entre les intégrales est aussi algébrique, ces intégrales sont elles-mêmes des fonctions algébriques, sauf dans les deux cas exceptionnels signalés.

Dans ses belles recherches sur les invariants des équations différentielles linéaires, Laguerre avait découvert un cas de réduction très intéressant pour les équations linéaires du troisième ordre : c'est le cas où il existe, entre trois intégrales distinctes, une relation quadratique homogène à coefficients constants. En cherchant à étendre la proposition de Laguerre aux équations du quatrième ordre, j'ai obtenu un cas de réduction analogue : Lorsque quatre intégrales distinctes d' une équation linéaire du quatrième ordre vérifient une relation quadratique

homogène à coefficients constants, à discriminant diffèrent de zéro, ces intégrales s'obtiennent en faisant le produit des intégrales de deux équations linéaires du second ordre, La méthode par laquelle j'établis ce théorème prouve que les coefficients des deux équations du second ordre doivent s'obtenir par la résolution d'une équation du second degré, dont les coefficients admettent le même domaine de rationa*^ lité que les coefficients de l'équation du quatrième ordre. La question revenait au fond à la recherche des transformations homographiques qui font revenir sur elle-même une surface du second degré. De même, lorsque les intégrales vérifient deux relations quadratiques distinctes, on est conduit à étudier les transformations homographiques qui font revenir sur elle-même une biquadratique ou une cubique gauche. Peu de temps après la publication de ces résultats dans une Note des Comptes rendus (2 juillet i883), Halphen annonçait que sa théorie des invariants des équations linéaires permettait d'effectuer la réduction; les calculs sont développés dans son grand Mémoire (*) des Acta Mathematica (t. III, p. 3i4).

Le cas de réduction précédent se rattachait en réalité à la propriété que possèdent les surfaces du second degré, de revenir sur elles-mêmes par une infinité de transformations homographiques. La même propriété appartient à la surface développable du quatrième ordre, ayant pour arête de rebroussement une cubique gauche. J'ai montré aussi qu'on pouvait rattacher à cette surface un nouveau cas de réduction des équations linéaires du quatrième ordre (15). D'un autre côté, le premier membre de l'équation de cette surface peut être identifié au discriminant d'une forme binaire cubique. Ceci amène à trouver dans la théorie des formes algébriques une source de propositions analogues aux précédentes, quand on passe aux équations linéaires d'ordre supérieur; je me suis contenté d'en énoncer quelques-unes.

Depuis que M. Picard a étendu les théories de Galois aux équations différentielles linéaires, l'étude des cas de réduction a fait l'objet d'un certain nombre de Travaux. Les deux cas de réduction précédents sont encore parmi les plus intéressants que l'on ait découverts.

(>) Halphen déclare dans sa Notice (p. 34) que c'est la lecture de ma Note qui lui a suggéré ridée d'étudier ce problème.

Équations linéaires particulières (13, 81, 83).

16. L'étude des beaux Travaux de M. Hermite sur l'équation de Lamé m'avait conduit à rechercher les équations linéaires du troisième ordre, auxquelles on pourrait appliquer les méthodes de M. Hermite. J'ai étudié en particulier (13, 83) une équation du troisième ordre, ne possédant que trois points singuliers, ayant toutes ses intégrales régulières, et telle que, dans le domaine de chacun des points critiques, elle admette trois intégrales particulières qui sont respectivement multipliées par i, a, a'" (a et a* étant les racines cubiques imaginaires de l'unité) quand la variable décrit un lacet autour de ce point. Les coefficients de cette équation dépendent de nombres entiers indéterminés et, en outre, d'un paramètre h tout à fait arbitraire. Il résulte d'un important théorème de M. fl. Picard, que la variable et l'intégrale générale peuvent s'exprimer par des fonctions doublement périodiques proprement dites, ou de seconde espèce, d'une variable auxiliaire. Mais l'analogie avec l'équation de Lamé, ou plutôt avec l'une de ses transformées, peut être poussée plus loin; je démontre, en effet, que l'on peut trouver trois intégrales particulières de Vèquatioriy en général distinctes, dont le produit est une fonction rationnelle de la variable. C'est par l'étude directe du groupe de substitutions de l'équation que j'établis cette propriété. Les substitutions fondamentales de ce groupe peuvent être mises sous une forme particulièrement simple par un choix convenable des intégrales; cette forme met en évidence le théorème énoncé.

Dans un autre Article (81), j'ai donné une démonstration élémentaire d'une propriété importante du groupe de l'équation linéaire qui relie au module la fonction complète de première espèce : il n'existe

entre les substitutions fondamendales SI » SI ^^ ^^ groupe aucune relation de la forme

Systèmes d'équations linéaires (2V).

17. Les systèmes d'équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre, qui sont identiques h leur système adjoint, offrent un intérêt particulier, car on rencontre de pareils systèmes dans un grand nombre de questions de Géométrie et de Mécanique. M. Darboux (*) a montré que, lorsque n = 3. l'intégration d'un pareil système se ramène à Tintégration d'une équation de Riccati. Lorsque ri= 4f j'îii démontré de même que l'intégration du système se ramène à l'intégration de deux équations de Riccati distinctes. Au delà de /i = 4» il "6 semble pas que l'on rencontre de proposition aussi simple. Cependant, si Ton connaît, quel que soit le nombre n des inconnues, un système particulier d'intégrales, j'ai fait voir que l'on peut ramener l'intégration du système à celle d'un système demêmr espèce et à /i — i inconnues seulement.

Équations non linéaires. Solutions singulières (69, 89).

18. On peut, comme il est bien connu, se placer a deux points de vue différents pour étudier les solutions singulières d'une équation différentielle du premier ordre. Si l'on considère une famille de courbes C (algébriques), dépendant d'un paramètre variable a,

l'ensemble de ces courbes forme l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre

et l'enveloppe des courbes C est une solution singulière de l'équation (4). Au contraire, si l'on part d'une équation différentielle du premier ordre donnée a priori, elle n'admet pas, d'une façon normale, d'intégrale singulière; la courbe obtenue en éliminant j' entre les

(^) Théorie des surfaces, t. I, Cliap. H.

deux relations 9 = o, -r^ = o est un lieu de points de rebroussement

pour les courbes intégrales. Ces résultats sont aujourd'hui classiques. Je nfie suis proposé d'examiner quelles étaient les propriétés correspondantes pour un système de n équations du premier ordre. Si Ton suppose, pour fixer les idées, /i = 2, la théorie des solutions singulières se généralise comme il suit. Soient

(5) /, (.r,7, :;,«, h) — o, fi(^r,y,z,a, b)—o

les équations d'une congruence de courbes gauches F (algébriques). Toutes ces courbes satisfont à un système de deux équations différenliolles du premier ordre,

((i) FCo-, j, -,/, z') — o, F,(jr, V, -, v', z') — o,

dont elles constituent l'intégrale générale. D'autre part, la surface focale de la congruence se compose d'un certain nombre de nappes S,, So, . . ., S^. En chaque point /W/ de la nappe S,, par exemple, passe une courbe Y tangente à S,; les courbes de S/ qui, en chacun de leurs points, sont tangentes à la courbe F correspondante, vérifient évidemment les équations (6). D'ailleurs, elles ne font pas partie de la congruence (5); ce sont des solutions singulières des équations (G).

Inversement, étant donné un système d'équations diflerentielles du premier ordre, de forme quelconque^ ce système n'admet pas normalement d'intégrales singulières. La surface obtenue en éliminant y et z' entre les équations (6) et la suivante

rr o

est, en général, un lieu de points de rebroussement pour les courbes intégrales. J'ai donné les conditions nécessaires pour qu'il y ait des intégrales singulières, et traité ensuite les mêmes problèmes pour les systèmes d'un nombre quelconque d'équations.

J'ai dû, pour ces recherches, étendre d'abord aux systèmes de /^ équations différentielles du premier ordre les théorèmes classiques de Briot et Bouquet sur les intégrales de l'équation

dy ,

jr -7- =r av -h h y h- ex- -4- . . . , - dx -^

(^7 ) qui s'annulent avec x. Les résultats obtenus sont reproduits dans rOuvrage récent de Forsyth (^).

Des solutions singulières à l'équation de Clairaut la transition est facile. Cette équation possède, comme l'on sait, cette propriété curieuse qu'on obtient l'intégrale générale en y remplaçant r' par une constante arbitraire. A la suite d'un article de M. Raffy (^), je me suis proposé de déterminer toutes les équations différentielles du premier ordre jouissant de la même propriété (89). Il en existe une suite indéfinie, que l'on obtiendrait par l'équation d'une suite d'équations aux dérivées partielles dont l'ordre n peut être quelconque. Si n=^\, on retrouve l'équation de Clairaut. Pour /i = 2, l'équation aux dérivées partielles peut encore être intégrée, et l'on obtient le type d'équations le plus simple, après l'équation de Clairaut, qui s'intègre de la même façon. L'intégrale générale peut être définie comme il suit : Soient M, M' deux points quelconques d'une courbe plane C de forme arbitraire, et m le milieu de MM'; le point M restant fixe, si le point M' décrit la courbe C, le point m décrit une courbe bomothétique C|,. A chaque position du point M sur la courbe C correspond ainsi unr courbe Cj,, et l'ensemble de ces courbes constitue l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre, qui s'intègre à la façon de Téquation de Clairaut.

Pour n = 3 et pour les valeurs plus grandes de n, l'équation aux dérivées partielles correspondante ne parait pas intégrable.

Invariants (2-2, 26).

19. On connaît le rôle important que joue, dans la théorie mo* derne des fonctions, l'équation différentielle du troisième ordre qui lie à la variable indépendante le quotient de deux intégrales particulières d'une équation linéaire du second ordre. H se présente dans cette équation une expression remarquable

( *) Theorj of differential £qualio/is, vol. UI; passùn. (*) Bulletin de la Société Mathématique, t. XXIIL p. So.

qui se reproduit identiquement quand on y remplace y par --^^ — -5>

a, h, e, d étant des constantes quelconques; on donne quelquefois a cette expression le nom de schwarzien ou de dérivée scJuvarzienne, Je me suis proposé de rechercher des expressions, renfermant les dérivées partielles de deux fondions w, v, de deux variables indépendantes a;, y, et jouissant de la même propriété d'invariance relativement à une substitution linéaire à coefficients quelconques effectuée sur u et v. Voici, en quelques mots, la méthode que j'ai suivie. Je considère un système d'équations linéaires aux dérivées partielles de la forme (2) (n" 11), admettant trois intégrales linéairement distinctes, 5,, r.^, r,,

et je montre qu'en posant "- = //,- = {?, les fonctions ueis? sont défi-

nies par un système de quatre équations aux dérivées partielles du second ordre, dont les premiers membres possèdent précisément la propriété requise. J'obtiens ainsi quatre invariants distincts tout \\ fait analogues au schwarzien. Ces invariants ont été retrouvés peu après, au moyen d'une méthode différente, par M. Painlevé; ils ont été utilisés depuis par M. Boulanger pour l'étude des systèmes linéaires de la forme (2), dont l'intégrale générale est algébrique (').

Je me suis encore occupé des invariants à propos d'une autre question. Les belles recherches d'Halphen sur les invariants des équations différentielles linéaires devaient forcément inviter les géomètres à créer des théories analogues pour d'autres classes d'équations différentielles; c'est ce qu'ont fait, par exemple, MM. Appell et Roger Liouville. Me plaçant à un point de vue plus général (26), j'ai montré qu'on pouvait établir a priori l'existence d'invariants pour des classes déterminées d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles, et calculer ces invariants en appliquant les méthodes générales de Sophus Lie, pour les groupes continus iïordrefini.

( ') Journal de l'École Poljtec/t nique, a* série, 4* Cahier; 1898.