ÉQUATIONS AUX HÉRIVÉES PARTIELLES

Théorèmes d'existence (3^, 35, k2, 9^, 102, 10^).

20. L'existence des intégrales (analytiques) d'un système d'équations aux dérivées partielles a été établie pour la première fois d'une façon rigoureuse par Cauchy. Les démonstrations ont été simplifiées depuis par différents géomètres, surtout par M™* Kowalesky, dont la méthode est reproduite aujourd'hui dans la plupart des Ouvrages classiques. J'ai obtenu une démonstration encore plus simple (94) par l'emploi d'un artifice très général qui m'avait servi dans d'autres recherches du même genre, mais plus complexes, dont je parlerai plus loin. Dans le cas d'une équation du second ordre à deux variables indépendantes, le théorème de Cauchy prouve qu'une surface intégrale est, en général, déterminée, quand on se donne une courbe située sur cette surface, et le plan tangent tout le long de cette courbe, il est clair que les conditions précédentes pourraient être variées d'une infinité de façons. J'ai étudié en particulier le cas où Ton se donne deux courbes situées sur la surface cherchée, ayant un point commun. Les résultats obtenus seront plus facilement intelligibles, quand j'aurai parlé des caractéristiques, et j'y reviendrai plus loin.

Équations du premier ordre (102).

21. Dans un Ouvrage \niilu\é Leçons sur Tîntégralion des équations auœ dérivées partielles du premier ordre, publié en iSgr, j'ai exposé dans leur ordre historique les diverses méthodes d'intégration, depuis la méthode de Lagrange et Charpit jusqu'aux méthodes modernes de M. Sophus Lie, fondées sur la théorie des multiplicités d'éléments et des transformations de contact, qui constituent en quelque sorte la synthèse des méthodes antérieures. Les travaux de M. Sophus Lie ont

porté cette théorie à un si haut degré de perfection qu'il ne saurait être question de recherches bien originales dans un Ouvrage de cette nature. Parmi les diverses simplifications de détail que j'ai introduites, je rappellerai seulement que j'ai précisé complètement la méthode d'intégration des systèmes complets, due à Mayer, de façon à la mettre il l'abri de toute objection; dans l'exposition de la méthode de Lie, j'ai indiqué en quelques mots (102, page 178) comment on pourrait établir le théorème fondamental de Lie par une autre voie, en le rattachant aux théorèmes généraux de Cauchy. En se plaçant à ce point de vue, M. Delassus a montré depuis comment on pouvait rattacher les unes aux autres les diverses méthodes d'intégration, dans ses intéressantes Leçons sur la théorie analytique des équations aux Hérissées partielles du vremier ordre.

Équations du second ordre. Intégrale générale (lOV).

l'I. Au début de son grand Mémoire, Considérations générales sur les intégrales des équations aux différentielles partielles ( * ), Ampère adopte la définition suivante de l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles d'ordre quelconque : Pour qu'une intégrale soit générale, il faut qu 'Un en résulte y entre les variables que l'on considère et leurs dérii'ées à l infini^ que les relations exprimées par V équation donnée et celles quon en déduit en la différentiant. D'autre part, les travaux de Cauchy sur l'existence des intégrales' conduisaient naturellement à adopter une définition différente de l'intégrale générale. Voici, par exemple, la définition adoptée par M. Darboux pour l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre : Une intégrale est générale, si l'on peut disposer des arbitraires qui y figurent, fonctions ou constantes en nombre infini, de manière à retrouver les solutions dont les théorèmes de Cauchy démontrent rexistence, c'est-à-dire de manière à attribuer à la fonction inconnue et à l'une de ses dérivées premières des valeurs se succédant suivant une loi continue quelconque j donnée à l'avance^ pour tous tes points d'une courbe.

(* ) Journal de V École Potj technique, 17* Cahier.

li est facile de s'assurer qu'une intégrale, qui est générale dans le dernier sens, est aussi générale au sens d'Ampère. Il était naturel de se demander si la réciproque était exacte. La réponse était restée indécise ('). J'ai prouvé très nettement, par des exemples simples, qu'une intégrale peut être générale au sens d'Ampère, sans être générale au sens de Cauchy. U y a même un fait plus singulier: étant donnée une équation du second ordre, ne satisfaisant à aucune condition particulière, toute intégrale de cette équation, dépendant d'une infinité de constantes, est générale au sens d'Ampère. On voit par là combien la définition d'Ampère était insuffisante.

Caractéristiques (3^, 35, 62, 10^).

23. Il résulte du théorème fondamental de Cauchy qu'il existe, en général, une surface intégrale d'une équation du second ordre, à deux variables indépendantes, passant par une courbe donnée F, et tangente, tout le long de celte courbe, k une surface développable donnée A. L'étude des cas exceptionnels de ce problème, que l'on appelle généralement, pour abréger, \e problème de Cauchy, conduit à une notion très importante, celle des multiplicités caractéristiques, déjà entrevue par Monge et Ampère, mais dont la théorie ne pouvait être faite d'une façon précise qu'après les travaux de Cauchy. Dans un Ouvrage récent (104), j'ai pu, en m'appuyant sur les propriétés des caractéristiques, exposer d'une façon simple tous les faits déjà connus, ainsi que les résultats de mes recherches personnelles, sur les équations aux dérivées partielles du second ordre. Mais il était indispensable, afin de fonder une théorie rigoureuse, d'élucider d'abord complètement un certain nombre de questions qui se posent d'elles-mêmes, quand on veut étudier de près le rôle des caractéristiques. Pour bien montrer la suite des idées, je suis obligé d'entrer dans quelques détails sur ce sujet.

La connaissance d'une courbe F, située sur la surface inconnue S, et du plan tangent en un point quelconque de cette courbe revient à la

(*) Voir un Article de M. Borel, Remarques sur l'inte'gration des équations linéaires aux dérivées partielles ( Bulletin des Sciences Mathématiques, 1895 ).

connaissance d'une multiplicité M, d'éléments du premier ordre appartenant à cette surface intégrale, c'est-à-dire de cinq fonctions ;r, j, 2, p, y d'un paramètre variable satisfaisant à la relation

dz z=z pd,r -H (] d)\

L'équation proposée F = o, jointe k celles que l'on en déduit par des différentiations, permet alors, si la multiplicité M| n'est pas choisie d'une façon particulière, de déterminer les valeurs des dérivées successives de la fonction inconnue, à partir du second ordre, en un point (juelconque de la courbe F. On forme ainsi une série entière, convergente dans un certain domaine, qui donne la solution du problème deCauchv.

Ceci ne s'applique qu'aux circonstances les plus générales. Si la multiplicité M, satisfait à certaines conditions, les équations qui déterminent les valeurs des dérivées successives de la fonclion inconnue deviennent incompatibles ou indéterminées. On est ainsi conduit k distinguer sur toute surface intégrale deux familles de courbes, en général distinctes, qui jouissent de la propriété suivante : les valeurs de X, y y s, p, y, r, s, /, le long de /'une de ces courbes, forment une multiplicité à une dimension, telle que tes équations qui devraient faire connaître les déniées du troisième ordre, en un point quelconque de l'une de ces courbes, admettent une infinité de solutions. Ces multiplicités d'éléments du second ordre peuvent être définies indépendamment de toute surface intégrale; ce sont les caractéristiques du second ordre de l'équation F = o. Toute équation du second ordre possède en général deux familles distinctes de caractéristiques du second ordre. On définit de la même façon les caractéristiques d'ordre n, en considérant la suite des valeurs de s, et de toutes ses dérivées partielles jusqu'à celles d'ordre n inclusivement, le long de l'une des courbes précédentes. La liaison entre les caractéristiques des différents ordres résulte du théorème fondamental suivant : Lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes, toute caractéristique d'ordre n appartient à une infinité de caractéristiques d'ordre /i -h 1 , dépendant d'une constante arbitraire. Au contraire, lorsque les deux familles de caractéristiques sont confondues, une caractéristique d'ordre n n'appartient, en gênérai, qu'à une seule caractéristique d'ordre /i -h i.

Lorsqu'une multiplicité M, d'éléments du premier ordre est contenue dans une caractéristique du second ordre, Tétude du problème de Gauchy pour cette multiplicité conduit à des équations admettant une infinité de systèmes de solutions. iMais il y a encore ici une distinction essentielle à faire: l'indétermination, qMÎ commence en général aux dérivées du troisième ordre, peut exceptionnellement commencer dès le second ordre. Les valeurs des dérivées du second ordre r, s, i, quand on se donne a?, v, s, p, q en fonction d'un paramètre variable, sont fournies par les trois relations

{ 8 ) dp T= r (ix ~h s dy, dq =r s dx -h t dy ;

pour que l'indétermination commence au second ordre, ces équations <loivent admettre en r, ^, / une infinité de solutions dépendant d'un paramètre arbitraire. Afin de reconnaître les cas où il en est ainsi, je me suis servi d'une interprétation géométrique qui m'a rendu les plus grands services dans l'élude des équations du second ordre. Si l'on considère x^ y, 5, p, q, dx, dy, dz, dp, dq comme des paramètres donnés, et r,s,t comme les coordonnées d'un point dans l'espace, l'équation (7) représente une certaine surface (S); les équations (8) représentent de même une droite parallèle à une génératrice du cône (T) qui a pour équation rt — s'^ = o. Pour qu'une des inconnues r, 5, / puisse être prise arbitrairement, il faut et il suffît que la surface (S) admette des génératrices rectilignes parallèles aux génératrices du cône (T). Quand cette circonstance se présente, les multiplicités M, d'éléments du premier ordre, que l'on vient de définir, sont les caractéristiques du premier ordre.

J'ai été ainsi conduit à une classification des équations du second ordre, qui est généralement adoptée dès maintenant (*). En laissant de côté quelques cas particuliers intermédiaires, il y a lieu de distinguer quatre grandes classes : i*' les équations générales qui admettent deux systèmes différents de caractéristiques, tous les deux du second ordre; 2° les équations telles que la surface (X) correspondante est

(») Voir Encydopàdie der mathematischen Wissenschaften, Bd H, p. 366.

une surface réglée, non développable, ni du second ordre, dont les génératrices sont parallèles aux génératrices du cône (T) : elles admettent encore deux systèmes différents de caractéristiques, un du premier ordre, un du second ordre; 3° les équations pour lesquelles la surface (2) est une surface développable dont le plan tangent reste parallèle à un plan tangent au cône (T); elles admettent un seul système de caractéristiques qui est du premier ordre; 4** les équations de Monge-Ampère, qui admettent deux familles de caractéristiques du premier ordre. La surface (S) correspondante est un plan ou une surface du second degré dont les génératrices sont parallèles à celles du cône (T). On comprend par là pourquoi la théorie de ces dernières équations doit être plus simple que la théorie des équations générales du second ordre. J'ai pu, en effet, en me servant de la représentation géométrique précédente, exposer les propriétés de ces équations d'une façon presque intuitive (104, Chap. II).

Tout ce qui précède serait purement formel, si l'on n'étudiait pas jusqu'à quel point l'indétermination qui se présente dans la solution du problème de Cauchy est réelle ou apparente. En termes précis, voici quelle était la nature du problème à résoudre : Etant donnée une caractéristique du second ordre, les recherches précédentes prouvent que l'on peut construire une infinité de séries entières, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, qui satisfont formellement à l'équation proposée, et qui, si elles sont convergentes, représentent des intégrales auxquelles appartiennent tous les éléments de la caractéristique considérée ; peut-on disposer des arbitraires qui y figurent de façon qu'elles soient convergentes? Dans le cas général où les deux familles de caractéristiques sont distinctes, j'ai obtenu la solution complète de ce problème. Le résultat que j'énonce, pour plus de clarté, en langage géométrique est le suivant: Par toute caractéristique du second ordre passent une infinité de surfaces intégrales dépendant d'aune infinité de constantes arbitraires; pour achever de déterminer la surface intégrale, il suffit de se donner une autre courbe arbitraire, rencontrant la caractéristique, et située sur la surface cherchée. De ce théorème se déduisent des conséquences très variées; je citerai seulement la proposition suivante qui avait déjà été établie par MM. Darbouxet Picard dans le cas particulier des équations linéaires, et qui est vraie pour une équation de

forme quelconque: Deujc caracterlstiifues du second ordre de systèmes différents, ayant un élément commun du second ordre, déterminent une surface intégrale et une seule.

Les méthodes habituelles du calcul des limites étaient insuftisantes pour décider de la convergence ou de la divergence des séries qu'il s'agissait d'étudier. Après divers essais, je me suis arrêté à un artifice simple, d'un caractère très général, qui permet d'étudier des questions plus compliquées. L'une des plus simples qui se présente, après le problème de Cauchy, me paraît être la suivante : Étant données deux courbes C, C, se coupant en un point 0, déterminer une surface intégrale passant par les courbes C, C, et pour laquelle le point ne soit pas un point singulier. Les tangentes aux deux courbes C, C au point déterminent le plan tangent en 0, c'est-à-dire les valeurs des dérivées du premier ordre/? et q. On peut ensuite calculer de proche en proche les valeurs des dérivées parHelles des différents ordres de la fonction inconnue par des systèmes d'équations en nombre égal à celui des inconnues et qui sont toujours linéaires à partir du troisième ordre. Je me suis d'abord proposé de rechercher les cas où ces équations sont incompatibles ou indéterminées, ce qui m'a conduit k un résultat bien singulier. Les valeurs de r,5,/ étantconnues, on a l'élément du second ordre de la surface intégrale cherchée au point et, par suite, les directions des tangentes aux deux caractéristiques issues de cet élément. Cela étant, les équations qui déterminent de proche en proche les valeurs des dérii^ées partielles des différents ordres de la fonction inconnue, au point 0, deviennent périodiquement incompatibles ou indéterminées, lorsque le rapport anharmonique des tangentes aux deux courbes données (], C, et des tangentes aux deux caractéristiques issues du point 0, est une racine n'^""' de l'unité Ci5). Dans tout autre cas, il ne peut y avoir plus d'une intégrale régulière satisfaisant aux conditions requises; il peut du reste arriver, même lorsque la série obtenue est unique, que cette série soit divergente. L'élude de tous les cas particuliers qui peuvent se présenter exige des discussions fort délicates, que je n'ai pas encore publiées. Je citerai seulement le résultat suivant: lorsque l'une des courbes C, C est tangente au point à une direction caractéristique, la série obtenue est toujours convergente dans le voisinage du point 0(42). Pour se rendre compte du degré de généralité de

cette proposition, il suffit, par exemple, de l'appliquer à une équation linéaire, ce qui conduit à l'énoncé suivant : Étant données une équation linéaire à coefficients quelconques s -h ap -\- hq -h es = o^ et deux courbes C, C, ayant un point commun 0, sans être tangentes en ce points il existe une sur/ace intégrale et une seule passant par ces deux courbes, pourvu que la tangente à l'une de ces courbes au point soit parallèle à l'un des plans X = o, ou y = o.

La discussion du problème de Caucliy pour une caractéristique conduit à des conclusions totalement différentes, lorsque les deux familles de caractéristiques de l'équation du s^îcond ordre considérée se réduisent à une seule. Une caractéristique ne peut appartenir en général à plus d'une surface intégrale, sauf pour certaines caractéristiques d'une classe d'équations dont il sera question au paragraphe suivant. Mais la série entière que l'on détermine ainsi n'est pas nécessairement convergente dans un domaine fini; cett^ question appelle encore de nouvelles recherches.

Intégrales intermédiaires (29, 62, lOi).

24. A la théorie des caractéristiques se rattache, de la façon la plus étroite, la recherche des intégrales intermédiaires, c'est-h-dire des équations du premier ordre /(a:^, v, z, p, q) = o, dont toutes les intégrales vérifient l'équation du second ordre proposée. Dans le cas des équations de Monge-Ampère, le problème se ramène, comme l'on sait, à la recherche des combinaisons intégrables des équations différentielles des caractéristiques du premier ordre. Dans le cas d'une équation de forme quelconque, il ne peut exister d'intégrale intermédiaire dépendant de deux constantes arbitraires /(x, y^ s, /?, q, a, h) = o, que si Téquation admet wn^. famille de caractéristiques du premier ordre. Des équations en dx^ dy, dp, dq, qui définissent ces caractéristiques, on déduit alors un système de deux équations aux dérivées partielles, non linéaires, du premier ordre, dont les intégrales communes, s'il en existe, fournissent les intégrales intermédiaires cherchées. Je me suis proposé d'examiner si ces deux équations simultanées pouvaient former un système en involution ; pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que les deux familles de caractéristiques soient

confondues et, de plus, qu'une autre condition soit satisfaite. Cette dernière condition est assez compliquée, et il parait difficile de pouvoir en déduire toutes les équations qui répondent à la question. J'ai dû prendre une autre voie pour y parvenir. En supposant que la condition requise soit vérifiée, je prouve d'abord que l'intégrale générale de l'équation du second ordre est représentée par un système de deux équations

(9) Nu^ â\] ^, ^ âl} .,, , àV ,^ ^

f âa à/(ay ^ ^ àf(ay ^ ' d ^{a) ' ^ '

OÙ a désigne un paramètre auxiliaire, /(a) et 9(a) deux fonctions arbitraires de ce paramètre. Inversement, pour que les formules précédentes représentent l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, la fonction U ne peut pas être prise quelconque; elle doit encore remplir une certaine condition, et voici en définitive le résultat auquel j'arrive : Étant donnée une équation aux dérivées partielles du premier ordre de la forme

('^) 11 Vs:^^ -^^'5^' g:^' ^- ^- ^«^ V"^""'

// suffit de connaître une intégrale complète de cette équation pour en déduire une équation du second ordre dont C intégrale générale est représentée par un système de deux équations de la forme (g), et on les obtient toutes de cette façon ^ en faisant varier la fonction arbitraire U.

Ce résultat me paraît surtout intéressant, parce qu'il nous fait connaître une classe nouvelle et étendue d'équations du second ordre, dont l'intégrale générale peut être écrite explicitement. Nous retrouverons, du reste, plusieurs fois cette catégorie d'équations dans la suite de cette Notice.

Systèmes en involution (34, 39, 67, 72, 104).

25. M. Sophus Lie a donné le nom de systèmes en involution à des systèmes d'équations simultanées d'ordre quelconque, lorsque l'intégrale générale d'un pareil système présente le plus haut degré possible

de généralité, étant donnés le nombre et Tordre de ces équations. La méthode d'intégration proposée par M. Darboux pour les équations du second ordre conduisait à étudier les systèmes en involution formés d'une équation du second ordre et d'une autre équation d'ordre quelconque. L'intégration de cesi systèmes, dont les propriétés essentielles étaient connues déjà, se ramène à l'intégration d'équations différentielles ordinaires. Les propositions générales de la théorie des caractéristiques m'ont permis de présenter la théorie de ces systèmes sous une forme très simple (104, Ch. VI), qui met en évidence leurs propriétés les plus importantes.

J'ai étudié aussi en particulier (39, 67), les systèmes en involution formés de deux équations du second ordre, f^orsque les équations sont linéaires en r, s, /, on peut les écrire

(ri) r -hls -h [f.t-= o, .ç-t- X^ -f- V =: o,

X, (JL, V étant des fonctions de x, y, s, /?, y, qui doivent satisfaire à une condition supplémentaire. La théorie de ces systèmes présente la plus grande analogie avec la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, qui peut du reste être considérée comme un cas particulier. L'intégrale générale du système peut toujours être représentée par un système de formules où figurent explicitement un paramètre variable a, une fonction arbitraire o(a) de ce paramètre et ses dérivées o'(a), 9"(^)- Une transformation de contact permet de ramener les équations (ï i) a une forme canonique simple, de la même façon qu'on peut ramener toute équation du premier ordre à la forme canonique/? = o. J'ai montré aussi qu'à tout système linéaire en involution on peut rattacher l'intégration d'une équation de Monge où figurent les dérivées du second ordre

Les systèmes en involution non linéaires se rattachent d'une façon curieuse à la classe d'équations du second ordre du paragraphe précédent. Soient

les équations de ce système; si l'on y regarde x, y, z, p, q comme des

constantes données, et r, s, t comme les coordonnées d'un point, ces équations représentent une certaine courbe (F). Pour que le système soit en involution, il faut d'abord que les tangentes à cette courbe (F) soient parallèles aux génératrices du cône (T) qui a pour équation r/ — 5*=o. Si cette condition est satisfaite, on peut considérer la courbe (F) comme l'arête de rebroussement d'une surface développable (£); soit

l'équation de cette surface (2). Cela étant, voici le résultat assez imprévu auquel j'ai été conduit : Pour que le système (12) soit en involution^ il faut et il suffit que r équation (ï3) appartienne à la classe considérée au paragraphe précédent y c'est-à-dire que les équations qui déterminentses intégrales intermédiaires forment elles-mêmes un système en involution. Ce théorème donne le moyen de former tous les systèmes en involution de deux équations du second ordre. Les intégrales du système (12) sont des intégrales singulières de l'équation (i3); on les obtient en établissant une relation d'une forme particulière entre les fonctions arbitraires/(a) etç(a)qui figurent dans les formules (9).

La méthode de H. Darbouz (33, 37, i^O, tô, Wl, 66, 72, 104).

26. Les méthodes d'intégration de Monge et d'Ampère, qui consistent à rechercher les intégrales intermédiaires du premier ordre, sont d'une application très limitée. Dans un Mémoire fondamental publié en 1870 dans les Annales de l* École Normale, M. Darboux a proposé une méthode qui va beaucoup plus loin que les précédentes. L'étude de celte méthode suggère un grand nombre de questions; j'ai consacré plusieurs Mémoires à élucider quelques-unes des plus importantes. Je vais analyser rapidement les résultats. L'application de la méthode de M. Darboux exige que l'on connaisse deux combinaisons intégrables, dont l'ordre peut être quelconque, de l'un au moins des systèmes d'équations différentielles qui définissent les caractéristiques des deux familles. Si, pour abréger, on appelle invariant d'une famille de caractéristiques toute fonction de a:, y, 5,/?, ^, ..., renfer-

mant les dérivées jusqu'à un ordre quelconque, qui conserve une valeur constante quand on se déplace sur une caractéristique quelconque de cette famille, on peut dire encore qu'il suffit de connaître deux invariants de l'une des familles de caractéristiques. Pour obtenir ces invariants, on est conduit à considérer une suite indéfinie de systémes d'équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre, dont chacun admet toutes les intégrales du précédent, et il faut qu'en allant assez loin dans cette suite on finisse par arriver à un système ayant au moins deux intégrales distinctes. D'ailleurs, lorsqu'il existe deux invariants distincts, il est facile de voir qu'il en existe une infinité d'autres. Il semble donc a priori qu un grand nombre de circonstances dilférenles peuvent se présenter dans cette recherche, et qu'à chacune d'elles doit correspondre quelque particularité pour achever l'intégralion de l'équation du second ordre. En réalité, il n'en est rien; les relations qui existent entre ces invariants successifs sont extrêmement simples. J'ai montré en effet qu'il suffit d'en connaître deux pour pouvoir en déduire tous les autres par des différcntiations; à partir du moment où l'on a deux invariants, il se présente un nouvel invariant distinct pour chaque ordre nouveau de dérivées, quelque irrégularité pouvant seulement avoir lieu pour le premier ou le second ord rc

Ces conclusions ne s'appliquent qu'au cas général où les deux familles de caractéristiques sont distinctes. Lorsque ces deux familles sont confondues, le résultat est tout différent. J'ai démontré que, dans ce cas, il ne peut y avoir deux invariants distincts que lorsque l'équation appartient à la catégorie du n° 21. La détermination des équations du second ordre, intégrables par la méthode de M. Darboux, et ne possédant qu'un seul système de caractéristiques, est donc une question épuisée.

Il est bien loin d'en être ainsi lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes. La recherche de catégories d'équations, de plus en plus étendues, intégrables par cette méthode, est au contraire un des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles de cetle théorie. Il n'a donné lieu jusqu'ici qu'à un petit nombre de travaux. Je me suis d'abord proposé d'appliquer celte méthode aux équations linéaires. Le résultat que j'ai mis en évidence est le suivant : Dans le

cas des équations linéaires, la méthode de M. Darboux et la méthode de Laplace s'appliquent en même temps. On n'obtient donc pas par cette voie de nouveau cas d'intégrabilité. Toutefois, j'ai rencontré, au cours de cette étude, une proposition remarquable, dont un cas particulier avait déjà été établi par M. Darboux, et qui est susceptible d'un grand nombre d'applications analytiques et géométriques (37, 72).

5/, entre n -f- i intégrales linéairement distinctes de V équation linéaire s -h ap -h bq -h cz = o, il existe une relation linéaire et homogène dont les coefficients sont fonctions d'une seule des variables x^y, la suite de Laplace relative à cette équation se termine dans un sens après (/^ — i ) transformations au plus.

La réciproque de cette proposition est d'ailleurs facile à établir. Dans des recherches plus récentes (45, 47, 66), j'ai déterminé toutes les équations s=f{x,y,Zjp,q)^ telles que les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables du second ordre. Toutes ces équations se ramènent, en laissant de côté les équations linéaires, à onze équations canoniques d'une forme simple, dont j'ai obtenu sous forme explicite l'intégrale générale. La solution de ce problème exige des transformations analytiques qui ne sont pas sans difficulté. La même méthode s'appliquerait aussi, comme je l'ai indiqué rapidement, à la recherche des équations s ■=zf(^x,y,z,p,q), dont les équations différentielles des deux familles de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables d'ordre quelconque. Mais les calculs deviennent rapidement compliqués, et je ne les ai pas encore terminés.

Équations intégrables (91, 97, \i)k).

27. Lorsque la méthode de M. Darboux s'applique aux deux familles de caractéristiques d'une équation du second ordre, l'intégration est ramenée à celle d'un système d'équations aux différentielles totales, dont les seconds membres renferment deux paramètres variables a et ^, deux fonctions arbitraires /(a) et ?(P) de ces paramètres, ainsi que leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé ; ce système est d'ailleurs complètement intégrable, quelles que soient les fonctions/(a) et q(P). G. 6

On obtient ainsi pour représenter l'intégrale générale de Téquation du second ordre proposée, des formules d'une nature spéciale; j'ai démontré (104) qu'inversement toute équation, dont l'intégrale générale est de cette forme, peut être intégrée par la méthode de M. Darboux. Les équations précédentes comprennent, comme cas particulier, les équations qu'Ampère SippeHxi de la première classe, et, comme cas plus particulier encore, les équations qui admettent une intégrale générale explicite : j'entends par là les équations telles que les variables indépendantes a:, ^ et la fonction inconnue z peuvent s'exprimer explicitement au moyen de deux paramètres variables a, pi, de deux fonctions arbitraires /(a), o(^) de ces paramètres et de leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé.

On ne connaissait jusqu'ici qu'un petit nombre d'équations jouissant de cette propriété. Lorsque les formules renferment deux fonctions arbitraires /(a), ?(a) d'un seul paramètre, les deux familles de caractéristiques sont confondues, et les équations obtenues plus haut (n"^ 24) sont les seules qui répondent à la question. Dans le cas où les formules renferment deux fonctions arbitraires/(a) et 9(P) de deux paramètres distincts a et ^, le résultat le plus général connu jusqu'ici était dû à M. Moutard, qui avait donné le moyen ( * ) de former toutes les équations du second ordre dont l'intégrale générale est de la forme

X et Y étant des fonctions arbitraires de a? et / respectivement, X', Y', X', Y\ ..., leurs dérivées. On sait que ce problème se ramène à la recherche des équations linéaires pour lesquelles la suite de Laplace est terminée dans les deux sens, question qui a été résolue par M. Moutard et par M. Darboux. Aux équations précédentes, il faut ajouter toutes celles qu'on en déduit par la transformation de contact la plus générale. Avant d'aller plus loin, il convenait de se demander si Ton n'obtenait pas ainsi tous les types d'équations du second ordre admettant une intégrale générale explicite. J'ai montré d'abord qu'il n'en était rien, au moyen de l'exemple simple fourni par l'équation

(*) Comptes rendus, t. LXX, p. 834; '8 avril 1870.

s^(oi!-^yy=^^pq (91). J'ai obtenu depuis des exemples en grand nombre, entre autres les équations dont il est question à la fin du paragraphe précédent. A ce point de yue-là, toute équation du second ordre* susceptible d'admettre une intégrale générale explicite, lorsqu'elle ne peut se ramener par une transformation de contact à une équation déjà intégrée, constitue un type nouveau d'équations intégrables.

Dans une Note des Comptes rendus (t. LXXV, p. 1094)^ M. Maurice Lévy avait énoncé sans démonstration une condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse obtenir l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, moyennant l'intégration de k systèmes successifs d'équations différentielles ordinaires. Le critère de M. Maurice Lévy est identique à celui que l'on déduit de l'application de la méthode de M. Darboux. En adoptant une interprétation fort rationnelle du théorème de M. Maurice Lévy, M. E. von Weber a donné le premier une démonstration de ce théorème. J'ai montré depuis que, si l'on admet l'interprétation de M. E. von Weber, la proposition de M. Maurice Lévy se déduit d'une façon très simple des propriétés générales des caractéristiques (104, Chap. VIll).

Transformation des équations du second ordre (91, 92, 97, 104).

28. Les travaux de M. Sophus Lie ont mis en évidence le rôle essentiel des transformations de contact dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Leur rôle est beaucoup moins important dans la théorie des équations du second ordre. On est amené à considérer des transformations d*une nature beaucoup plus complexe, dont le type le plus célèbre est la transformation de Laplace, et dont chacune ne s'applique qu'à des équations d'une forme spéciale. Il est possible qu'un grand avenir soit réservé à Tétude de ces transformations, qui est k peine ébauchée. Quoi qu'il en soit, je ne m'en suis occupé qu'incidemment, à propos de questions particulières, dont je dirai seulement quelques mots.

J'ai déterminé d'abord (104, Chap. IX) la forme générale des équations du second ordre, telles que l'une des dérivées partielles du pre-

inier ordre de la fonction inconnue ne vérifie elle-même qu*une seule équation du second ordre. Ce qui donne quelque intérêt a cette transformation, c'est qu'on peut lui ramener un grand nombre de transformations qui ont été utilisées, entre autres celle de Laplace. En appliquant celte méthode aux équations de la forme s^ = \(x,y)pq, j'ai été conduit à une classe d'équations linéaires qui offrent une grande analogie avec les équations à invariants égaux et qui présentent le même degré de généralité.

En étudiant de même une classe de transformations qui s'appliquent aux équations linéaires, j'ai obtenu une loi de réciprocité, entre une équation et son adjointe, dont le beau théorème de M. Moutard sur les équations 5 = Xs est une conséquence immédiate. Cette loi générale m'a conduit depuis à une proposition, tout à fait pareille à celle de M. Moutard, relative aux équations 5* = X(ic, j)/>y(97). Les équations de cette forme n'offrent pas seulement un intérêt théorique; elles interviennent dans une question importante de Géométrie. M. Cosserat a montré, en effet, qu'elles se présentent tout naturellement quand on cherche les expressions des coordonnées d'un point d'une surface, rapportée à ses lignes minima comme courbes coordonnées. L'étude des équations s^ = X(:r, y)pq appelle en outre l'attention sur les équations linéaires telles que l'intégrale générale de l'équation adjointe se déduise de l'intégrale générale de la proposée par une de ces transformations (/w, /i), si complètement étudiées par M. Darboux. A cette classe appartiennent les équations qui admettent quatre intégrales liées par une relation quadratique, ce qui donne la raison la plus simple d'une propriété curieuse de ces équations (92).

Équations d'ordre supérieur à deux variables (42, lOi).

29. La théorie générale des caractéristiques s'étend sans de grandes difficultés aux équations d'ordre supérieur au second ou aux systèmes d'équations simultanées, lorsque le nombre des variables indépendantes est égal à 2. J'ai démontré que les théorèmes d'existence, où interviennent les caractéristiques, s'étendent également aux équations d'ordre supérieur ou aux systèmes d'équations simultanées (42 et

104, Note II). On pourrait reprendre, les unes après les autres, toutes les questions traitées pour une équation unique du second ordre; je me suis borné, dans le dernier Chapitre de mon Ouvrage (104), à indiquer à grands traits la marche à suivre.

Équations à n variables indépendantes (43, 4^, 96, 104).

30. L'extension aux équations d'ordre supérieur de la notion si féconde des caractéristiques présente de bien plus grandes difficultés, lorsqu'il y a plus de deux variables indépendantes. Si l'on part du problème de Cauchy généralisé, ce qui semble l'idée la plus naturelle, on arrive à définir des multiplicités d'éléments à /2 — i dimensions, appartenant k une infinité d'intégrales, qui sont les analogues des multiplicités caractéristiques à une dimension pour une équation à deux variables indépendantes. Mais ces multiplicités sont définies par des relations quadratiques par rapport aux dérivées, ce qui détruit complètement l'analogie avec le cas de deux variables.

Partant d'un autre point de vue (104, p. 33i, t. II), je me suis demandé s'il ne serait pas possible d'associer à une équation F = o un ensemble de multiplicités d'éléments à une dimension, définies par un système d'équations difierentielles, dont le nombre est inférieur de plus d'une unité à celui des variables, mais dont l'une au moins serait une conséquence des autres et de l'équation F = o. C'est ainsi, en définitive, que l'on établit les équations différentielles des caractéristiques d'une équation à deux variables indépendantes. Lorsque la fonction F est absolument quelconque, il n'existe pas de semblables multiplicités d'éléments; pour qu'il y en ait, il est nécessaire qu'une certaine forme algébrique, associée à F d'une façon très simple, soit divisible par un facteur linéaire (43), et il y a autant de familles de caractéristiques k une dimension que cette forme algébrique admet de facteurs linéaires distincts. On voit ainsi s'offrir toute une classe d'équations aux dérivées partielles, qu'il parait naturel d'étudier d^abord, après les équations à deux variables indépendantes; on a le choix entre un grand nombre de problèmes, sur lesquels je me propose de revenir. Pour montrer que cette étude offre un intérêt réel, il me suffira de faire observer que

Téquation aux dérivées partielles du troisième ordre, dont dépend la recherche des systèmes triples orthogonaux, appartient à la classe précédente.

La seule application de cette idée générale, que j*aî publiée jusqu'ici, est relative aux équations du second ordre à n variables, qui admettent une famille de caractéristiques du premier ordre, à une dimension, définie par des équations où les différentielles figurent linéairement. On est ainsi.conduit à des équations tout à fait analogues aux équations de Monge-Ampère; du reste, elles avaient déjà été étudiées par différents géomètres, en particulier par M. Yivanti, qui s'était placé à un point de vue tout différent. La plupart des propriétés de l'équation deMonge-Âmpère s'étendent aisément à ces nouvelles équations. Au lieu de poursuivre ces généralisations faciles, je me suis attaché de préférence à un problème dont la solution offre quelque chose de nouveau, que la théorie des équations à deux variables ne permettait pas de prévoir. MM. Sophus Lie et Darboux ont démontré que toute équation de Monge-Ampère, qui admet deux intégrales intermédiaires distinctes du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire, peut être ramenée, par une transformation de contact, à Tune des formes r= o, ou 5 = o, suivant que les deux familles de caractéristiques sont confondues ou distinctes. Dans le cas d'une équation à n variables, admettant deux intégrales intermédiaires distinctes, il n'y a encore qu'une forme canonique (qui est, si l'on veut, r= o), lorsque les deux familles de caractéristiques sont confondues. Mais, si ces deux familles sont distinctes, j'ai montré qu'il y avait pour l'équation du second ordre n — i formes canoniques essentiellement différentes. Ces formes canoniques sont très simples, et Ton en trouve sans peine l'intégrale générale. La solution de ce problème offre une application intéressante de la théorie des groupes de fonctions, qui est due, comme Ton sait, à M. Sophus Lie.