GÉOMÉTRIE. — SUJETS DIVERS

Surfaces minima (23, 55, 61, 86).

31. L'Académie des Sciences de Paris avait proposé, comme sujet de Concours pour le Grand Prix des Sciences mathématiques de i886, Tétude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un des polyèdres réguliers. L'Académie appelle en particulier l'attention, disait le programme du Concours, sur celles de ces surfaces qui sont algébriques et du plus petit degré possible, ou qui jouissent de quelque propriété remarquable relative à la courbure.

Mes recherches antérieures sur la série hypergéométrique m'avaient conduit à étudier d'une façon approfondie les beaux Travaux de M. Klein sur les groupes d'ordre fini de substitutions linéaires à une variable. En réfléchissant à ces résultats, je me convainquis aisément que je pourrais déterminer toutes les surfaces minima algébriques possédant la symétrie demandée. Je n'avais eu connaissance de la question proposée par l'Académie que quelques mois avant la clôture du Concours, et, malgré une rédaction hâtive, mon Mémoire obtint le Prix. On me permettra de citer le passage du Rapport qui concerne mon Mémoire (*) :

« Le Mémoire inscrit sous le n® 2 a pour devise Non multa, sedmultum. Il est divisé en trois Parties, dont la première concerne la recherche des équations générales propres à représenter toutes les surfaces ayant les plans de symétrie d'un polyèdre régulier, tétraèdre, cube ou icosaèdre. L'auteur trouve ces équations par des procédés rigoureux et élégants; on reconnaît là, dès Tabord, un géomètre familier avec les théories toutes modernes d'Algèbre, où les polyèdres réguliers jouent un rôle prédominant. Il étudie rapidement les plus

(1) Commissaires : MM. Hermite, Bertrand, Darboux, Jordan; Halphen, rapporteur.

simples de ces surfaces qui sont algébriques, et aborde, dans la seconde Partie, la recherche vraiment intéressante des surfaces minima qui ont les symétries demandées. Pour y parvenir, il emploie la représentation des surfaces minima sous la forme donnée par M. Weierstrass, et Tinterprétation géométrique que Ton doit à M. Lie. Dans ce mode de représentation, les coordonnées d'un point quelconque sont exprimées explicitement au moyen d'une variable complexe par l'intermédiaire d'une fonction caractéristique. L'auteur du Mémoire n® 2 cherche comment on doit choisir cette fonction caractéristique pour que la surface ait les plans de symétrie d'un polyèdre régulier. Cette recherche se trouve extrêmement facilitée par la connaissance des théories algébriques dont M. Félix Klein a publié un exposé lumineux, dans son récent Ouvrage intitulé : Vorlesungen uber das Ikosaeder. Grâce à ces théories si perfectionnées, le géomètre érudit dont nous analysons le Travail a pu, sans difficulté, trouver la représentation générale des surfaces mmi/?2a algébriques ayant les symétries de l'un quelconque des polyèdres réguliers. La troisième Partie est d'un moindre intérêt; on n'y peut guère remarquer qu'une généralisation bien facile du tétraèdre régulier et du cube pour l'espace à plus de trois dimensions. » C'est, comme on le voit, la partie de mon Mémoire relative aux surfaces minima à laquelle le Rapport attachait le plus d'importance. La recherche de ces surfaces revenait au fond à la détermination des courbes minima qui admettent un groupe d'ordre fini de rotations et de symétries. Or ces groupes ne forment qu'un sous-groupe tout particulier parmi le groupe général des transformations linéaires qui changent une courbe minima en une nouvelle courbe minima. La question que je venais de traiter me conduisait donc tout naturellement à étudier la transformation subie par une surface minima, quand on fait subir aux courbes minima correspondantes la transformation homographique la plus générale qui conserve le cercle de l'infini. Un cas particulier important avait déjà été traité par 0. Bonnet; c'est la transformation par laquelle on passe d'une surface minima à son adjointe ou, plus généralement, à une surface minima associée. Les transformations les plus générales en question s'obtiennent en combinant la transformation de Bonnet avec une autre transformation simple, dont j'ai fait l'étude détaillée. Parmi les propriétés de cette

nouvelle transformation, je citerai les suivantes : elle conserve les angles, fait correspondre les lignes de courbure aux lignes de courbure et les lignes asymptotiques aux lignes asymptotiques (23, 61).

J'ai montré aussi que les surfaces minima interviennent dans la solution d*un problème de la théorie des déblais et des remblais, proposé parM. Appell(86).

Déformation des surfaces (28, 65, 68, 70).

32. Le problème de la déformation des surfaces est un des plus intéressants et des plus difficiles de la Géométrie infinitésimale, et l'on n'a pu jusqu'ici le résoudre complètement que dans un très petit nombre de cas. M. Weingarten a publié, en 1891, un remarquable théorème, qui fait dépendre la solution du problème de l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, tout à fait différente des équations classiques de Bour et de 0. Bonnet. Peu de temps après la publication de la Note de M. Weingarten, j'ai reconnu que son équation aux dérivées partielles était intégrable dans un nombre illimité de cas, dont les plus simples correspondent précisément aux cas déjà connus où le problème de la déformation pouvait être résolu. Les résultats obtenus peuvent être résumés comme ij suit : la détermination des surfaces qui admettent l'élément linéaire

(i4) €is* = du*-+- - — m{m — i) \cit*

se ramène à l'intégration d'une équation linéaire E(p,P) (*) et à des quadratures. Cette équation linéaire est intégrable par la méthode de Laplace toutes les fois que m est un nombre entier. Les surfaces correspondantes sont applicables sur des surfaces spirales et aussi, comme Ta fait observer M. Darboux, sur des surfaces réglées imaginaires dii troisième ordre. Ces résultats ont été introduits par M. Darboux dans le Tome IV de ses Leçons sur la Théorie générale des surfaces (-).

(*) Darboux, Théorie générale des surfaces^ t. H, p. 5 4.

(*) J'ai appris, par la lecture de cet Ouvrage, que mes rcsuliaU avaient aussi été obtenus par un géomètre italien, M. Ettore Baroni.

J'avais déjà rencontré Téquation aux dérivées partielles du problème précédent, dans un autre problème de la théorie des surfaces, en apparence tout différent : la recherche des surfaces qui sont homolhétiques à leur enveloppée moyenne, suivant une expression de Ribaucour. L'étude de cette question m'avait été suggérée par un Article de M. Appell (*). A toute surface homothéliquc à son enveloppée moyenne correspond une surface admettant l'élément linéaire donné par la formule (i ^i), et inversement.

Kn cherchant à généraliser l'élégant théorème de Bour sur la déforujation des surfaces de révolution, je me suis proposé de recherrJier toutes les surfaces qu*il est possible de déformer, de telle façon qu'une série de sections de la surface par des plans parallèles se change en une nouvelle famille de courbes planes situées dans des plans parallèles. Ce problème conduit à une équation aux dérivées partiellesdu troisième ordre, que l'on peut intégrer complètement (65). Les surfaces obtenues sont susceptibles d'une définition géométrique très simple, qui met en évidence la signification géométrique des trois fonctions arbitraires figurant dans l'intégrale générale. On peut faire subir à ces surfaces une déformation continue, dépendant d'un paramètre variable, satisfaisant à la condition requise.

Courbes gauches (6^).

33. La détermination d'une courbe gauche, dont on connaît le rayon de courbure et le rayon de torsion en fonction de l'arc, conduit à l'intégration d'une équation différentielle linéaire du troisième ordre. En m'appuyant sur un élégant théorème de Laguerre, dont j'ai parlé plus haut (n** 15*), j'ai ramené l'intégration à celle d'une équation linéaire du second ordre seulement. Un résultat équivalent a été établi par M. Darboux dans le Tome 1 de la Théorie des surfaces. Les deux méthodes sont absolument indépendantes, et ont été publiées à peu près simultanément en 1887.

(') American Journal of Mnthemaùc s, l. X; 1888.

Lignes tracées sur les surfaces (38, 90).

34. On doit à M. Leiieuvre des formules élégantes qui donnent les expressions générales des coordonnées d*un point d'une surface rapportée à ses lignes asymptotiques, Les coordonnées x^y, z sont fournies par des quadratures où figurent trois intégrales 0,, 62» ^s d'une équation à invariants égaux

Lorsque l'équation (i5) est intégrable par la méthode de Laplace, chacune des intégrales ô^, Ô^, 9, dépend explicitement de deux fonctions arbitraires d'une variable, et de leurs dérivées en nombre fini. J'ai montré (38, 90) qu'on pouvait mettre ces fonctions arbitraires sous une forme telle que toutes les quadratures puissent être effectuées. On obtient ainsi les expressions, sous forme explicite, des coordonnées d'un point d'une surface, rapportée à ses lignes asymptotiques, avec autant de fonctions arbitraires d'une variable que l'on voudra, pourvu que le rang de l'équation (i5) soit assez élevé. La même méthode permet d'obtenir, avec le même degré de généralité, des formules explicites représentant des couples de surfaces applicables ou des couples de surfaces se correspondant avec orthogonalité des éléments.

Dans le cas particulier d'une surface réglée, il résulte du théorème général sur les équations linéaires, dont j'ai donné plus haut l'énoncé (page 40' fl"^ l'équation (i5) est de rang 2. Celte remarque fournit sans peine les expressions générales des coordonnées d'un point d'une surface réglée, rapportée à ses génératrices et à ses lignes asymptotiques du second système. M. Kœnigs avait déjà obtenu une solution élégante de ce problème, tout à fait différente de la précédente.

Les formules de M. Cosserat, pour représenter une surface rapportée à ses lignes minima, font de même intervenir l'équation que j'avais étudiées' = ^'k(x,y)pq (n° 28). En modifiant légèrement les notations de M. Cosserat, j*ai mis ses formules sous une forme qui montre encore mieux leur analogie avec les formules de M. Leiieuvre (93).

Surfaces orthogonales. Congruences de normales (36, i^8, M).

35. Dans une Note 1res courte des Comptes rendus Ç]6), j'ai donné une démonstration géométrique simple d'un théorème énoncé par M. Darboux : La sphère est la seule surface qui, dans tous les déplacements possibles, engendre une famille dr surfaces faisant partie d'un système tripla orthogonal.

On peut rattacher au même ordre d'idées deux Notes consacrées k l'élude d'un problème, proposé par M. Bricard : Trouver tous les modes de correspondance entre deux droites de V espace, tels que, si l'une de ces droites décrit une congruence de normales, il en soit de même de la seconde. Ces correspondances se rattachent d'une façon curieuse aux transformations de contact en {x, p) de l'espace à trois dimensions, et peuvent être définies géométriquement en ne faisant intervenir qu'une famille de surfaces à deux paramètres, choisie arbitrairement, et les surfaces parallèles.

Divisions régulières de l'espace (25, oti).

36. Dans sa Théorie des groupes kleinéens, M. Poincaré a étudié les groupes discontinus de transformations conformes de l'espace qui laissent invariable un plan réel. Je me suis proposé d'étudier une autre classe de groupes de transformations conformes de l'espace, les groupes d'ordre fini (\\x\ font revenir sur elle-même une sphère imaginaire. Ces nouveaux groupes sont, relativement aux groupes d'ordre fini de substitutions linéaires à une variable, ce que sont les groupes kleinéens par rapport aux groupes fuchsiens. La question revient à déterminer tous les groupes d'ordre fini de substitutions orthogo-^ nales à quatre variables ; on les obtient en associant d'une façon convenable les substitutions de deux groupes de substitutions linéaires à une seule variable et d'ordre fini. Ces groupes sont très nombreux; j'en ai donné l'énumération complète.

A chacun de ces groupes correspond une division régulière de l'espace «n un nombre fini de régions congruentes. En passant en

revue toutes ces divisions, j'ai obtenu la solution du problème suivant, extension à l'espace d'un problème célèbre traité par M. Schwarz à propos de la série hypergéométrique : Étant donné un tétraèdre à faces sphériques, on prend le tétraèdre symétrique du premier par rapport à Vune de ses faces ^ et ainsi de suite indéfiniment ; dans quels cas arri\e-t'On à un nombre fini de répétitions symétriques différentes? Ces divisions de l'espace sont tout à fait pareilles aux divisions de la sphère en triangles sphériques, égaux ou symétriques, par les plans de symétrie d'un polyèdre régulier. Aussi fournissent-elles une représentation concrète très simple de la notion abstraite des polyèdres réguliers de l'espace à quatre dimensions. On retrouve sans peine par cette voie les six polyèdres réguliers connus, et l'on pourrait aussi s'en servir pour étudier les polyèdres réguliers d'espèce supérieure.

Liouville a démoniré le premier que les transformations de l'espace qui conservent les angles ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres, et peuvent s'obtenir par des combinaisons d'inversions et do déplacements. Au début du Travail que je viens d'analyser rapidement, j'ai fait voir que la proposition de Liouville pouvait se déduire très facilement du théorème de Dupin.

Différentielles totales (18, 55).

37. Dans un Mémoire du Bulletin des Sciences mathématiques (iome\), M. Darboux, partant d'une remarque faite par M. Hermite dans son Cours d'Analyse, a obtenu toutes les fonctions de pi variables indépendantes pour lesquelles la différentielle (n -h i )"*"»« est exactement divisible par la différentielle /i'^™"". lin cherchant à généraliser ce résultat, j'ai essayé de résoudre le problème plus général suivant :

Trouver toutes les fonctions de a variables indépendantes j?,, x.^, . . ., ir^., telles que deux différentielles totales successives d"fet d" ^ \f aient un facteur commun de degré p par rapport à dx^y dx^, . . ., dx^.

Lorsque [x = 2, le problème est susceptible d'une interprétation géométrique qui en facilite beaucoup la solution. Une fois la solution obtenue dans ce cas particulier, on passe sans beaucoup de peine

( Si )

au cas général. Toutes les fonctions/ qui répondent à la question appartiennent à trois formes différentes, que j*ai fait connaître et qui donnent bien, lorsque p = n^ i, les formes obtenues par M. Darboux.

M. Moutard s'est occupé depuis lors de questions analogues (*).

Mécanique (27, 31).

38. Je ne me suis guère occupé de Mécanique, et je n'ai à citer qu'une généralisation d'un théorème de M. Staeckel (31) et une Note sur les transformations isogonales en Mécanique (27). J'avais eu surtout pour but, dans cette Note, d'établir un lien entre les deux lois de force qui font décrire à un mobile une trajectoire toujours fermée. Kn rattachant ma démonstration au principe de la moindre action, M. Darboux (^) a été conduit à énoncer une loi générale de réciprocité, qui fait correspondre deux à deux tous les problèmes de Dynamique où il existe une fonction des forces. Cette loi est souvent citée dans les Travaux récents relatifs aux transformations des équations de la Dynamique; il m'est agréable de penser que c'est à l'occasion de mon petit Travail qu'elle a été mise en lumière.

Je puis en dire à peu près autant d'un autre théorème relatif aux transformations des équations de Lagrange, dont j'avais communiqué l'énoncé à M. Âppell (') comme très vraisemblable, et qui a été démontré depuis par différents géomètres.

Sujets divers (78, 87, 88, 98, 99, 100, 101).

39. Il me serait difficile de rattacher à aucune des divisions précédentes deux courts articles des Nouvelles Annales de Mathématiques, l'un sur la détermination des foyers d'une conique (99), Tautre sur la recherche des arcs commensurables avec la circonférence, pour lesquels le carré du cosinus est commensurable (100).

(*) Voir Comptes rendus, t. CXXIV; p. 6o3 el 676. (*) Comptes rendus, l. GVIII, p. 449» 4 mars 1889. (») American Journal of Mathematics, t. XII; 1889.

J'ai eu souvent roccasion, dans ma carrière de professeur, de donner des démonstrations nouvelles de théorèmes classiques. La plupart de ces démonstrations sont restées inédites, sauf quelques-unes que, pour des raisons diverses, j'ai cru devoir publier. Ainsi, j'ai donné (78) une méthode simple et rigoureuse pour établir la formule du changement de variables dans une intégrale double; cette méthode, fondée sur l'emploi de la formule de Green, peut s'étendre sans difficulté aux intégrales triples. J'ai donné aussi (88) une démonstration nouvelle d'une importante formule de Weieratrass, d'où l'on déduit facilement l'inversion de Tintégrale elliptique de première espèce. Dans un domaine plus élémentaire, je puis citer deux démonstrations diflerentes du théorème de Salmon (87, 101) relatif au rapport anharmonique des tangentes à une cubique plane, et une démonstration, aujourd'hui classique, du théorème sur le maximum du produit de plusieurs facteurs positifs dont la somme est constante.

Knfin, je rappellerai que M. Hermite m'a fait l'honneur de me demander, pour son Cours d'Analyse (*), une démonstration directe des théorèmes de M. Fuchs sur les périodes K et i K', considérées comme fonctions du module. Je suis heureux de terminer cette Notice par un souvenir qui m'est précieux.

(•) Levons ré.ligécs par Aiidoyor; Hermann, i88i.