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1) Courbes de hauteur. (Cours autonraphié de l'École navale, 1881- 1882; et Cours d'asiron., par M. Caspari, t. II, p. 241 et suiv.) — On nomme ainsi en navigation les courbes qui représentent sur la carte de Mercator les cercles de la Terre. Depuis la généralisation de l’emploi de la méthode des lieux géométriques pour la détermination du point, l’étude de ces courbes a acquis une grande importance ; la mesure d’une hauteur à la mer à un instant donné d’un chronomètre réglé fournit en effet à l’observateur, pour lieu géométrique de la position du navire, le petit cercle de la Terre qui a pour centre la projection de l’astre et pour rayon sphérique sa distance zénithale. L’analyse des propriétés de ces courbes avait fait l’objet de divers mémoires de MM, Estignard, Fasci, Yvon-Villarceau, Ililleret. Ces auteurs avaient été conduits à les classer en trois catégories: 1“ les courbes ovales représentant les cercles qui laissent les deux pôles hors de leur contour, 2° les courbes ondulées (comme la sinusoïde) représentant ceux qui séparent les pôles, 3“ enfin, les courbes en forme de parabole représentant les cercles passant par un des pôles.

En étudiant la question en vue du cours dont j'étais chargé, j’ai été conduit aux propriétés suivantes, qui, malgré leur importance, n’avaient pas été aperçues : 1“ les courbes ovales qui représentent des cercles inscrits dans un même fuseau sont superposables ; 3° les courbes ondulées sont superposables lorsque les cercles quelles représentent sont inscrits entre des parallèles dont la distance sur la carte de Mercator est la même; 3° il n’existe pas une famille de courbes en forme de parabole, mais une courbe unique ; de sorte que tous les cercles passant par un pôle sont représentés par une même courbe dont la position seule varie sur la carte.

J’ai montré enfin que les grands cercles qui faisaient jusqu’alors l’objet d’un paragraphe spécial dans les programmes d’enseignement rentraient dans la deuxième catégorie, c’est-à-dire qu’une même courbe de cette catégorie représentait soit un grand cercle, soit un petit cercle, suivant sa position sur la carte par rapport à l’équateur.

Il résultait de ces propriétés que la forme d’une de ces courbes ne dépendait que d’un paramètre, sa hauteur sur la carte, et que, par suite, pour la tracer, il suffisait de connaître ce paramètre et la position de son centre.

Cette considération m’a permis de faire connaître une méthode nouvelle pour résoudre le problème du point avec les tables de latitudes croissantes. (Voir ci-après : Tables de poche.)

2) Distances lunaires. (Cours autographié de l'Ècole navale, 1883- 1884.) — Sur la foid’une théorie incomplète des erreurs, il était admis que l’influence des erreurs des hauteurs sut la distance réduite était d’autant plus grande que la distance considérée était plus petite. Cependant l’expérience, maintes fois répétée, ayant montré que les distances de 10 à 15 degrés donnaient généralement des résultats plus précis que les grandes distances ', on cessa de bannir ces dernières, expliquant la contradiction manifeste entre la théorie et l’application par ce fait que la facilité d’observation des petites distances compensait et au delà l’influence agrandie des erreurs des hau-

Une étude nouvelle de la question m’a conduit à montrer que cette contradiction n’existait pas et que le problème n’avait pas été envisagé sous son véritable aspect dans les théories antérieures. Il existe en effet deux méthodes de réduction: dans la première on observe directement les hauteurs nécessaires au problème ; dans la seconde on les déduit par le calcul d’un point observé antérieurement. Dans le premier cas, les erreurs des hauteurs sont indépendantes l’une de l’autre, et il est exact de dire que les petites distances sont alors dangereuses; dans le second, ces erreurs dépendent de l’erreur du point qui a servi à les calculer, et alors leur influence est indépendante de la grandeur de la distance. Il y a donc non pas compensation, mais tout avantage à choisir les plus petites distances dont l’observation est beaucoup plus

L’avantage, il est vrai, n’existe que pour la deuxième méthode de réduction ; mais c’est celte méthode qui est exclusivement employée aujourd’hui à cause des difficultés pratiques de l’ohservation simultanée de deux hauteurs et d’une distance.

3) Tables depoche, donnantlepointobservé elles droites de hauteur. (1 vol. in-16, Berger-Levrault et C“, 1884.) — Les propriétés qui ont servi de base aux méthodes de calcul indiquées dans ces tables sont déduites de celles des courbes de hauteurs mentionnées plus haut. Les fables depoche ne contiennent que les Latitudes croissantes calculées en vue de la construction des cartes de Mercator de minute en minute; elles suffisent néanmoins, à l’exclusion de toute autre table de logarithmes, pour calculer le point à la mer et par une méthode très expéditive. De sorte qu’avec un petit fascicule d’une vingtaine de feuillets et de format assez petit pour être inséré dans un portefeuille, l’officier de marine est en mesure de résoudre un problème qui, avec les autres méthodes, exige l’emploi de volumineuses tables de logarithmes.

Bien que les règles à suivre pour faire usage de ces tables soient très simples, leur démonstration est un peu longue et un peu délicate; aussi ne m’a-t-il pas paru opportun de la donner dans le recueil. Elle n’a été publiée que quatre ans plus tard dans la noie ci-après.

4) Calcul du point observé à l’aide des tables de Latitudes croissantes. [Annales hydrographiques, 1888.)

5) Nouveau système de projection de la sphère. (Annales hydrographiques, 1887 et Revue maritime; Comptes rendus, 1886.) — Ce système de projection est déduit d’un mode de représentation géométrique des fonctions elliptiques. Les seuls modes de projection appliqués à la sphère entière et qui conservent les angles sont la projection de Mercator et la projection stéréographique. Le premier offre l’inconvénient de ne pas contenir les pôles et d’agrandir avec exagération les régions placées au nord des continents; le second offre celui non moins grand de représenter les deux hémisphères dans des cartes distinctes.

Le système dont il s’agit ici conserve, comme les précédents, la similitude des petites régions, et fournit l’image de la sphère entière dans une figure unique et sans déchirure. Il est particulièrement propre à la représentation de l’ensemble des deux continents dont il fait bien ressortir les positions relatives, soit en longitude, soit autour des pôles. Enfin les variations de l’échelle, dans l’étendue des continents, sont assez faibles pour que les figures d’en-

semble soient peu altérées, et que les grandeurs relatives de régions éloignées restent aisément comparables.

Dans ce mode de projection, la sphère est supposée recouverte d’un réseau formé par deux familles d’ellipses sphériques homofocales et par suite orthogonales. Les quatre foyers sont placés à une même distance arbitraire des deux pôles sur un même méridien. Ces deux familles d’ellipses sont représentées sur la carte par deux familles de droites orthogonales, dont l’espacement est déterminé par la condition de conserver la similitude des régions. Par suite les méridiens et les parallèles de la terre sont représentés par un réseau de courbes orthogonales.

La projection de Mercator est le cas particulier de ce mode général dans lequel les quatre foyers coïncident avec les pôles.

6) Description et usage des instruments nautiques. (Imprimerie Nationale, 1889. Publication du service hydrographique de ta marine) — Cet ouvrage est le premier de cette nature qui ait été publié en France. Il contient, avec la description des instruments de précision réglementaires sur les bâtiments de l’État, les principes théoriques sur lesquels ils sont fondés, ainsi que les indications nécessaires à leur emploi. Il contient notamment une théorie succincte des déviations des compas présentée sous une forme nouvelle ; il y est montré que la force qui trouble les indications de l’aiguille est la résultante de trois forces constantes en intensité et fixes par rapport à trois systèmes d’axes qui tournent suivant une loi simple l’un par rapport à l’autre. Cette remarque a conduit à la construction de deux nouveaux dygogrammes (diagrammes donnant l’intensité et la direction de la force) composés de deux cercles et dont, par suite, le tracé est beaucoup plus simple que les constructions indiquées antérieurement et qui contiennent soit des ellipses, soit le limaçon de Pascal.

Les propriétés mécaniques des roses des compas ont été également analysées, et il y est indiqué un principe nouveau, savoir que ces objets doivent être construits de manière que les balancements autour d’axes horizontaux soient rapides.

Cet ouvrage a été l’objet d’un prix de l’Académie des siences en 1892.

7) Prédiction des éclipses du soleil pour l’année 1891. (Annales hydrographiques, 1891.) — Les éclipses de soleil, qui fournissent un moyen rapide et facile de déterminer les longitudes, ne sont pas employées par les marins à cause des calculs préliminaires qu’exige cette méthode, d’abord pour s’assurer qu’il est utilisable dans le lieu d’observation, puis pour déterminer

les instants approchés des diverses phases. Il existe, il est vrai, des constructions graphiques donnant ces résultats, mais, pour obtenir une précision suffisante, ces épures doivent être tracées avec beaucoup de soin, et leur emploi devient alors plus long et plus délicat que les calculs eux-mêmes.

Cette note contient deux épures faites d’avance pour tous les lieux de la terre; il suffit de quelques traits pour les compléter, c’est-à-dire pour obtenir dans un lieu quelconque l’image du phénomène et les instants de ses phases.

La publication d’une épure de ce genre pour chacune des éclipses qui doivent se produire dans le cours de l’année suivante faciliterait notablement l’utilisation de ces phénomènes à la mer.

8) Cercle à calcul pour micromètre Fleuriais. — La mesure des distances des navires entre eux à la mer s’imposant fréquemment, soit dans les manœuvres d’escadre, soit dans le combat, M. le contre-amiral Fleuriais a eu l’idée de faire construire un sextant de petites dimensions spécialement destiné à cet emploi. Grâce aux dispositions de détail très ingénieuses de l’instrument, son emploi, jugé extrêmement pratique par tous les officiers, a été rendu réglementaire à bord des navires de l’État. Le cercle à calcul dont il s’agit ici est un accessoire du micromètre Fleuriais, destiné à fournir à vue la distance d’un navire, connaissant sa hauteur de mâture et l’angle sous lequel cette hauteur est aperçue. Il est basé sur le principe de la règle â calcul et sur cette propriété que, dans les limites des grandeurs angulaires que peut mesurer le micromètre, la tangente est proportionnelle à l’arc.

9) Communications au Bureau des Longitudes. — Mémoire mantiscritprésenté en i886, contenant diverses propositions relatives â la Connaissance des Temps en vue de faciliter les calculs de navigation. Ce mémoire, accueilli avec bienveillance par le Bureau, a été l’occasion de diverses améliorations. Les heures des passages des planètes au méridien ont été données à la seconde et leurs insertions ont été étendues â toutes les époques où ces astres sont observables hors du méridien.

La Connaissance des Temps donne également depuis cette époque les dates locales des temps locaux des passages de la lune au méridien, sans lesquelles les marins étaient obligés autrefois de faire un calcul préliminaire pour éviter les erreurs de date.

Note présentée en 1889 par M. Bouquet de la Grye, faisant remarquer que les corrections indiquées par Newcomb pour l’ascension droite et la déclinaison de la lune ne font pas sortir sensiblement cet astre de la trajectoire que lui attribuent les tables de Hansen, et que, par suite, on peut tenir compte

de ces deux corrections à la fois par une correction unique de l’instant de l’éphéméride. De plus, l’examen de la valeur de cette correction montre qu’elle augmente uniformément de 0,1 de seconde par mois.

10) Nouvelles éphémérides astronomiques pour l’année 1891. — Cet ouvrage a été publié à titre de spécimen pour faire connaître une nouvelle forme d’éphémérides ramenant tous les calculs à la mer à un type unique, quel que soit l’astre observé.

11) Participation aux travaux hydrographiques du commandant Mouches en Tunisie (1876).

12) Travaux hydrographiques partiels dans les fleuves de Cochinchine (1873-1874).

D.IVERS

1) Cinématique et dynamique des ondes courantes sur un sphéroïde liquide. Application à l’évolution de la protubérance d’un sphéroïde liquide déformé par l’attraction d’un astre éloigné. (Journal de mathématiques pires et appliquées, 3' série, t. V, février 1879.)

2) Note snr les approximations nnmériques. (Nouvelles Annales de mathématiques, 1889.)

3) Traité de trigonométrie rectiligne et sphérique. (Berger-Levrault et C", 1 vol. 1890.)

4) Sur une solution élémentaire du problème de gyroscope de Foucault. (Comptes rendus, 1888.)

5) Note relative à l’erreur probable d’un système d’observations. (Comptes rendus, 1888.)

6) Cours d’astronomie, en cours de publication. Cet ouvrage est fait en collaboration avec M. Willotte, ingénieur des ponts et chaussées, qui a traité la partie physique et descriptive.