Notice sur les travaux scientifiques

1 . Recherches concernant la Mécanique des atomes. — M. Lucas a présenté sous ce titre, les 20 juillet, 5 octobre, 16 et a 3 novembre, et 1" décembre 1868, cinq Mémoires à l’Académie des Sciences. Ces études ont eu pour objet la détermination des divers modes d’équilibre qui peuvent se produire dans un système de points matériels s’attirant ou se repoussant suivant diverses fonctions de leurs distances mutuelles ; elles ont été soumises à l’examen d’une Commission composée de MM. O. Bonnet, Phillips et de Saint-Venant, rapporteur. Le Rapport, en date du 14 février 1870,

« Vos Commissaires pensent que, à considérer ces Mémoires au point de vue analytique, ils offrent des résultats exactement et ingénieusement déduits, en grande partie neufs, quoique ayant des analogues dans quelques sujets déjà traités, et offrent, sur une des matières les plus dignes d’attirer l’attention des géomètres physiciens, des études intéressantes et même utiles comme introduction à d’autres. Ils vous proposent de remercier M. Lucas de ses Communications et de l’encourager à continuer ces recherches, surtout s’il arrive à rapprocher ses hypothèses des lois régissant le monde physique réel et à donner des explications mathématiques de faits que révèle l’observation. »

2. Étude sur la Mécanique des atomes. — Les recherches ultérieures de M. Lucas relativement aux systèmes atomiques ont été faites en abandonnant toute hypothèse particulière sur la nature analytique des actions mutuelles; elles ont donné lieu, en 1870, à diverses Communications à l’Académie des Sciences et ont fait l’objet d’un Mémoire de 55 pages, inséré aii Tome XV du Journal de Mathématiques pures et appliquées.

Dans ce Mémoire, M. Lucas a donné la solution complète du problème des mouvements vibratoires d’un système quelconque de points matériels sollicités par des forces qui, pour chacun d’eux, dépendent de sa position ainsi que des positions de tous les autres, mais non du temps.

Le potentiel total, c’est-à-dire la fonction

? = — 1-T.mm' f?(r\dr,

résultant d’une sommation étendue à toutes les combinaisons possibles de deux points du système, remplit dans cette théorie un rôle important. Pour que l’équilibre du système atomique soit stable, il faut et suffit que le potentiel total soit maximum ou, en d’autres termes, que sa variation soit négative pour toute déformation virtuelle.

T.es paramètres caractéristiques des mouvements élémentaires du système atomique sont les racines d’une équation algébrique qui dérive très élégamment du hessien du potentiel total ; la forme symétrique de ce déterminant montre que ces racines sont toutes réelles. Pour que l’équilibre soit stable, il faut et suffit que toutes ces racines soient positives.

3. Théorèmes généraux concernant l'équilibre et le mouvement des systèmes matériels. — Un Mémoire portant ce titre a été présenté à l’Académie des Sciences le 29 avril 1872 et soumis à l’examen d’une Commission composée de MM. Serret, Phillips et de Saint-Venant, rapporteur.

Considérons un système matériel en mouvement,. et prenons comme repère une disposition géométrique quelconque des points qui le composent, en supposant ces points dénués de toute vitesse. On peut passer de cet état primitif à celui qui se produit à l’instant quelconque t, en produisant un changement de la figure du système et en animant ces points de vitesses respectives; de là deux emprunts de travail mécanique au monde extérieur. Le premier de ces emprunts peut logiquement recevoir le nom de travail morphique; il est évidemment égal au travail potentiel qui serait

effectué par les forces intérieures du système, si ce système était ramené de la forme qu’il présente à l’instant t à la forme repère Le second emprunt de travail extérieur est égal à la force vive du système matériel à l’instant considéré; on pourrait concevoir qu’il s’effectuât au moyen de chocs ou impulsions instantanées s’appliquant aux points matériels et leur imprimant leurs vitesses respectives, ce qui justifierait la dénomination de travail impulsif. M. Lucas établit d’abord ce théorème très général que l’accroissement de la somme du travail morphique et de la demi-force vive (ou travail impulsif) pendant un intervalle de temps quelconque est égal au travail des forces extérieures pendant le même temps.

S’il s’agit d’un système matériel en équilibre stable, oscillant, sans l’intervention de forces extérieures et à la suite d’un trouble accidentellement apporté dans son repos, autour de sa forme primitive, qui peut être prise comme repère, le théorème précédent peut s’énoncer en ces termes simples : La somme du travail morphique et de la demi-force vive reste constante pour tous les instants. Le travail mécanique primitivement emmagasiné dans le système matériel s’y retrouve donc intégralement à un instant quelconque; s’il y a gain ou perte de travail morphique, il y a, par compensation, perte ou gain de force vive; on peut dire que le système matériel gagne en déformation ce qu il perd en vitesse, et réciproquement.

Le mouvement vibratoire général résulte de la superposition de nombreux mouvements simples, pendulaires, isochrones et rectilignes. M. Lu-

l.e travail morphique ci est, à chaque instant et exactement, égal à phiques qui correspondraient séparément ai

posants.

La force vive correspondant au mouvement vibratoire résultant est, à chaque instant et exactement, égale à ta somme des forces vives qui correspondraient séparément aux mouvements pendulaires composants.

Diverses autres propriétés remarquables des mouvements vibratoires sont démontrées dans le Mémoire dont il s’agit.

Il est dit, comme conclusions du Rapport lu par M. de Saint-Venant dans la séance du 2 décembre 1872 :

« Vos Commissaires, au résumé, tout en ne se prononçant pas au sujet

de savoir si les dénominations de travail morphique, travail impulsif et travail emmagasiné offrent plus d’avantages que celles A’énergie potentielle, énergie actuelle et énergie totale de M. Rankine, sont, quant au fond, unanimement d’avis que l’analyse de M. Lucas et les théorèmes nombreux qu’il en déduit d'une manière simple offrent un grand intérêt. Ils yous proposent, en conséquence, l’approbation du Mémoire présenté par lui et son insertion au Recueil des Savants étrangers. »

Ces conclusions ont été adoptées par l’Académie des Sciences .(b): v

M. de Saint-Venant a, en outre, adressé à l’Académie, dans les séances des 2 et 9 décembre 1872, deux Communications concernant spécialement les théorèmes de partage de force vive et de partage de travail qui ont été démontrés, avec plusieurs autres, dans le Mémoire de M. Lucas.

4. Vibrations calorifiques des solides homogènes. — M. Lucas a présenté sous ce titre, à l’Académie, dans les séances des 3i janvier et 14 février 1876, deux Mémoires, qui ont été ensuite condensés en un seul et soumis à l’examen d’une Commission composée de MM. de Saint-Venant, Puiseux, Jamin et Resal rapporteur.

L’objet de ce Mémoire est de démontrer rigoureusement, par la Mécanique rationnelle, qu’il peut exister des vibrations calorifiques dans les corps solides, de déterminer les équations finies de ces mouvements spéciaux et d’établir entre la Thermodynamique et la Théorie de la conductibilité de la chaleur une liaison qui permette de comprendre ces deux branches de la Science dans une seule théorie générale.

Les résultats obtenus dans les Mémoires cités plus haut, concernant les systèmes matériels, peuvent, en raison de leur généralité absolue, être appliqués aux assemblages de points matériels en équilibre stable qui constituent des solides naturels. M. Lucas reprend, à cet effet, en leur donnant une forme nouvelle, les équations différentielles des petits mouvements -d’un système atomique. Pour chacun des mouvements pendulaires dont la

uelles peuvent etre transformées en équations aux dérivées partielles et aux différences finies d’une fonction to des coordonnées d’équilibre x, ,y t l ç

exponentielle à exposant linéaire. On arrive, par un artifice de calcul dans lequel on fait intervenir des imaginaires, à déterminer les équations finies de l’état vibratoire du corps solide supposé homogène.

En supposant d’abord égaux à l’unité certains paramètres A qui entrent dans ces équations, M. Lucas démontre que le mouvement correspondant présente les particularités suivantes :

i° La trajectoire de chaque molécule reste comprise dam une sphère d'un rayon très petit comparativement aux intervalles moléculaires;

2° La rapidité des vibrations est très grande;

3° Les molécules du corps possèdent toutes la même force vive moyenne.

Il est évident que ces propriétés caractérisent les vibrations calorifiques d’un corps à température uniforme.

Si l’on suppose ensuite que les paramètres A diffèrent, en totalité ou en partie, de l’unité, on obtient les équations des vibrations calorifiques d’un corps en équilibre de température. La force vive moyenne de chaque molécule est une fonction linéaire de la température correspondante. On calcule aisément, en partant de cette observation, l’excès de la température d’une molécule M' sur la température d’une molécule voisine M ; on trouve ainsi que la variation de température d’une molécule à une molécule voisine est une fonction linéaire et homogène des coordonnées relatives de cette dernière, ce qui est le principe fondamental établi par Fourier dans la Section VII du Chapitre I de son immortel Ouvrage.

Les conclusions de M. Resal, rapporteur de la Commission chargée d’examiner le Mémoire intitulé Vibrations calorifiques des solides homogènes, ont été formulées en ces termes dans Ja séance du 26 juin 1876:

« En résumé, M. Lucas a comblé une lacune dans l’une des parties les plus importantes des sciences physico-mathématiques en ramenant à une seule théorie la Thermodynamique et la Conductibilité de la chaleur. En conséquence, les commissaires proposent à l’Académie d’approuver le Mémoire et d’en décider l’insèrtion au Recueil des Savants étrangers. »

Ces conclusions ont été adoptées par l’Académie ( 1 ).

(!) Le Mémoire sur les Vibrations calorifiques des corps solides est inséré dans le Tome XXVII du Recueil des Savants étrangers.

7. Brachistochronhme des trajectoires lumineuses, Mémoire publié dans les Mondes en 1864. — La lumière, en se propageant dans les milieux homogènes, qu’elle rencontre ou non des surfaces actives par réflexion ou par réfraction, va toujours d’un point à l’autre dans le moindre temps possible. M. Lucas a démontré géométriquement, en partant de ce principe, toutes les lois de la propagation de la lumière, y compris la construction d’Huygens pour la réflexion et la réfraction, sans faire aucune hypothèse sur la nature des surfaces d’onde.

8. Théorie de la vision des corps lumineux, Mémoire publié dans les Mondes en i865. — Si l’on observe un foyer lumineux dont l’intensité réelle varie en fonction du temps, l’intensité perçue varie aussi en fonction du temps, mais suivant une loi différente de celle qui régit l’intensité réelle. C’est ainsi qu’un phénomène lumineux presque instantané, comme l’étincelle d’une machine électrique, fait naître une perception d’une durée très appréciable.

M. Lucas a déterminé la loi de dépendance qui unit l’intensité perçue à l’intensité réelle. En désignant par $ 'la plus courte durée possible d’une perception lumineuse, on arrive à cette loi générale • L'intensité perçue à un instant quelconque s’obtient en divisant par la constante B la quantité de lumière émise pendant le laps de temps $ qui a précédé l’instant considéré. Cette constante 6, personnelle pour chaque observateur, parait n’être autre chose que le temps qu’une onde nerveuse met à traverser le sensorium optique.

9. Étude sur la phosphorescence, Mémoire publié dans les Mondes en 1866. — La phosphorescence est, pour ainsi dire, un refroidissement lumineux soumis à des lois analogues à celles du refroidissement calorifique. M. Lucas a déterminé ces lois analytiquement et a fait ressortir la conformité des résultats ainsi obtenus avec ceux que M. Edmond Becquerel a trouvés expérimentalement au moyen du phosphoroscope.

10. Les essieux des wagons et leurs ruptures. — Une étude faite au sujet d’un déraillement arrivé près de Vars (Charente), sur la ligne de Paris à liordeaux, a conduit M. Lucas à attribuer aux chocs de torsion les causes de la rupture des essieux des wagons et à indiquer les moyens à employer

12. Expériences d'acoustique sur la Seine pendant le blocus de Paris. - En 1870, pendant le blocus de Paris par l’armée prussienne, on s’es demandé s’il serait possible d’établir entre la capitale investie et les pro vinces qui échappaient encore à l’invasion un système de télégraphi acoustique au moyen du cours de la Seine. Les résultats obtenus en 182 sur le lac de Genève, par Sturm et Colladon, semblaient autoriser quelqu espérance de succès.

le mobile■ soit en équilibre est que ce point coïncide avec une racine de l’équation dérivée. On déduit de cette observation plusieurs théorèmes concernant la théorie générale des équations algébriques.

17. Géométrie des polynômes, Mémoire inséré, en 1879, ( ' aas le XLV1" Cahier du Journal de l’École Polytechnique. — M. Lucas étudie les corrélations qui existent entre les lieux géométriques que l’on peut faire décrire au point directeur (valeur du polynôme) et ceux que décrivent simultanément les p points racines du polynôme. Les circonférences se transforment en cassinoîdes à p foyers, du degré 2 p ; les droites se transforment en courbes du degré p, à branches infinies, que M. Lucas propose d’appeler stelloïdes à cause de la disposition étoilée de leurs asymptotes. Les positions du point directeur qui correspondent à des racines doubles ou multiples du polynôme constituent des points remarquables, dits points critiques ; les réunions et décompositions des courbes résultant de la transformation d’un contour directeur s’opèrent lors des passages de ce contour par les points critiques. En général, le transformé d’un contour directeur fermé se compose d’autant de courbes distinctes qu’il y a d’unités plus une dans la somme des degrés des points critiques extérieurs à ce contour.

Plusieurs épures concernant les cassinoîdes et les stelloïdes qui dérivent des polynômes cubiques mettent en relief le mécanisme des changements de physionomie générale qui s’opèrent dans les séries de ces courbes par l’intermédiaire de courbes à nœuds.

Les résultats de cette étude se rattachent à la théorie générale des équa-