IV. — Géométrie pure et Stéréotomie

18. Mémoire sur les propriétés géométriques de l’arche biaise, inséré en 1860 dans le XXXVIII e Cahier du Journal de l’École Polytechnique. - Les propriétés géométriques du mouvement infiniment petit d’un corps solide, indiquées en 1843 par M. Chasles, ont servi de base à l’étude de l 'appareil hélicoïdal à joints normaux à l’intrados. M. Lucas a démontré d’abord que les plans normaux aux hélices d’intrados menés par les-points de la courbe de tête concourent en un même point du plan de tête; de là la découverte du point remarquable qui a reçu le nom de foyer supérieur

de l’arche biaise. En démontrant, d’autre part, que les plans tangents aux surfaces de lit menés par les points de la courbe de tête concourent en un même point dû plan de tête, M. Lucas a indiqué une nouvelle méthode de détermination du foyer inférieur dont on connaissait déjà l’existence. On appelle points d'équilibre deux points de l’ellipse de tète jouissant de cette propriété qu’en chacun d’eux le plan tangent à la surface de lit est normal au plan de tête; M. Lucas a démontré que les deux foyers de l’ellipse de tête, les deux foyers de l'arche biaise et les deux points d'équilibre sont sur une même circonférence Si l’on fait varier le rayon du cylindre intradossal, le lieu géométrique des points d’équilibre est une ellipse semblable à l’ellipse de tête et de même orientation, passant par le foyer supérieur de l’arche et par le centre de l’ellipse de tête.

19. Étude sur les transformations homographiques planes, Mémoire inséré en 1861 dans le Tome VI (a” série) du Journal de Mathématiques pures et appliquées. — Si l’on considère un point m du plan comme appartenant successivement à deux figures homographiques, ce point donne naissance à deux homologues m! et m" que l’on peut réunir par une droite M. Si la droite M tourne autour d’un point, le point m décrit une conique passant par les trois points doubles des figures homographiques. De là une méthode de transformation des figures au moyen de laquelle M. Lucas a trouvé une extension des théorèmes de Brianchon et de Pascal.

20. Mémoire sur un nouvel appareil pour la construction des ponts biais, inséré aux Annales des Ponts et Chaussées en mars et avril 1861.

Un cylindre de révolution devant former dans sa partie supérieure l’intrados d’une arche très biaise, on prend pour courbes de lit des hélices faisant avec les génératrices du cylindre un angle complémentaire de celui du biais. Les surfaces de lit sont engendrées par des normales à la génératrice inférieure du cylindre.

Cet appareil jouit de cette propriété que les normales aux surfaces de Ut en tous les points de l’intrados sont parallèles au plan de tête. En d’autres termes, les surfaces de lit sont toutes normales à la direction du plan de tête, en sorte qu’aucune poussée au vide ne peut résulter de la nature de l’appareil. Les surfaces de lit ne sont pas normales à l’intrados, mais les angles diffèrent peu d’un droit si la voûte est très surbaissée.