RR'...= K /V

R, r, . . . désignant les distances à deux séries de pôles fixes du plan , elle conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes de pôles fixes. De plus, elle peut être définie d'une infinité de manières comme le lieu des points tels que la somme des angles V sous lesquels on voit d'un de ces points un certain nombre de segments fixes soit constante. Réciproquement, cette propriété entraîne la première.

Il y a des propositions analogues pour les courbes sphériques.

La plus simple des courbes planes qui appartiennent à cette classe est le cercle qui peut être défini d'une infinité de manières par des équations de la forme

R = Kr, V=const.,

Y étant l'angle sous lequel on voit un segment fixe.

Les propositions précédentes étendent donc deux propriétés générales du cercle à des courbes algébriques qui peuvent être de tous les degrés.

Je dois dire qu'en ce qui concerne les courbes du troisième et du quatrième ordre, qui sont les plus simples de cette classe après le cercle, ces propriétés avaient été énoncées d'une manière complète par Van Rees et MM. Moutard et Laguerre; M. Laguerre, en particulier, a donné des propriétés nouvelles relatives aux aires spbériques. Il y avait intérêt, je crois, à montrer que ces propriétés ne sont pas limitées à ce cas spécial du troisième et du quatrième degré, et qu'elles donnent la généralisation et l'extension à des courbes, qui peuvent être de degré quelconque, des deux propriétés les plus importantes du cercle.

La quatrième Partie traite de l'étude analytique des cyclides. J'y établis un fait qui me parait important. Les coordonnées homogènes d'un point de la cyclide, et par conséquent de toute surface du troisième degré et de toute surface du quatrième degré à conique double, s'expriment par des sommes de cinq radicaux, que l'on peut remplacer soit par des fonctions à deux variables, soit par les fonctions Al de M. Weierstrass. Ainsi se trouve établie entre la théorie de ces surfaces et celle des /onctions abéliennes le même lien qu entre la théorie des courbes planes et les fonctions elliptiques.

Les Notes très étendues qui terminent l'Ouvrage traitent de sujets très variés. J'y signalerai :

i° Une démonstration nouvelle des théorèmes de Poncelet, dont il sera parlé plus loin (n° 33);

a° La détermination et l'intégration des équations différentielles d'un grand nombre de lignes que l'on peut tracer sur les cyclides;

3° Des méthodes de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure, qui comprennent comme cas particuliers la belle méthode de M. Bonnet et toutes celles que Ton connaît;

4° Une étude de l'extension des notions d'angles et de distances due à M. Cayley.

5° L'étude d'un système de coordonnées surabondantes dans lequel on détermine un point par ses puissances relativement à cinq sphères orthogonales. Ce système, qui me paraît appelé à un rôle important, permet d'étudier, en même temps qu'une surface, toutes ses transformées par D. 3

rayoos vecteurs réciproques. Il joue donc, par rapport à cette transformation, le même rôle que les coordonnées tétraédriques par rapport à l'homographie. J'en ai depuis montré l'utilité par un grand nombre d'applications à différents sujets,

33. Sur les polygones inscrits et circonscrits aux coniques; nouveau système de coordonnées. Propriétés des courbes du quatrième ordre.

(Bulletin de la Société philomathique, p. ioo et 128; mai et juin 187-2.)

Ce travail, qui a été reproduit en partie dans les Notes de l'Ouvrage précédent, contient une démonstration nouvelle des propositions de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits. Ces théorèmes célèbres m'ont toujours paru une des plus belles découvertes géométriques qui aient été faites; leur intérêt a été encore accru par la manière dont Jacobi les a rattachés à la théorie des fonctions elliptiques. La démonstration analytique que je propose repose, contrairement à ce que l'on aurait pu penser, sur la transformation algébrique la plus simple. Il me suffit d'appliquer cette proposition absolument élémentaire :

Si l'on a

on aura aussi

m A 4- nB mC -+- /iD

pA -+- qB ■"" pC ■+■ (/!)'

pour obtenir dans toute leur généralité les théorèmes de Poncelet.

J'emploie, dans ma démonstration, un système de coordonnées dans lequel on détermine un point par les paramètres des deux tangentes qu'on peut mener de ce point à une conique déterminée.

J'ajoute que l'on peut obtenir des propositions nouvelles, analogues à celles de Poncelet et s'appliquant à des courbes de tous les degrés.

34. Sur V équation du troisième ordre dont dépend le problème

des surfaces orthogonales.

(Comptes rendus, t. LXXVI, p. 41, 83; janvier i8;3.)

Cette équation, dont j'avais établi l'existence dans mon premier travail (n° 7) et à laquelle satisfait le paramètre p de chaque famille de surfaces, a d'abord été calculée par M. Cayley.

Je l'établis ici d'une manière très simple et en lui donnant la forme d'un déterminant, ce qui permet de reconnaître plusieurs de ses propriétés.