Mémoire sur une classe de courbes et de surfaces

(Présenté à l'Académie des Sciences le 7 juin 1869; Comptes rendus, t. LXVIII, p. i3n.)

32. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, et sur la théorie des imaginaires. (Paris, Gauthier- Villars, i8 7 3.)

(Mémoires de la Société des Sciences physiques el naturelles de Bordeaux,

r e série, t. VIII, 1870; t. IX, 1873.)

Cet Ouvrage assez étendu (il comprend 21 feuilles in-8°) est consacré à une étude approfondie des surfaces cyclides et des questions d'Analyse et de Géométrie qui se rattachent étroitement à la considération de ces surfaces. Il constitue une nouvelle rédaction du Mémoire précédent, soumis en 1869 à l'Académie des Sciences. Seize Notes contiennent le résultat des recherches que j'avais faites sur ce sujet depuis 1869.

La première Partie traite de la transformation par rayons vecteurs

réciproques des foyers et des focales. J'examine loutes les propositions, en tenant grand compte des éléments imaginaires, et, pour montrer l'utilité de l'introduction de ces éléments, je reprends l'examen de quelques problèmes connus. Je signalerai surtout (Note I, p. 17) un moyen nouveau de former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée. La méthode indiquée montre bien que l'intégration de cette équation suffit à la solution complète du problème, et surtout elle explique le fait si remarquable que cette équation différentielle du second ordre admet comme intégrale première l'équation des lignes géodésiques. L'étude des développables que je propose d'appelery&ca/w, et qui sont circonscrites au cercle imaginaire de l'infini, a été le point de départ de mes travaux sur les surfaces orthogonales; j'expose d'une manière complète les résultats de mes recherches.

La deuxième Partie traite des courbes sphériques tracées sur les surfaces du second degré et de leurs transformées par rayons vecteurs réciproques.

La troisième Partie a pour titre Etude des imaginaires en Géométrie et d'une classe générale de courbes algébriques comprenant comme cas particulier l'ellipse de Cassini. Parmi les propositions qu'elle contient, je signalerai la suivante :

Si une courbe plane peut être définie par une équation de la /orme