Sur un théorème fondamental de la Géométrie projectile

(Malhematische Annalen, t. XVII, p. 55; 1880.)

Dans sa Géométrie projective, V. Staudt a donné une définition de l'homographie tout à fait différente de celle de M. Chasles. Sans entrer dans de grands détails, je dirai qu'une démonstration de V. Staudt avait été reconnue défectueuse. A la suite d'une discussion faite par MM. Klein, Lùroth et Zeuthen, on paraissait croire que le théorème luimême est inexact: je prouve au contraire que, si la démonstration laisse à désirer, la proposition est exacte et peut être démontrée rigoureusement.

. 48. Sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits

a une autre conique ■.

(Comptes rendus, t. XG, p. 85; 12 janvier 1880.)

La belle méthode par laquelle Jacobi a démontré les théorèmes de Poncelet établit des rapports évidents entre oes théorèmes et la multiplication ou la division des fonctions elliptiques. J'établis des relations nouvelles entre ces mêmes théorèmes et la théorie de la transformation , grâce au théorème suivant :

Toutes les fois qu'on aura un polygone de n côtés inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique, on en déduira une transformation rationnelle d'ordre n dune intégrale elliptique dans une autre.

Dans une Communication orale à la Société mathématique, j'ai montré que ce théorème conduit à la conséquence suivante : Toute équation du cinquième ordre résoluble par radicaux est la relation entre y et 2? dans une transformation du cinquième ordre d'une intégrale elliptique (qui n'est pas nécessairement ramenée à la forme normale) à une autre.

( »5) 49. Sur le contact des coniques et des surfaces.

(Comptes rendus, t. XCI, p. 969; i3 décembre 1880.)

Je m'occupe, dans ce travail, de différentes questions dont plusieurs avaient fait l'objet des recherches de M. Moutard. Cet habile géomètre a publié sans démonstration les résultats auxquels il était parvenu, dans une Lettre adressée à Poncelet et insérée dans les Applications d'Analyse et de Géométrie; mais il n'avait rien écfit sur la partie de mes recherches qui concerne le contact d'un cercle et d'une surface.

50. Détermination des lignes de courbure de la surface de quatrième classe, corrélative de la cyclide, qui admet le cercle de V infini comme ligne double.

(Comptes rendus, t. XC1I, p. 29; 3 janvier 1881.)

Dans mon Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces, j'avais indiqué un théorème général qui comprend comme corollaire les résultats que j'établis dans cette Note. Je montre aussi que, par l'emploi d'une proposition nouvelle, on peut déduire ces mêmes résultais d'un théorème de M. Laguerre. Il m'a paru intéressant de montrer que l'on sait déterminer les lignes de courbure d'une surface qui dépend de treize paramétres ; ces lignes de courbure sont d'ailleurs algébriques.