Sur les modes de transformation qui conservent

les lignes de courbure.

(Comptes rendus, t. XCII, p. 286; 7 février 188 1.)

Cette Note est relative à une méthode dfcy;ansformation des surfaces avec conservation des lignes de courbur^que j'avais fait connaître en 1870 dans mon Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. 254-255. Je montre, conformément à une proposition générale de M.Sophus Lie, que cette transformation, qui comprend comme cas particulier celle à laquelle M. Laguerre a donné le nom de transformation par directions réciproques, peut se ramener à une suite d'inversions (transformations par rayons vecteurs réciproques) et de dilatations (passage d'une surface à la surface parallèle).

( 48 ) 100. Sur une nouvelle définition de la surface des ondes.

(Comptes rendus, t. XCII, p. 446; 28 février 1881.)

M. Niven a public, dans le tome IX du Quarterfy Journal, un beau théorème relatif à la surface des ondes. Appelons cercles principaux les trois cercles de la surface situés dans les plans de symétrie. La proposition de M. Niven s'énoncera comme il suit :

Les trois sphères passant par les trois cercles principaux et par un point quelconque M de la surface vont se couper en un second point P qui est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la surface sur le plan tangent en M.

M. Niven avait remarqué seulement que ce théorème permet de construire, soit le plan tangent en un point donné de la surface des ondes, soit le plan de contact d'un plan tangent donné; j'établis qu'il conduit à une définition simple et nouvelle de la surface des ondes, définition dont le caractère essentiel est de n'employer aucun ellipsoïde. La surface des ondes apparaît alors comme un cas particulier de la surface suivante :

On donne dans l'espace trois cercles quelconques (A), (B), (C) et un point fixe 0. Trouver le lieu des points tels que les trois sphères passant par l'un quelconque de ces points M et par les cercles (A), (B), (C) et la sphère décrite sur OM comme diamètre, se coupent en un second point P.

J'étudie la surface ainsi définie et je montre qu'on peut la construire par points en employant seulement la règle et le compas. En dehors des cercles (A), (B), (C), elle contient d'autres cercles (A'), (B'), (C) et (K); pour ces détails, je renverrai k la Note des Comptes rendus.

La fin de cette Communication est consacrée à un sujet tout différent; je donne la proposition suivante, relative aux droites invariables considérées par Dupin dans un Mémoire inséré au Journal de l'École Polytechnique :

Si une droite se meut de telle manière que trois de ses points soient toujours situés dans trois plans rectangulaires et que par conséquent tout autre

point de cette droite décrive un ellipsoïde, elle demeurera, aans toutes ses positions, normale à une surface fixe, qui sera algébrique et de quatrième classe et dont les lignes de courbure seront aussi algébriques.

Cette proposition m'a conduit à considérer les surfaces qui sont définies par une relation entre les trois normales, c'est-à-dire entre les trois segments limités par le pied de la normale et les trois plans coordonnés. Si Ton donne une relation entre ces trois segments, elle équivaudra à une équation aux dérivées partielles, dont on pourra toujours obtenir l'intégrale par de simples quadratures.

S'il existe deux relations entre les longueurs des trois normales, l'une de ces relations est nécessairement la suivante : Les segments de la normale compris entre les plans coordonnés ont des rapports invariables.

101. Sur la surface à seize points singuliers et les fonctions 6

à deux variables.

(Comptes rendus, t. XC11, p. 685; 21 mars 1881.)