Sur une équation linéaire aux dérivées partielles

(Comptes rendus, t. XGV, p. 69; 10 juillet 1882.)

L'équation linéaire

dxdy ~ (x—y) %

a été l'objet d'un grand nombre de travaux : Euler, Lagrange, Laplace, Poisson et Riemann s'en sont successivement occupés. J'en fais connaître différentes propriétés nouvelles. Par exemple, si elle admet l'intégrale

elle admettra aussi la suivante :

I ax ~h b ay -h b\

1 \cx -h a cy -h a)

quelles que soient les .constantes a, b, c, d. Lorsque m sera entier, l'intégrale générale aura pour expression

)lm-t / X— Y \

X et Y désignant des fonctions de x et de y.

Dans le cas où m n'est pas entier, je m'appuie sur une définition nouvelle et précise de ce que l'on doit appeler Pintégrale générale d'une équation aux dérivées partielles.

Cette définition, que je propose de substituer à celle d'Ampère, est la

suivante. Je l'énonce pour plus de simplicité dans le cas d'une équation du second ordre à deux variables indépendantes.

La solution générale est celle qui contient assez d'arbitraires (constantes ou fonctions) pour que l'on puisse assujettir la surface qu'elle représente à passer par une courbe quelconque donnée et à admettre en chaque point de cette courbe un plan tangent donné à l'avance, variant suivant une loi quelconque quand on se déplace sur la courbe.

En m'appuyant sur cette définition, je montre que l'on pourra obtenir l'intégrale de l'équation(i), même quand m sera fractionnaire par l'emploi des intégrales définies.