Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces

du second ordre.

(Bulletin des Sciences mathématiques, i n série, t. 1, p. 348; 1870.)

L'étude de ces systèmes a été commencée, pour les coniques seulement, par M. H. Smith, professeur savilien à l'Université d'Oxford, dans

le Recueil de la Société mathématique de Londres. Depuis la publication de mon travail, celle étude, limitée encore aux sections coniques, constitue l'unique objet d'un Ouvrage intéressant de M. Picquet, répétiteur à l'École Polytechnique : Élude géométrique des systèmes linéaires ponctuels et tan gentiels des courbes du second ordre. Pour montrer l'intérêt qu'elle présente au point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie analytique, il suffira d'indiquer que l'étude d'un système particulier, le réseau, conduit sans effort à la théorie la plus satisfaisante des courbes du troisième ordre :

Parmi les résultats nouveaux donnés dans, ce travail, j'indiquerai les suivants.

Bien que les trois équations

f=ïïi i vï=.o, /, = 2*^ = 0, yi=2ïwP?=o,

où les symboles P, désignent des fonctions linéaires des coordonnées d'un point de l'espace, contiennent trente constantes, elles ne sont pas propres à représenter trois surfaces du second degré, et, par conséquent, c'est à tort que M. Salmon et d'autres géomètres les ont adoptées comme formes canoniques des équations de trois surfaces du second ordre.

L'étude des systèmes linéaires du quatrième ordre conduit à une surface nouvelle et extrêmement remarquable du quatrième ordre ayant dix points singuliers. Dans d'autres parties de cette étude, on retrouve aussi les belles surfaces du quatrième ordre rencontrées par M. Kummer dans son travail sur les systèmes de rayons rectilignes.

Parmi les résultats ne se rattachant que d'une manière indirecte à l'objet principal de cette élude, je signalerai la détermination des lignes asymptotiques d'une classe de surfaces comprenant comme cas particuliers la surface de Steiner, la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde, les surfaces considérées par Lamé et dont l'équation est

Ax m -+- By m -+-Cz m + D — o,

et celles dont l'équation est

x m y*zP=z C. . . .