Sur les caractéristiques des systèmes de coniques

et de surfaces du second ordre.

(Comptes rendus, t. LXVII, p. i333; a8 décembre 1868.)

15. Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques.

(Comptes rendus, t. LXIX, p. 392; 9 août 1869.)

La proposition établie dans cette Note me parait importante On peut l'énoncer ainsi :

Toutes les fois qu'on aura un système orthogonale n variables , on pourra en déduire une infinité de systèmes orthogonaux an — 1 f n — a\ . . . , 1 variables. Par conséquent, du système des coordonnées elliptiques à n variables on pourra déduire, par de simples éliminations» un nombre infini de systèmes triples algébriques. Le premier de ces systèmes est celui qui est formé des surfaces du quatrième ordre dont il a été question plus haut (n 0> 3 et 7).

16. Sur la surface des centres de courbure d'une surface algébrique.

(Comptes rendus, t. LXX, p. i3ag; 20 juin 1870.)

Dans cette Note se trouvent déterminés Tordre, la classe et plusieurs singularités de la surface lieu des centres de courbure d'une surface algébrique. Si m est le degré de cette surface, la surface des centres sera, en général, de Tordre am{m — i)(a/w — 1) et de la classe m 2 {im — 2) — 2m; elle Contient ^m{m — 2) droites dans le plan de l'infini, etc.

17. Sur les polygones inscrits et circonscrits a l ellipsoïde.

(Société philomathique, p. 92; a3 avril 1870.)

Cette Note contientla généralisation des théorèmes de M. Chastes sur les polygones de périmètre maximum ou minimum inscrits ou circonscrits aux coniques.

Le polygone d'un nombre de côtés donné inscrit dans un ellipsoïde a évidemment son périmètre inférieur à une limite fixe. Si Ton recherche le polygone de périmètre maximum, on trouve qu'il n'est pas déterminé. Il y a une infinité de polygones, tous isopérimètres et de périmètre maximum, inscrits dans un ellipsoïde. Ils sont en même temps circonscrits à deux autres quadriques homofocales à l'ellipsoïde.

Les théorèmes de M. Chasles, relatifs aux coniques planes, donnaient, par une transformation homographique, les théorèmes de Ponceletsur les polygones inscrits et circonscrits; les propositions précédentes conduisent de la même manière à une extension à l'espace des belles propositions de Poncelet.

C'est dans les beaux Mémoires de M. Liouville sur l'intégration des équations abéliennes par la Géométrie que j'ai trouvé les principes qui m'ont permis de traiter cette question.