IV. — Surface desmique du quatrième ordre

■58. On dit que trois tétraèdres constituent un système desmique lorsque les trois surfaces du quatrième ordre, formées respectivement par leurs faces, appartiennent à un même faisceau ponctuel ; on appelle surface desmique toute surface de ce faisceau. Dans le Mémoire 44, j’exprime les coordonnées d’un point d’une telle surface à l’aide des fonctions elliptiques, et j’en déduis toute une théorie géométrique.

L’expression elliptique des coordonnées est

P désigne le facteur de proportionnalité, et les fonctions a, de u et de v, correspondent aux mêmes racines

On peut tracer sur la surface trois séries de biquadratiques gauches, ayant pour équations respectives o = a, « —e = a, w-i- o = a; a d.ésignant une constante arbitraire; toute tangente d’une de ces biquadratiques touche la surface desmique en un nouveau point, de sorte que la développable, qui a pour arête de rebroussement une des courbes précédentes, est circonscrite à la surface le long d’une courbe.

De là trois nouvelles séries de courbes, respectivement conjuguées des précédentes ; « = a, 3v + m = — «, Sv — « = a. On en déduit l’équation des lignes asymptotiques u ± vi/— 3 = const.

Les cordes des biquadratiques des trois séries appartiennent à un même complexe du troisième ordre; les arguments elliptiques des quatre points communs à la surface desinique et à une droite du complexe peuvent se mettre sous la forme

K, p, (A désignant des constantes arbitraires, et ces formules donnent de nombreuses conséquences géométriques.

39. Appelons courbe linéaire toute courbe tracée sur la surface desmique, et dont la tangente en un point forme, avec les tangentes aux trois biquadratiques qui passent par ce point, un faisceau de rapport anharmonique donné; l’équation générale de pareilles courbes est linéaire en u et v.

On peut, à l’aide des courbes linéaires, constituer sur la surface une Géomélrie identique à la Géométrie euclidienne du plan, en ce qui concerne du moins les propriétés angulaires.

Vangle dermique de deux directions en un point de la surface so définit exactement comme sur la sphère, à l’aide du rapport anharmonique de ces directions et des deux directions asymptotiques au point considéré; on établit ces propositions ;

La somme des trois angles d’un triangle dermique, c est-à-dire formé par trois courbes linéaires, est égale à Tt ; deux directions conjuguées sur la surface font entre elles un angle dermique droit ; les courbes linéaires menées par les trois sommets d’un triangle dermique et respectivement conjuguées des côtés opposés sont concourantes; le lieu du sommet mobile d’un triangle dermique dont la base est fixe et dont les deux angles dermiques à la base sont égaux, est une courbe linéaire, conjuguée de la base, ...etc.

Dans cette Géométrie, les lignes asymptotiques de la surface, qui

sont des courbes linéaires, correspondent aux droites isotropes du plan ; voici une de leurs propriétés :

Par deuoc points fixes, situés sur une même asymptotique, on mène deux courbes linéaires conjuguées entre elles ; le lieu de leur point de rencontre est une ligne asymptotique de l’autre série.

60. Après les courbes linéaires, j’ai étudié les sections planes de la surface desmique (44 et 45). Ce sont évidemment des courbes desmiques, c’est-à-dire que chacune d’elles appartient à un faisceau de quartiques qui contieat trois systèmes de quatre droites; mais il est remarquable qu’une courbe desmique est desmique d’une infinité de manières, comme cela résulte de ce mode de génération :

Etant donnée une courbe de troisième classe, C, on lui mène, par un point m de son plan, trois tangentes, dont chacune rencontre C en quatre points. Les tangentes en ces i a nouveaux points forment un système desmique et se coupent, par suite, 3 à 3, en 16 points q.-. lorsque m décrit une droite, les i6 points p. correspondants décrivent une courbe desmique du quatrième ordre.

Mentionnons encore d’autres résultats :

Toute courbe desmique a i8 bitangentes remarquables, qui peuvent être groupées en 6 triangles jouissant de la propriété suivante : les trois bitangentes de chaque triangle sont les diagonales d’un quadrilatère complet, dont les 6 sommets sont leurs points de contact avec la courbe.

Les i8 côté des 6 triangles touchent une courbe de troisième classe.

Il existe i83 coniques dont chacune touche un côté de chacun des 6 triangles.

L’équation d’une courbe desmique peut, d’après cela, être ramenée de six manières au type

X‘-|-Y‘+ Z'-2X‘Y*-2X>Z>- 2 Y'Z'-i-/|XYZ(},X- i-hY-hvZ) = o.

61. Les courbes desmiques à point double, sections de la surface desmique par ses plans tangents, ont une équation réductible à la forme

(X> H- Y*) («X i Y -h 6-Z) -I- XYZ> = o;

on en conclut, entre autres propriétés, que :

Les tangentes asymptotiques, en un point a de la surface desmique, percent chacune la surface en un autre point : la droite qui joint les points ainsi obtenus touche la surface en un nouveau point, que j’appelle tangentiel de a.

Si U, i> sont les paramètres de a, ceux du tangentiel sont — 3p,u; si un point décrit une asymptotique, son tangentiel décrit une asymptotique de la même série.

62. La réciproque de la surface des centres de courbnre d’une quadrique à centre est une surface desmique; on obtient par là (46) des propositions sur les normales àune quadrique. On sait que, par un point M de l'espace, on peut mener, à la surface des centres de courbure d’une quadrique, 28 tangentes doubles; parmi elles figurent 6 normales N à la quadrique, 6 droites P, situées sur des paraboloïdes normaux à la quadrique le long de six génératrices d’un même système, 6 droites analogues P, pour les génératrices de l’autre système. Ces 18 droites correspondent aux 18 bitangentes de la courbe desmique considérées plus haut, et possèdent des propriétés réciproques. Par exemple, elles sont sur un cône du troisième ordre, et ce cône passe par 12 points fixes, quel que soit le point M dans l’espace. Les points fixes sont ceux où les normales aux ombilics de la quadrique coupent les plans principaux et le plan de l’infini.

On sait que les 6 droites N sont sur un cône du second ordre; de même les 6 droites P, et les 6 droites P^; ces trois cônes ont quatre droites communes; et il existe i8o autres cônes du second ordre contenant 6 des droites N, P,, P,.

Les droites N, P,, P- forment un complexe du troisième ordre; je trouve que c’est le complexe des normales aux quadriques

où a est un paramètre variable. C’est aussi le complexe que forment les génératrices rectilignes de ces surfaces et des surfaces homofocales. Les normales aux ombilics sont les mêmes pour toutes les qua-

di'iques (i); il en résulte, d’après un beau théorème de M. Maurice Lévy, que ces surfaces font partie d’un système triple orthogonal. C’est la famille la plus générale de quadriques à centre pour laquelle les ombilics décrivent des droites normales à toutes les quadriques. L’intégration d’une équation différentielle du premier ordre, par une méthode due à M. Darhoux, m’a donné explicitement les deux autres familles du système triple, qui peuvent être algébriques dans un cas très étendu.

M. Darboux a bien voulu mentionner ce système dans son Ouvrage sur les Systèmes triples orthogonaux.