III. — Surfaces du troisième ordre

56. En étudiant (43) un complexe remarquable de coniques, j’ai été conduit à quelques propriétés simples de la surface du troisième

Considérons cinq points de l’espace m,, to,, ..., oi, et les cubiques gauches en nombre doublement infini qui passent par ces points; le lieu des points de contact d’un plan quelconque avec les cubiques de

ce système est une conique. On définit ainsi un système trois fois infini, c’est-à-dire un complexe de coniques, dont il y a une et une seule dans chaque plan de l’espace, et je montre que, par un choix convenable du tétraèdre de référence, l’équation générale de ces coniques est . , X ),

les \ étant des paramètres arbitraires.

Les deux nouvelles coniques doubles de la surface développable circonscrite à deux coniques quelconques du complexe appartiennent également

Les coniques du complexe dont les plans passent par un même point P rencontrent chacune en six points une courbe d’ordre sept, C,, qui passe par P ; cette courbe est le lieu des points de contact des tangentes menées de P aux cubiques gauches qui contiennent les cinq points a.

Inversement, la courbe C, jouit de la propriété d’être coupée, par tout plan contenant P, en six nouveaux points situés sur une conique.

Je fais connaître de nombreuses propriétés de cette courbe, de sa projection sur un plan à partir d'un de ses points; par exemple, C, est anallagmatique par rapport à chacun des cinq points oi, quand on prend pour absolu une quelconque des coniques dont les plans passent par P et qui rencontrent la courbe en six points.

57. La théorie des surfaces cubiques se rattache à la précédente par deux propositions qui donnent deux générations simples de ces sur-

Le lieu des coniques du complexe dont les plans passent par une droite donnée S, est une surface du troisième ordre qui contient la droite.

De plus, cette surface renferme les cinq points m, et le plan tangent en chacun de ces points passe par la droite S.

A toutes les cubiques gauches passant par les cinq points a, on mène, d’une droite donnée, S, des plans tangents : le lieu des points de contact est la surface du troisième ordre précédente.

On en déduit ces conséquences ;

A deux coniques quelconques trmèes sur une surface cubique, et dont ks plans passent par une même droite S de celte surface, on circonscrit une développable : les deux nouvelles coniques doubks de ces développables sont en nombre doublement infini et forment deux congruences distinctes: les coniques de chaque congruence sont respectivement dans des plans passant par un point fixe, et rencontrent, chacune en six points, une courbe du septième ordre tracée sur la surface cubique.

Les deux courbes du septième ordre ainsi définies sont susceptibles d’une autre génération simple : il y a, sur la surface cubique, deux coniques tangentes à la droite 8; si l’on fait rouler un plan sur une de ces coniques et sur la surface, le lieu du point de contact avec celle-ci sera une des deux courbes d’ordre sept.