TRAVAUX DIVERS

U4. La plupart des travaux de cette section portent sur les équations difTérentielles linéaires dont les coefficients dépendent rationnellement de la variable et qui admettent comme intégrales un ou plusieurs polynômes entiers. Les résultats les plus saillants sont ceux du Mémoire 80, où l’on fait connaître, pour un polynôme satisfaisant à une équation différentielle du second ordre, des propriétés assez simples, liées à la réduction en fractions continues algébriques d’une certaine classe de fonctions; ces propriétés ont été retrouvées plus tard et publiées dans \e& Mathematische Anmkn par un géomètre allemand, M. Heun, qui a reconnu ensuite mes droits de priorité.

H5. Le Mémoire 81, dont j’ai dit quelques mots dans l’Avant- Propos, est celui où sont établis des résultats que M. Weierstrass, paraît-il, communiquait dans son Cours oral, mais que j’ignorais complètement. Il s’agit de reconnaître si une intégrale abélienne donnée, appartenant à une courbe donnée, est algébrique, problème ancien pour la solution duquel diverses méthodes ont été proposées : ces méthodes, toutefois, ont l’inconvénient de ne pas fournir sous une forme explicite les conditions nécessaires et suffisantes cherchées ; le théorème général suivant, conclusion de mon étude, parait remplir le but assez simplement :

f{oc,y) = O l’équation d’une courbe algébrique de genrep;

<p(æ, y) une fonction rationnelle de æ, y;

G, , Gj. Gp,p intégrales abéliennes de première espèce distinctes;

H, , Hj, ..., H,, P intégrales de deuxième espèce distinctes, appartenant

Pour que l'intégràk f<f{x,y)dxse réduise à une fonction rationneik de X, y, ilfaut et il suffit :

1° Que cette intégrale n’ait pas de période polaire ;

2 ® Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales f (f{x, y) G,(æ) dx soit nulle ;

3» Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales f «(œ, y) H,(æ) dx soit également nulle.

Il est intéressant d’observer que si l’on suppose l’intégrale/if(^,j)</i» décomposée en intégrales de première, seconde et troisième espèces :

Les conditions i° expriment que les intégrales de troisième espèce disparaissent;

Les conditions que les intégrales de seconde espèce se réduisent à une fonction rationnelle ;

Les conditions 3°, que les intégrales de première espèce disparais-

erie GAUTHIER-VILLARS, 55, quai .